1ª Aula Advecção - Difusão

1. 1ª Aula Advecção - Difusão Objectivos deste capítulo e Método dos volumes finitos.

2. Objectivos • Este capítulo tem como objectivos apresentar métodos de resolução da equação de Advecção – Difusão e fazer uma aplicação num sistema unidimensional. • Este capítulo dá continuidade ao problema de difusão resolvido em Mecânica dos Fluidos Ambiental. Usa o mesmo código desenvolvido em VBA, adicionando o transporte pela velocidade e juntando alguma complexidade às condições de fronteira num problema com superfície livre. • O trabalho desenvolvido dá suporte teórico para Modelação Ambiental.

3. Programa deste capítulo • Revisão do método do volume finito para quantificação do princípio de conservação “a taxa de acumulação é igual ao que entra, menos o que sai, mais o que se produz menos o que se consome”. • Particularidade da advecção por necessitar dos valores sobre as faces do volume finito. Método upwind e método do valor médio (diferenças centrais). Outros métodos de resolução. • A questão do tempo: métodos explícitos, implícitos e Crank-Nicholson (semi-implícitos). • A questão da difusão numérica e da estabilidade. Relação entre as propriedades dos métodos numéricos e os princípios físicos. Nº de Courant e nº de Difusão. • Dedução das equações algébricas a partir das equações diferenciais e das séries de Taylor. Erro de truncatura e precisão do método.

4. Processos • Taxa de acumulação: • Fluxos: • Advectivo: (porquê o sinal “-”)? • Difusivo:

5. Localização das variáveis no volume de controlo: Fluxos advectivo e difusivo através das faces

6. Aplicando o princípio de conservação A taxa de acumulação é igual ao que entra menos o que sai, mais o que se produz menos o que se destrói, e admitindo que não há produção nem destruição, obtém-se:

7. Hipótese Upwind para a concentração na face • No caso de velocidade positiva (escoamento para a direita):

8. Ci Ci+1 Ci-1 Teste em problema unidimensional com volume constante e caudal uniforme Se o volume for constante e o caudal e a difusividade forem uniformes fica, em upwind explícito:

9. Explícito, Upwind, Cr = 1, Dif=0 Cr=(Espaço percorrido num intervalo de tempo)/(passo espacial) Cr=1, implicaumacélulaporpasso => a soluçãoé exacta

10. Explícito, Upwind, Cr= 0.5, Dif=0 Temos difusão numérica. A mancha espalha-se. Porquê? Porque violámos a definição de concentração. Como se resolve?

11. O que aconteceu? O modelo é estável: os erros que aparecem diminuem no tempo. O modelo tem difusão numérica: a concentração vai baixando apesar de a difusão física ser nula.

12. Explícito, Upwind, Cr=2 Temos um modelo instável: os erros aparecem e crescem. Porquê? Num modelo explícito Cr≤1. Os coeficientes têm que ser positivos.

13. As instabilidades são consequências da violação de princípios físicos • Quando as propriedades aumentam num instante, nos instantes seguintes também só podem aumentar. • Quando Cr>1 o coeficiente de Cifica negativo. • Neste caso, durante um intervalo de tempo o volume que sai de uma célula é maior do que o que lá estava no início (Usando volumes finitos é fácil ver que isso é a causa do problema). • (verPatankar, Fluid Flow)

14. Condição de estabilidade Condição de estabilidade: Forma geral da Equação:

15. 2ª Aula Advecção - Difusão Diferenças Centrais. Método implícito. Método QUICK

16. Outra opção: Valores médios nas faces =>Diferenças Centrais

17. Diferenças Centrais Explícitas

18. 1D explicit central differences Courant=1 Modelo Instável. Porquê? Há um dos coeficientes que é sempre negativo. Propriedade transportiva violada. Como se resolve?

19. Porque é instável? • Por advecção (ou por difusão) quando as propriedades aumentam num ponto, nos pontos vizinhos só podem aumentar também. • Isso implica que os coeficientes que multiplicam as concentrações nos pontos vizinhos têm que ser positivos. • Só adicionando difusão é que isso pode acontecer….

20. Condição de estabilidade para diferenças centrais explícitas Porque é que adicionando difusão o método fica estável? Porque é que excesso de difusão torna o modelo instável?

21. Interpretação das diferenças centrais • Porque é que as diferenças centrais são instáveis sem difusão? • Resp: Violam a propriedade transportiva. Um ponto fica a saber o que está abaixo através da advecção, o que é fisicamente impossível. • Porque é que a difusão pode estabilizar as diferenças centrais? • Resp: Porque a difusão transporta a informação para montante. No caso de a difusão ser importante a advecção transporta efectivamente para jusante coisas que foram transportadas para montante pela difusão.

22. Continuação • Poderão as diferenças centrais explícitas ser usadas quando a advecção é dominante? • Resp: Não. Nesse caso difusão transporta para montante muito menos do que a advecção transporta para jusante (Reynolds da malha) • Se a difusão for dominante é preferível usar diferenças centrais ou upwind? • Se a difusão for dominante as diferenças centrais são vantajosas porque têm precisão de 2ª ordem e por isso introduzem menos difusão numéricas • E se o algoritmo fosse implícito? Seria o algoritmo mais estável? • Resp: Sim. Nesse caso a solução seria função dos valores das variáveis no passo de tempo seguinte. Se a advecção tende a criar concentrações negativas, a difusão aumenta automaticamente para porque o gradiente de concentração aumenta. • E se o método fosse upwind? • Resp: nesse caso as concentração não pode ficar negativa. Em upwind a concentração fica negativa se retirarmos de uma célula mais do que lá existe para sair. Mas como em implícito o que sai é função da nova concentração, se ela ficasse negativa isso significaria que sairia uma quantidade negativa e por isso a concentração cresceria…..

23. Outros métodos para a advecção • Upwind: Passa numa face o que está a montante. • Diferenças centrais: Passa numa face a média do que está dos dois lados. • E se ajustássemos um polinómio de 2ª ordem a 3 pontos? Obteríamos o método QUICK: (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics): • Tem precisão de terceiraordem. Tem maisproblemas de estabilidade (emsituaçõesparticulares, nomeadamentejuntoàsfronteiras. • Afinalqual é o melhormétodo?

24. Método implícito

25. Porque serão os métodos implícitos incondicionalmente estáveis? • UPWIND • No método explícito o que sai de uma célula é o que lá está em “t”. No método implícito o que sai é o que lá vai estar em “t+dt”. • No método explícito, quando se retira de uma célula mais do que lá está para sair, a concentração fica negativa. • No método implícito não pode ficar porque o que sai é função do que lá vai estar e por isso, se a concentração pudesse ficar negativa, sairia uma quantidade negativa e por isso a concentração iria aumentar e não diminuir. Isto mostra que é impossível ficar com concentrações negativas em upwind. • E em diferenças centrais?

26. Porque são as diferenças centrais implícitas mais estáveis que as explícitas? • No caso das diferenças centrais, o que entra numa célula é o que está a montante e o que sai é calculado em função do que está a jusante ( em explícito viola a propriedade transportiva da advecção). • Em explícito, sem difusão a solução é instável (viola a propriedade transportiva). Em implícito, o que sai de uma célula é o que vai estar a jusante e o que entra é o que vai estar a montante. Se a concentração a montante de uma célula for nula, nessa zona ela vai ter que ficar negativa. No entanto, o valor negativo a montante vai entrar na célula de jusante e vai fazê-lo baixar, o que implica que vai ser removido menos material de montante e por isso que a concentração vai ser menos negativa.

27. Diferença entre métodosexplícitos e implícitos Têm erros da mesma ordem de grandeza. Se um é por excesso o outro é por defeito. O método ideal é a média dos dois. c Métodoimplícito MétodoExplícito t t1 t1+Δt

28. Método Semi-implícito (Crank – Nicholson) Método explícito: Método implícito: Método Semi-implícito (Crank – Nicholson): Requer o dobro das contas, mas deve ser mais preciso.

29. 3ª Aula Advecção - Difusão Séries de Taylor para obtenção das equações algébricas.

30. Formas da equação Escrevendo na forma da divergência dos fluxos: Onde o 1º termos do 2º membro é o simétrico da divergência dos fluxos, i.e. o que entra menos o que sai. Ou na forma convencional:

31. Séries de Taylor • Estãona base do método das diferençasfinitas, quesão da mesmafamília dos Volumes Finitos. • Os ElementosFinitos/Elementos de fronteirasão a segunda principal família de métodosnuméricos.

32. O que representa a série de Taylor? c Outras derivadas Δc Δc 1ª Derivada: Δc/ Δt Δt t t1 t1+Δt

33. Como usarparacalcular as derivadas? Método Explícito: A derivada é calculada à esquerda “em t” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por A derivada ser calculada à esquerda significa “à esquerda do intervalo de tempo”, i.e. em “t” e por isso o método é explícito. Todas as derivadas (i.e. todos os termos da equação) são calculados em “t”. O erro ser proporcional a significa que “o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta.

34. Mas poderia ter feito calculado a derivada à direita do intervalo de tempo Método Implícito: A derivada é calculada à direita “em t+dt” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, todas as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por Isto significa que o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta. Os métodos implícitos e explícitos têm a mesma precisão.

35. Para calcular a derivada no centro do intervalo teria que calcular os valores nos extremos a partir daquele Subtraindo uma da outra: Neste método a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo e tem precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução parabólica. As derivadas ignoradas estão multiplicadas por

36. O que representa a série de Taylor? c Método Explícito Método Implícito Outras derivadas 1ª Derivada: Δc/ Δt Δc Δt MétodoDiferençasCentrais t t1 t1+Δt

37. Derivadas espaciais Derivada à direita, Método downwind, se velocidadepositiva Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à direita. Veremos mais adiante que este cálculo cria problemas se esta derivada for usada para calcular o termo advectivo quando a velocidade é positiva.

38. Derivadas espaciais Derivada à esquerda: “Método upwind” se velocidadepositiva e downwind se fosse negativa. Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à esquerda. Este método respeita a propriedade transportiva da velocidade se esta for positiva, mas não se for negativa. Nesse caso a derivada deveria ser calculada “à direita”.

39. Subtraindo uma equação da outra DiferençasCentrais

40. 2ª Derivada Adicionando:

41. 4ª Aula Advecção - Difusão Equações algébricas. Erro de truncatura, condições iniciais e condições de fronteira.

42. Sumário da aula anterior • Na última aula vimos como obter equações algébricas a partir das equações diferenciais, usando séries de Taylor. • Vimos que poderíamos obter facilmente discretizações com precisão de primeira ou de segunda ordem no tempo e/ou no espaço e vimos o que queria dizer o erro de truncatura. • Combinando este conhecimento com o que obtivemos quando analisamos o problema com o método dos volumes finitos concluímos que nem sempre o menor erro de truncatura significa menor erro dos resultados. • Para se obterem bons resultados é necessário garantir o respeito pelos princípios físicos, nomeadamente: • Conceito de Concentração, que tem que ser mais ou menos uniforme no interior da célula, • A transportividade da advecção, • Que uma célula não é despejada numa iteração (Cr ≤ 1). • Os métodos implícitos respeitam os processos físicos de forma semelhante aos explícitos e são mais estáveis. OS métodos semi-implícitos são mais estáveis e têm maior precisão que os explícitos.

43. Equações Algébricas • Obtêm-se substituindo as derivadaspelasaproximações: • Explícito, diferençascentrais. Precisão de 2ª ordem no espaço e 1ª no tempo. • Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferençascentraisespaço. Precisão de 2ª ordem no tempo e no espaço. O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?

44. Como se obtém o valor em (t+Δt/2) ?Fazendo a média….. • Adicionando as equações! • Substituindo estes termos nas equações obtém-se a equação a resolver.

45. Explícito Upwind • Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaçoparaadvecção. Segundaordemparadifusão. • Estaequaçãopode ser organizadana forma:

46. Forma geral da Equação K=1=> implícito. K=0 => Explicito, k=0.5=> Crank-Nicholson: Explicito, upwind: Números de Courant e de Difusão

47. Sobre a precisão do cálculo • No cálculo implícito e no cálculo explícito as derivadas são calculadas nos extremos do intervalo de tempo. Estes métodos ignoram todas as derivadas a partir da primeira: têm precisão de primeira ordem ou “até à primeira ordem”. • Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por • Quando a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo as derivadas só são ignoradas a partir da segunda. São métodos com precisão de 2ª ordem, ou “até à 2ª ordem”. Se a função for uma recta ou uma parábola o cálculo da derivada é exacto. • Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por • Mas >1 então quanto maior é a ordem de precisão do cálculo, maior é o coeficiente dos termos ignorados. Porque é que a precisão do cálculo aumenta?

48. Porque aumenta a precisão com o expoente de ? Porque os termos ignorados são da forma: O cálculo da derivada faz aparecer em denominador o intervalo de tempo elevado n e o coeficiente está elevado a (n-1) e por isso o produto é proporcional a ou seja à primeira derivada multiplicada pelo inverso do factorial de n e por isso quanto maior é o valor do expoente do intervalo de tempo, menor é o valor dos temos desprezados. Esta conclusão é consistente como facto de as derivadas perderem importância à medida que a ordem aumenta.

49. Ci Ci+1 Ci-1 Condições Iniciais e de Fronteira • Iniciais podem ser importantes ou não • Fronteira idem. Como se impõem?

50. Condições de fronteira • Difusão: • Requer o cálculo dos fluxos nas células de fronteira e por isso requer a concentração no exterior em ambas as fronteiras. Se não for conhecida a melhor solução é normalmente gradiente nulo. • Advecção • Quando o escoamento entra no domínio transporta as propriedades do exterior. As propriedades têm que ser conhecidas no exterior. Se não forem conhecidas, a simulação só pode fazer sentido se as fontes e os poços ou os fluxos através do fundo e/ou da superfície livre dominarem a solução.