Concavité et points d'inflexion

Concavité et points d'inflexion Jacques Paradis Professeur

Plan de la rencontre • Élément de compétence • Concavité vers le haut et le bas • Lien entre la concavité et la dérivée seconde • Nombre critique et point d’inflexion • Tableau de variation relatif à f’’ • Exemples et exercice • Test de la dérivée seconde

Élément de compétence • Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique • Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et tracer son graphique • Relier la concavité d’une fonction au signe de sa dérivée seconde • Déterminer les intervalles de concavité vers le haut et de concavité vers le bas • Déterminer les points d’inflexion d’une fonction • Construire un tableau de variation relatif à f’’ • Donner une esquisse du graphique d’une fonction • Utiliser le test de la dérivée seconde pour les extremums d’une fonction

Concavité (1 de 2) • Soit une fonction f définie sur un intervalle I, • f est concave vers le haut sur I si la courbe de f est au-dessus de ses tangentes dans cet intervalle. • f est concave vers le bas sur I si la courbe de f est au-dessous de ses tangentes dans cet intervalle. • Un point (c , f(c)) est un point d’inflexion de f si la courbe change de concavité en ce point. haut   bas

f’(x) est croissante, d’où sa dérivée f’’ > 0 f’(x) est décroissante, d’où sa dérivée f’’ < 0 Concavité (2 de 2) • Concavité et signe de la dérivée seconde • f’’ (x) > 0 sur ]a,b[  f(x)concave vers le haut sur [a,b] • f’’ (x) < 0 sur ]a,b[  f(x)concave vers le bas sur [a,b] m=0 m<0 m>0 m>0 m<0 m=0

Nombre critique / Point d’inflexion • Remarque : Le point (c , f(c)) est un point d’inflexion de f ssi f’’(x) change de signe lorsque x passe de cà c+. • Nombre critiquede f’ : une valeur c du domaine de f’ pour laquelle f’’(c) = 0 ou f’’(c) n’existe pas. (Un point d’inflexion potentiel)

Borne supérieure Nombres critiques Borne inférieure Points d’inflexion Tableau de variation relatif à f’’ Valeurs de x  Valeurs de f’’(x)  Valeurs de f(x)  Pour une fonction définie sur un intervalle : - - - - -

Exemple 1 • Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de concavité vers le bas et les points d’inflexion de la fonction f(x) = x4 – 10x3 + 36x – 12. • Étape 1 : Donner le domaine de la fonction • Étape 2 : Trouver f’’(x) et factoriser, si possible • Étape 3 : Identifier les nombres critiques de f’ • Étape 4 : Compléter le tableau de variation relatif à f’’ • Étape 5 : Donner une esquisse du graphique de f

Exercice 1 • Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de concavité vers le bas et les points d’inflexion de la fonction f(x) = x4 - 24x2 + 14x + 40 définie sur [-5,2 ; 4,6].

Exemple 2 • Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de concavité vers le bas et les points d’inflexion de la fonction f(x) =

Test de la dérivée seconde (1 de 2) • Soit une fonction f et c un nombre critique de f tel que f’(c) = 0. • 1) Si f’’(c) < 0, alors (c , f(c)) est un point de maximum relatif de f. • 2) Si f’’(c) > 0, alors (c , f(c)) est un point de minimum relatif de f. • 3) Si f’’(c) = 0 ou n’existe pas, alors le test ne fonctionne pas et il faut revenir au test de la dérivée première.

Test de la dérivée seconde (2 de 2) • Exemple : Soit f(x) = 2x3 – 0,25x4 – 0,2x5, déterminer les points de maximum relatif et les points de minimum relatif de f à l’aide du test de la dérivée seconde. • Étape 1 : Trouver f’(x) et factoriser, si possible • Étape 2 : Identifier les nombres critiques de f ayant f’(x) = 0 • Étape 3 : Trouver f’’(x) (Inutile de factoriser) • Étape 4 : Évaluer f’’(x) pour les nombres trouvés à l’étape 2 • Étape 5 : Utiliser le test de la dérivée première si le test de la dérivée seconde ne permet pas de conclure

Devoir • Série 6.2, page 246, nos 1 à 5. • Exercices récapitulatifs, page 284, no 4. • 4a) concavité vers le haut : - ; 0,25], concavité vers le bas : [0,25 ; , point d’inflexion : (0,25 ; 0). • 4c) concavité vers le haut : [2 ;  , concavité vers le bas : - ; 2], point d’inflexion : (2 ; 16). • 4e) concavité vers le haut : [-2 ; 0] , concavité vers le bas : [0 ; 2], point d’inflexion : (0 , 0).

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