第四节高斯 (Gauss) 求积公式

数值分析 第四节高斯(Gauss)求积公式前面介绍的 n+1个节点的 Newton -Cotes求积公式，其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式的精度。 n是偶数时，代数精度为n+1， n是奇数时，代数精度为n。我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n。设想：能不能在区间[a,b]上适当选择 n+1个节点 x 0x1,x2,……,xn ,使插值求积公式的代数精度高于n？答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。数值分析

定义：若求积公式 对一切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的代数精度为m. 数值分析一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法考虑更一般形式的数值积分问题数值分析

数值分析 定理1：设节点x0, x1…,xn∈[a,b]，则求积公式的代数精度最高为2n+1次。分别取f(x)=1, x，x2，...xr代入公式，并让其成为等式，得： A0 + A1 + …… + An =∫ab1dx.= b-a x0 A0 + x1 A1+ …… +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2 ...... x0rA0 + x1rA1+ …… +xnrAn =∫abxr dxr=(br+1-a r+1) (r+1) 数值分析

数值分析 上式共有 r +1个等式，2n+2个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1. 事实上,取2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-xn)2代入求积公式,这里 x0, x1…,xn是节点，有左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为 2n+1次。证毕. 数值分析

定义: 使求积公式 达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数. 数值分析因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有结论:n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足：n d  2n+1。数值分析

c1 +c2=2 c1 x1+c2 x2=0 c1 x12+c2 x22 =2/3 c1 x13+c2 x23 =0 数值分析 (1) 用待定系数法构造高斯求积公式例：选择系数与节点，使求积公式（1）成为Gauss公式。解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则其是Gauss公式。为此，分别取f(x)=1, x，x2，x3代入公式，并让其成为等式，得求解得：所求Gauss公式为：数值分析

数值分析 （2）利用正交多项式构造高斯求积公式设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x)具有如下性质： 1）对每一个n ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… 2） (正交性) 3）对任意一个次数≤n-1的多项式P(x)，有 4）Pn(x)在(a,b)内有n个互异零点。数值分析

数值分析 定理2设x0,x1, …,xn 是n+1次正交多项式Pn+1(x)的n+1 个零点,则插值型求积公式是Guass型求积公式。证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。设 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式，则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk) 这里， Pn+1(x)是 n+1次正交多项式， q(x)、r(x)均是次数≤n的多项式。数值分析

数值分析 由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n，故有由性质3）及(4)式，有即对 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。证毕数值分析

数值分析 利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：代入积分式因此，求积系数为数值分析

数值分析 数值分析

数值分析 常用的高斯求积公式 1.Gauss - Legendre 求积公式 (1) 其中高斯点为Legendre多项式的零点 Guass点xk, Guass系数Ak都有表可以查询. 数值分析

数值分析 一般区间的Gauss - Legendre 求积公式如果积分区间是[a,b]，用线性变换将积分区间从[a,b]变成[-1,1],由定积分的换元积分法有这样就可以用Gauss - Legendre求积公式计算一般区间的积分. 数值分析

数值分析 例利用高斯求积公式计算解:令x=1/2 (1+t),则用高斯-Legendre求积公式计算.取n=4 积分精确值为 I=ln2=0.69314718… 　　由此可见，高斯公式精确度是很高的. 数值分析

数值分析 例:分别用不同方法计算如下积分,并做比较各种做法比较如下： 1、用Newton-Cotes公式当n=1时，即用梯形公式，I≈0.9270354 当n=2时, 即用Simpson公式, I ≈ 0.9461359 当n=3时, I ≈ 0.9461090 当n=4时, I ≈ 0.9460830 当n=5时, I ≈ 0.9460830 I准=0.9460831 数值分析

数值分析 I准=0.9460831 2:用复化梯形公式令h=1/8=0.125 3：用复化辛卜生公式令h=1/8=0.125 数值分析

数值分析 4、用Romberg公式 K TnSn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831 I准=0.9460831 数值分析

数值分析 I准=0.9460831 （1）用2个节点的Gauss公式 5、用Gauss公式解：令x=(t+1)/2, （2）用3个节点的Gauss公式数值分析

数值分析 算法比较 • 此例题的精确值为0.9460831... • 由例题的各种算法可知： • 对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2时有3位有效数字，当n=5时有7位有效数字。 • 对复化梯形公式有2位有效数字，对复化辛卜生公式有6位有效数字。 • 用复合梯形公式，对积分区间[0，1]二分了11次用2049个函数值，才可得到7位准确数字。 • 用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数值，得到同样的结果。 • 用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到结果。数值分析

数值分析 常用的高斯求积公式 2.Gauss-Chebyshev公式数值分析

数值分析 3.Gauss-Laguerre公式数值分析

数值分析 4.Gauss-Hermite公式数值分析

数值分析 二、高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析数值分析

数值分析 已知Hermite插值误差是因为对2n+1次多项式求积公式准确成立，即代入上式即有数值分析

数值分析 以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正数值分析

数值分析 三、复化Gauss求积公式复化Gauss求积公式的基本思想：将积分区间[a , b] n等分，在每个小子区间上使用一个节点数较少的Gauss型求积公式,然后把它们加起来，就得到整个区间上Gauss型求积公式的复化形式。下面用Gauss-Legender求积公式推导复化Gauss型求积公式. 将积分区间[a , b] n等分，数值分析

数值分析 再将上式应用Gauss-Legender求积公式就得到了复化Gauss型求积公式. 例如,用2点的Gauss-Legender求积公式复合, 由表9-4,取n=1,得Aj =1,xj=0.5773502692代入到上式中,得2点的复化Gauss-Legender求积公式数值分析

数值分析 二版习题P276----11(1)，16，三版习题P250-----11(1)，16，数值分析

第四节高斯 (Gauss) 求积公式