Grundbegriffe der Schulgeometrie

1. Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 9 (M. Hartmann)

2. Netz einer regulären n-Eckspyramide • Definition des regulären n-Ecks:Ein n-Eck mit • n gleichlangen Seiten und • ausschließlich gleichgroßen Innenwinkeln (alt. Umkreis) heißt regelmäßiges bzw. reguläres n-Eck • Konstruktion eines regulären n-Ecks: • Konstruktionsmöglichkeiten über • Bestimmungsdreieck • „schrittweise Abbiegen“ • Kreis um Mittelpunktsstrahlen

3. Es gibt nicht nur Netze von Polyedern, sondern auch von anderen abwickelbaren Körpern, wie z.B. Zylinder und Kegel • Kreise bzw. Kreisteile müssen mit anderen Teilflächen nur einen Berührpunkt gemeinsam haben

4. Zylindernetze • Gerader Kreiszylinder: • Beliebiger gerader Zylinder: • Schräges Abschneiden eines geraden Kreiszylinders erzeugt schiefen elliptischen Zylinder • Anwendung Rohrknieals Blechabwicklung

5. Kegelnetze • Gerader Kreiskegel: • Zusammenhang zwischen r und j:

6. Netz des schiefen Prismas • Abwicklung

7. Netz der Kugel? • Die Kugel ist nicht abwickelbar; Sie hat kein Netz! • Nur näherungsweise kann z.B. die Abwicklung einer Orange durch Schälen • unsystematisch oder • systematisch versucht werden

10. Bedeutung der Nichtabwickelbarkeit • Die Kugel kann nicht aus einem Netz aufgebaut werden • Die Oberflächenberechnung kann nicht direkt über die Berechnung ebener Flächen erfolgen • Landkartenproblem

11. Möglichkeiten zur Oberflächenberechnung bzw. Ableitung der Oberflächenformel der Kugel • Weg 1: • Grobabschätzung der Halbkugelfläche durch Großkreis und 3fachen Großkreis (Vermutung etwa 2facher Großkreis) • Oberfläche von Näherungspolyeder bestimmen (bestätigt Vermutung) • Weg 2: Es lässt sich zeigen, dass die Oberfläche der Kugel gleich der Mantelfläche des entsprechenden Umzylinders ist • Handversuch mit Schnur • Weg 3: Beziehung zwischen Oberfläche und Volumen Analog zur Tortenstückmethode herstellen (s. Analogisieren)

12. Landkartenproblem • Aufgrund der Nichtabwickelbarkeit der Kugel ist es unmöglich korrekte Landkarten herzustellen • Problem besonders bei großem Maßstab also insbesondere bei Weltkarten virulent! • Karten werden häufig durch sogenannte Projektionen erzeugt, die je nach Art verschiedene Fehler aufweisen • Man unterscheidet z.B. in • Partiell längentreue Projektionen • Flächentreue Projektionen • Winkeltreue Projektionen • Vermittelnde Projektionen

13. parallel gnomonisch stereographisch Projektionen direkt auf eine Ebene

14. Projektionen auf eine abwickelbare Oberfläche Zylinderprojektion Kegelprojektion

15. Die Mercatorprojektion Die Mercatorprojektion ist eigentlich keine reine Projektion Die Formen bleiben lokal erhalten Die Formtreue der Mercatorprojektion verursacht aber, dass die Länder in Äquatornäheerheblich zu klein dargestellt werden Kritik: Eurozentrisches Weltbild

16. Petersprojektion als „politisch korrekterWeltkartenentwurf“ Flächentreuer Entwurf, der aber z.B. Zur Navigation wegen der fehlenden Winkeltreue ungeeignet ist und auch Formen verzerrt darstellt. Hat sich nicht wirklich durchgesetzt,wird aber z.B. im Petersatlanten undbei ARTE verwendet.

17. Projektionen – Erzeugung von Bildern dreidimensionaler Körper Zentralprojektion • Prinzip: • Den Schattenwurf dreidimensionaler Körper mittels einer punktförmigen Lichtquelle (Projektionszentrum) auf eine Ebene nennt man Zentralprojektion • Positioniert umgekehrt ein Betrachter sein Auge an die Position der Lichtquelle (Augpunkt), so erzeugt das zentralperspektivische Bild denselben Sinneseindruck wie der Körper selbst • Von allen anderen Punkten aus betrachtet wirkt das Bild verzerrt • Eigenschaften: • Figuren, die parallel zur Bildeben liegen, werden auf ähnliche abgebildet • Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden auf Geraden abgebildet • Kreise werden auf Kegelschnitte (Kreise, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln) oder Strecken abgebildet • Bilder paralleler Geraden, die • parallel zur Bildebene liegen, sind parallele Geraden • nicht parallel zur Bildebene liegen, schneiden sich in einem Punkt, dem Fluchtpunkt • Die Fluchtpunkte von Parallelenscharen, die parallel zu einer Ebene verlaufen, liegen auf einer Geraden (Sonderfall: Horizontlinie)

20. Parallelprojektion • Prinzip: • Den Schattenwurf dreidimensionaler Körper mittels paralleler Strahlen auf eine Ebene nennt man Parallelprojektion • Eine Zentralprojektion nähert sich bei zunehmender Entfernung des Projektionszentrums einer Parallelprojektion an (z.B. Sonne) • Blickt ein Betrachter aus größerer Distanz in Richtung dieser Strahlen auf ein parallelperspektivisches Bild, so erzeugt auch dieses Bild einen ähnlichen Sinneseindruck wie der Körper selbst • Eigenschaften: • Figuren, die parallel zur Bildebene liegen, werden auf kongruente abgebildet • Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden auf Geraden abgebildet • Strecken, die senkrecht zur Bildebene verlaufen, werden um einen festen Wert (Abbildungsfaktor) verändert abgebildet • Kreise werden auf Kreise, Ellipsen oder Strecken abgebildet • Bilder paralleler Geraden sind stets Parallele

21. Projektionen Parallelprojektion Zentralprojektion Normalprojektion Schrägbild Kavalierprojektion Zwei- bzw. Dreitafelbild Militärprojektion

22. Konstruktion zentralperspektivischer Bilder