1 / 29

Probabilidade

Probabilidade. Aula 03 Prof. Christopher Freire Souza Centro de Tecnologia Universidade Federal de Alagoas www.ctec.ufal.br/professor/cfs. Objetivo. Promover o entendimento de valores de probabilidade e desenvolver habilidades para determinar probabilidades. Conteúdo. Fundamentos

benito
Télécharger la présentation

Probabilidade

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Probabilidade Aula 03 Prof. Christopher Freire Souza Centro de Tecnologia Universidade Federal de Alagoas www.ctec.ufal.br/professor/cfs

  2. Probabilidade - Christopher Freire Souza Objetivo • Promover o entendimento de valores de probabilidade e desenvolver habilidades para determinar probabilidades

  3. Probabilidade - Christopher Freire Souza Conteúdo • Fundamentos • Contagem • Regra da adição • Regra da multiplicação • Probabilidade através de simulações

  4. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Para que? • Processos determinísticos • Satisfeitas algumas condições, comportamento conhecido • Ex: Ao colocar água pura para esquentar, qual a chance dela entrar em ebulição a 100oC? • Processos estocásticos • Comportamento aleatório • Ex: Ao puxar uma peça de dominó, qual a chance de ser: • A bomba de sena? • Uma bomba? • Não-bomba? • Bomba de sena, caso se queira adivinhar a bomba que seu parceiro comentou ter puxado.

  5. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade • Técnica matemática aplicada para medir a chance de ocorrência de um evento

  6. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Conteúdo • Breve revisão de Análise Combinatória • Espaço Amostral • Evento • Probabilidade de um evento (uma bomba) • Probabilidade para experimentos não-eqüiprováveis • Probabilidade do evento complementar (não-bomba) • Probabilidade de ocorrência de dois eventos simultâneos (bomba de sena) • Probabilidade de ocorrência de um evento dado que outro já ocorreu (bomba de sena dentre bombas) • Probabilidade de coincidências • Probabilidade para eventos correlacionados

  7. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Análise combinatória • Contagem • Princípio multiplicativo • Fatorial • Arranjo simples • Permutação simples • Permutação com repetição • Combinação simples

  8. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Contagem • Problema: Eric, Elanee Alisondisputam uma eleição para representante discente. Quantos resultados diferentes pode ter esta eleição? • Er, A, El • Er, El, A • A, Er, El • A, El, Er • El, A, Er • El, Er, A

  9. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Princípio multiplicativo(Contagem sem descrição) • Problema: Eu tenho duas calças e quatro camisas e não sabia o que vestir para vir dar esta aula. De quantas formas eu poderia me vestir, considerando que eu não me importo se a calça e a blusa combinam? • Uma forma de resolver é multiplicar a quantidade de opções de calça pela de blusa. • Assim temos: 2x4=8

  10. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Fatorial • É comum, nos problemas de contagem, calcular o produto cujos fatores são números naturais consecutivos de n a 1. • n!=n.(n-1).(n-2) .... .3.2.1, sendo n natural e maior que 1. • Observe que: • n!=n.(n-1)! • Assim, 0!=1

  11. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Arranjo simples(Contagem de formas de agrupar elementos sem repetição de elementos) • Quantos conjuntos de três letras (r =3) podem ser criados com as 26 letras do alfabeto (n=26)? • A ordem dos elementos importa A n,r = 26.25.24 = 15600

  12. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Permutação simples • Problema: No passatempo Sudoku, uma única linha de uma matriz 3 x 3 não foi preenchida. Sabe-se que restam apenas os números 3, 5 e 9 como opções. Não havendo uma dica de que número poderia estar em cada “casa”, de quantas formas pode ser preenchida a linha? P = 3.2.1 = 6 Opções Pn=A n,n

  13. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Permutação com repetição • Anagrama extraído do Código da Vinci: • “O, Draconian devil! Oh, lame saint” • Decifrado para: • “Leonardo da Vinci – The Mona Lisa” • Problema: Quantos anagramas tem a palavra FERVOROSO?

  14. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Combinação simples • Qual o número de maneiras nas quais cinco cartas podem ser selecionadas de uma baralho? • A ordem dos elementos não importa C. r! = A

  15. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Espaço amostral • Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório (processo estocástico).

  16. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Evento • Qualquer subconjunto do espaço amostral. • Impossível: Peça com 13 pontos • Simples: Peça com zero pontos • Certo: Peça com menos que 13 pontos

  17. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Evento • Complementar: Mais que zero pontos, é o evento complementar do evento zero pontos. • Intersecção e união, como na teoria de conjuntos • Disjunto (mutuamente excludente): intersecção é nula.

  18. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade de um evento • Problemas: • Qual a probabilidade de puxar uma bomba? • Qual a probabilidade de puxar uma sena? • A probabilidade de puxar uma bomba com menos que 3 pontos, é maior que a probabilidade de puxar uma bomba? • Conceito: • Razão do número de valores que caracterizam o evento pelo número de valores possíveis, considerando-se: • igualdade de chances de ocorrência de valores possíveis • excludência mútua entre valores. onde A representa um evento qualquer; P(A), a sua probabilidade de ocorrência; nS, os possíveis resultados de um experimento e; nA, aqueles que denotam o evento. Axiomasfundamentais: 0≤P(A) ≤ 1 P(S)=1 p/ A C B, P(A) ≤ P(B)

  19. www.ctec.ufal.br/professor/cfs . Probabilidade em experimentos não-eqüiprováveis • Problema: Como estimar a probabilidade de obter cara numa moeda viciada? • Nos casos em que não se conhece o conjunto de valores da população ou as chances de sair cada resultado são diferentes, aproxima-se o valor da probabilidade pela freqüência. • Supondo que ao lançar uma moeda viciada 10000 vezes, obtém-se 7310 caras. Assim, a probabilidade de que saia cara ao lançar a mesma moeda é de 73,1%.

  20. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade do evento união • Problema: Qual a probabilidade de puxar uma sena ou uma quina? • n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AB) • P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) • Se eventos forem mutuamente excludentes, P(AUB)=P(A)+P(B)

  21. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade do evento diferença • Problema: Qual a probabilidade de puxar uma sena sem ser uma bomba? • n(A-B)=n(A)-n(A&B) • P(A-B)=P(A)-P(A&B) • Se eventos forem mutuamente excludentes, P(A-B)=P(A)

  22. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade de um evento complementar (P(Ac)) • Problema: Qual a probabilidade de, ao puxar uma peça, não ser bomba? • P(A)+ P(Ac)=P(S) • P(A)+P(Ac)=1 • P(Ac)=1-P(A)

  23. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade do tipo “um ou mais” ou “pelo menos um” • Qual a probabilidade de ao puxar uma peça ter pelo menos um ponto? • A probabilidade do evento união de todos os resultados que atendem o critério de “pelo menos um” equivale à probabilidade do complementar da intersecção do evento nenhum. • P(pelo menos um) = 1 – P (nenhum)

  24. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade condicional • Problema: Num jogo de 6 peças, seu parceiro acusou ter puxado apenas uma bomba. Qual a probabilidade de ter sido a bomba de sena? • PA(B)=P(A&B)/P(A) • PA(B) = dado queocorreu A, ocorrer B

  25. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade de eventos simultâneos • Problema: Qual a probabilidade de você puxar uma bomba e ela ser de sena? • P(AB)=PA(B).P(A) • PA(B)=P(AB)/P(A)

  26. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade de eventos independentes (coincidência) • Qual a probabilidade de puxar uma sena e faltar água? • Dado que: P(AB)=PA(B).P(A) • Se PA(B)=P(B), P(AB)=P(B).P(A)

  27. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade indireta de eventos (Teorema da probabilidade total) • Problema: Qual a probabilidade de não-atendimento de demandaporágua de umacidade (P(A)), se sabe-se que: • Existemdoisreservatórios (R1=150m3 e R2=187,5 m3 ) quefuncionam de forma complementar (B:R1 ativo, Bc:R2 ativo) e isolada (quando um é ativado o outro é desativado) • Probabilidades de ativar: P(B)=0,7; P(Bc)=0,3. • Probabilidade de superarcapacidade: PA(B)=0,3; PA(Bc)=0,1 • Dado que:

  28. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade de eventos correlacionados (Teorema de Bayes) • Problema: Supondo que, para o caso do problema anterior, a demanda não tenha sido atendida, como estimar a probabilidade de o reservatório 1 ter sido ativado. • Ganho de acurácia na estimativa de probabilidade, onde de forma subjetiva se descreve relação entre eventos

  29. Probabilidade - Christopher Freire Souza Probabilidadeatravés de simulações • Conhecendo-se o processo (formulaçãoconceitual) quedescreve um fenômeno (e.g. a relação entre precipitação e vazão), comoobter a probabilidade de ocorrência de um valor de vazão? • Inserirrepetidasvezes, dado de precipitaçãoaleatoriamentedefinidodentro de umafaixa de valorespossíveis, de maneira a obter um histograma • Aplicações: • Análise de sensibilidade de modelos • Análise de incerteza de estatísticas

More Related