Теория на жироскопа giros (въртене) skopus (виждане) – Фуко, 1852 г.

1. Теория на жироскопаgiros (въртене) skopus (виждане) – Фуко, 1852 г. УЧЕБНИ ВЪПРОСИ: 1. Приближена теория на жироскопа 2. Двустепенен и тристепенен жироскоп 3. Приложение на жироскопа в техниката

2. 1. Приближена теория на жироскопа • Жироскоп се нарича твърдо тяло, което има ос на материална симетрия и извършва движение около една неподвижна точка, която лежи на тази ос. • Жироскопични явления се проявяват винаги, когато едно тяло извършва сложно движение, в състава на което влиза въртеливо движение. 1.1 Основни допускания при приближената теория. а) Симетричното тяло извършва бързо въртене (ω3≈3000s-1) около оста си на симетрия, а оста прецесира от своя страна с много по-бавна ъглова скорост (ω1 ≈0,001s-1).[ω3>> ω1]. б)Ъгловата скорост на собствено въртене ω3= const. в) Нутационните колебания се пренебрегват θ ≈ 0. г) Общата моментна ъглова скорост ще бъде: ω ≈ ω3

3. z1 z окръжност на прецесия ъгъл на нутация θ ω3 собствено въртене ω1 dK0/dt K0 ω1 ω3 L M0 1.2 Основна формула на приближената теория. • При направените допускания кинетичният момент на тялото относно неподвижна точка О ще бъде: К0 = Jz1.ω3 , а dK0/dt = M0(a)[1] Тъй като кинетичният момент е постоянен по големина (но не и посока), върхът му ще описва една окръжност (на прецесия) около ос z. Тогава производната на кинетичния момент ще бъде скоростта на този връх при движението му по окръжността dK0/dt= u = ω1xK0 След като заместим в [1] се получава: Jz1. ω1xω3 = M0(a)[2]. На зависимостта [2] може да се даде Даламберов вид: M0(a) + L = 0. [3] L = - Jz1. ω1xω3(жироскопичен момент) L = Jz1. ω1.ω3sin θ [4] - големина на жироскопичния момент. Зависимостта [2] изразява теоремата на Резал. Правило на Фуко за определяне посоката на жироскопичния момент !

4. z1≡z ω3 собствено въртене К0 F C dK0/dt G N y O x М0 1.3 Прецесиално движение на тежък жироскоп На “тежък” жироскоп му действа силата на теглото G, приложена в масовия център лежаща на оста на симетрия (z ≡ z1), която в случая е вертикална. Кинетичният момент на жироскопа ще бъде: К0 = Jz.ω3 = const (сумата от моментите на силите G и N спрямо О е равна на нула), т.е. големината и посоката на кинетичния момент не се изменя – оста z остава вертикална. Ако върху този жироскоп се приложи външна сила F, която се стреми да го отклони примерно на ляво, моментът на тази сила (М0) ще бъде перпендикулярен на равнината на чертежа и насочен към нас. Но този момент е равен на производната на кинетичния момент, която се тълкува като скорост на върха на К0. Следователно, жироскопът ще се отклони в посока перпендикулярна на чертежа, а не по посока на силата.

5. z1 z окръжност на прецесия ъгъл на нутация θ ω3 собствено въртене К0 ω1 dK0/dt С М0G О Прецесиално движение на....... (продължение) • Да проследим поведението на жироскопа след като се е отклонил от вертикалата и действието на силата F e прекратено. • На жироскопа остава да действа силата G и нейния момент (който е перпендикулярен на равнината, образувана от силата Gи оста z1. Тогава върхът на вектора К0 ще започне да се премества в същото направление и оста на симетрия ще започне да описва конус с постоянен ъгъл на отвора θ. Ъгловата скорост на прецесионалното движение на жироскопа ще се определи от: Jz1.ω1.ω3sinθ= М0 = G.l.sinθ,където: l = OC или: ω1= G.l/Jz1. ω3 [5], т.е. ω1 не зависи от θ.

6. z M0 R1 ω1 ω3 O L R2 z1 2. Двустепенен и тристепенен жироскоп 2.1 Двустепенен жироскоп. Жироскоп се върти с ъглова скорост ω3 около хоризонтална ос z1, която ос заедно придържащата я рамка може да се върти около вертикална ос z. Жироскопа има две степени на свобода. Защо? Ако двете въртения са реални, т.е. ω3>>ω1≠0 следва, че съществуват външни сили, които са предизвикали прецесията ω1≠0. Силата на теглото не може да предизвика момент спрямо О, защото масовия център С съвпада с т.О. Няма други външни сили, които да предизвикат прецесията освен натиска от рамката, т.е. от реакциите R1иR2. (Примери: кораб и ротора му, самолет и ротора му, автомобил на завой и маховика му).

7. z N1 M0 R1 ω1 ω3 O L R2 z1 N2 Двустепенен жироскоп – продължение (жироскопичен ефект) • Ако външната рамка е поставена в неподвижни лагери както е на чертежа, то вследствие на М0 ще се появи ответен жироскопичен момент L, който от своя страна ще породи реакциите N1 и N2. Появата в такива случай на жироскопичен момент и влиянието му върху поведението на системата се нарича “жироскопичен ефект”. Големината на реакциите R1 = R2 = R се определя от зави- симостта [2] или [3] и [4]: R.l = Jz1.ω1.ω3sinθ(тук θ=90) или: R = 1/l . (Jz1.ω1.ω3) [6], а за реакциите N1=N2 = N : N = 1/lN. (Jz1.ω1.ω3) [7]. Тук l и lNса съответно разстоянията между подвижните и неподвижните опори. При пресмятанията към тези динамични реакции следва да се прибавят (или извадят) статичните реакции в хоризонталната равнина, породени от теглото (А = G/2)

8. 2.3 Тристепенен жироскоп (уравновесен или астатичен жироскоп) • Жироскоп, на който не действат външни сили или тези сили са в равновесие, се нарича уравновесен или астатичен жироскоп. Към тези жироскопи се отнасят ротационни тела, окачени в центъра на тежестта си и извършващи въртене около оста си на симетрия, а така също и жироскопи с карданно окачване. • Движението на такъв жироскоп се ограничава само от наличието на една неподвижна точка и има три степени на свобода (нарича се още “свободен жироскоп”). • Масовият център С на уравновесения жироскоп съвпада с неподвижната точка О и моментът на силите на тежестта спрямо тази точка е нула, т.е. М0(а) = 0. • Тези жироскопи имат особено свойство – оказват силно съпротивление на силите, стремящи се да да сместят осите му.

9. z 2 y O 3 1 x Тристепенен жироскоп (продължение) • Кардановият жироскоп се състои от въртящо се около ос z тяло 3 и карданно съединение. Карданното съединение има вътрешна рамка 2, която лагерува във външна рамка 1, а тя от своя страна може да се върти около неподвижни опори – оста у. Трите оси са взаимно перпендикулярни. Тъй като М0 = 0, то dK0/dt = 0 и K0 = const. [8] . Условието [8] показва, че оста на бързовъртящия се уравновесен жироскоп ще запазва неизменно направлението си в пространството. (ако при t0,ω3װz) При други начални условия, жироскопа ще прецесира регулярно.

10. 3. Приложение на жироскопа в техниката. 3.1 Приложение в навигационните устройства • тристепенен жироскоп като компас и курсоуказател; • тристепенен жироскоп като автопилот; • за осигуряване прав курс на торпедо (апарат на Обри); • тежък жироскоп (пумпал) като изкуствен хоризонт; • демонстрация на въртенето на Земята (Фуко); • танкова навигационна апаратура за автоматично и непрекъснато определяне положението на машината и курсовия ъгъл. 3.2 Жироскопични стабилизатори • успокоител на Шлик за люлеенето на кораба; • стабилизатори на танковото оръдие – жироскопични датчици за ъгъла (тристепенен) и за скоростта (двустепенен);

11. Въпроси ?