Unidad IV. Métodos de optimización con restricciones

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA. NÚCLEO MÉRIDA INGENIERÍA DE SISTEMAS OPTIMIZACIÓN NO LINEAL Unidad IV. Métodos de optimización con restricciones El Problema de Optimización no Lineal con restricciones. Función de Lagrange. Condiciones de Karus-Kuhn Tucker (KKT).

2. El Problema de Optimización no Lineal con restricciones • Se basa en encontrar el máximo o mínimo de un sistema representado por una función sujeta a una serie de restricciones. • Dentro de los métodos empleados para dar solución a este tipo de problemas están: • Función de Lagrange. • Condiciones de Karus-Kuhn Tucker (KKT).

3. Función de Lagrange • Formar el Lagrangeano con la función más las restricciones multiplicadas cada una de ellas por una variable λj. • Derivar respecto a cada una de las variables del Lagrangeano Nota: Las variables del Lagrangeano son aquellas de la función original más cada λj agregada por cada restricción. • Igualar a cero las ecuaciones obtenidas en el paso anterior, despejando cada una de las variables del Lagrangeano, con el fin de encontrar los valores de cada λj para luego encontrar los valores óptimos de cada variable de la función y de la función misma. • Hallar la matriz Hessiana para concluir si el punto encontrado es máximo o mínimo. Matriz Hessiana: matriz formada por las derivadas de segundo orden de la función. • Si el criterio de los menores principales aplicado a la matriz Hessiana no decide, entonces se debe aplicar el método de Hankcok, que consiste en restarle una variable z a cada elemento de la diagonal principal de la matriz Hessiana sin que éste corresponda o se relacione a alguna ecuación de las λj. Matriz Hessiana: 1.- Definida positiva si todos los determinantes son >0 2.- Definida negativa si los determinantes son <0,>0,<0…

4. Condiciones de Karus-Kuhn Tucker KKT) Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) son una generalización del método de los multiplicadores de Lagrangepara restricciones con desigualdad. • Hallar el Lagrangeano de la función. • Derivar el Lagrangeano sólo respecto a variables de la función. • Plantear las ecuaciones: • Derivadas=0 • λj(Restricciones)=0 • Restricciones con desigualdad • λj con desigualdad de acuerdo a la tabla • Planteamiento de casos para λj y desarrollo para cada uno de ellos. • Al conseguir los valores óptimos de cada variable para cada caso, se evalúan los mismos en el conjunto de ecuaciones planteadas, las cuales deben satisfacer para optar a solución del problema. • En caso de tener dos o más casos cuyos valores óptimos de las variables cumplan con las ecuaciones planteadas, se elige en caso de maximización, aquellos valores que maximicen la función objetivo.