Podstawowe pojęcia prognozowania i symulacji na podstawie modeli ekonometrycznych

1. Podstawowe pojęcia prognozowania i symulacji na podstawie modeli ekonometrycznych Przewidywaniem nazywać będziemy wnioskowanie o zdarzeniach nieznanych (należących do przeszłości lub przyszłości) na podstawie zdarzeń znanych. Prognozowanie – to racjonalne, naukowe przewidywanie przyszłych zdarzeń. Oznacza to, że w całym procesie badawczym korzysta się z dorobku nauk, metodologii, teorii odnoszących się do badanych zjawisk. Prognoza jest sądem dotyczącym określonej przyszłości, weryfikowanym empirycznie, niepewnym ale akceptowanym. Prognozowanie ekonometryczne (predykacją) opiera się na modeli ekonometryczne. U podstaw tego rodzaju prognozowania leży zjawisko korelacji zmiennych ekonomicznych. Fakt, że w przeszłości zaobserwowaliśmy występowanie pewnej korelacji między zmiennymi sprawia, iż – nadziei, że korelacja ta się utrzyma także w przyszłości – próbujemy o tej przyszłości formułować sądy. Prognozy ekonometryczne dzielimy na dwie podstawowe grupy: 1. Prognozy ex post oraz historyczne - gdy dotyczą okresu, dla którego dane statystyczne są dostępne, lecz nie zostały one wykorzystane do estymacji parametrów modelu, 2. Prognozy ex ante – gdy dotyczą okresu, dla którego nie istnieją informacje statystyczne, odnośnie zmiennych występujących w modelu.

2. . Wiarygodnością prognozybędziemy nazywać minimalną wartość prawdopodobieństwa prawidłowości sądu, potrzebną do uznania tego sądu za prognozą statystyczną. Dokładnością prognozybędziemy nazywać przedział prognozy, który odpowiada wiarogodności. Procedura prognozowania: 1. Założenie a priori prawdopodobieństwa prawidłowości naszego sądu, czyli wiarygod-ność prognozy b (zwykle b=0,95, wtedy dopuszczalny błąd prognozy a=1-b=0,05). 2. Oszacowanie wartości zmiennej prognozowanej Y* w okresie prognozowania (prognoza punktowa). 3. Ustalenie przedziału dla wartości zmiennej prognozowanej w okresie prognozowania [Yd*, Yg*], gdzie Yd*, Yg* odpowiednie dolna i górna granica przedziału w okresie prognozowania (prognoza przedziałową). 4. Obliczenie błędu bezwzględnego D i błędu względnego d (błędu) prognozy. 5. Wnioskowanie o jakości prognozy.

3. Prognozy ekonometryczne mogą być dwojakiego rodzaju: • prognozy punktowe, • prognozy przedziałowe. Prognoza punktowa jest liczbą uznaną za najlepszą ocenę wartości zmiennej prognozowanej w okresie prognozowania. Prognozę tę otrzymuje się na podstawie modelu ekonometrycznego poprzez podstawienie do niego odpowiednich wartości zmiennej objaśniającej X dla okresu prognozowania T. Dla liniowego modela prognoza punktowa yT* dla okresu prognozowania T: Prognoza przedziałowa jest przedziałem liczbowym, który ze z góry zadanym prawdopodobieństwem b, nazywanym wiarygodnością prognozy, zawiera nieznaną wartość zmiennej prognozowanej y w okresie prognozowania T. Efektem wyznaczenia tej prognozy dla zmiennej w okresie prognozowania T jest przedział [ydT*, ygT*], gdzie yd*, yg* odpowiednie dolna i górna granica przedziału w okresie prognozowania.

4. Wzory dla obliczenia prognozy przedziałowej: Wartość współczynnika wβ dla założonej wiarygodności b : • gdy odchylenia losowe mają rozkład normalny oraz próba jest liczna (powyżej 30 obserwacji) posługujemy się dystrybuantą rozkładu normalnego wβ = uβ; • b) gdy odchylenia losowe mają rozkład normalny dla małej próby (do 30 obserwacji) posługujemy się rozkładem t-Studenta. Wtedy wβ = ta,n-2, gdzie ta,n-2 jest wartością krytyczną rozkładu t-Studenta dla poziomu istotności a=1-b i n-2 stopniami swobody; • c) gdy w procesie weryfikacji nie sprawdzono normalności składnika losowego lub hipoteza o jego normalności została odrzucona, wyznaczamy współczynnik wb w oparciu o wzór wynikający z nierówności Czebyszewa, w którym współczynnik ten zależy od wiarygodności prognozy.

5. - kwadrat średniego błędu prognozy dla okresu T Analizując wzór, możemy stwierdzić, że oczekiwany błąd prognozy: 1. rośnie, gdy wzrasta wariancja zakłóceń s2; 2. rośnie, gdy wartości zmiennej objaśniającej xT oddalają się od średniej, w szczególności gdy wzrasta okresu prognozy ex ante; 3. maleje, gdy wzrasta ilość obserwacji użytych do skonstruowania modelu; 4. maleje, gdy wzrasta zmienność zmiennej objaśniającej x. Błędy prognoz Trafność prognozy określa się po upływie czasu, na który prognoza była wyznaczona, a stopień trafności mierzy się przez użycie błędów ex post. Dla prognoz ex ante można jedynie oszacować możliwy błąd prognozy i na podstawie tego szacunku wnioskować o skuteczności prognozy.

6. Wyróżniają błędy prognoz: 1. Błąd - E lub średni błąd - ME (ang. error i mean error): 2. Błąd procentowy - PE lub średni błąd procentowy - MPE (ang. percentage error i mean percentage error): 3. Absolutny błąd (błąd bezwzględny) - AE = D lub średni absolutny błąd - MAE (ang. absolute error i mean absolute error): 4. Absolutny błąd procentowy (błąd względny) – APE = d lub średni absolutny błąd procentowy - MAPE (ang. absolute percentage error i mean absolute percentage error):

7. 5. Błąd średniokwadratowy - MSE (ang. mean square error) 6. Współczynnik janusowy Współczynnik ten określa relację stopnia dopaso-wania prognoz i modelu do danych rzeczywistych. Dopóki J2 ≤ 1 to prognozę uważa się za trafną. 7. Współczynnik Theila Zaletą tego współczynnika jest możliwość rozłożenia na sumę trzech składników, które bliżej pozwalają określić charakter błędów:

8. gdzie - średnie arytmetyczne rzeczywistych wartości i wartości prognozowanych w przedziale prognozy, σ, σ* - odchylenie standardowe rzeczywistych wartości i wartości prognozowanych w przedziale prognozy, r – współczynnik korelacji między wartościami rzeczywistymi a prognozowanymi. Wartość I12 informuje o wielkości błędu wynikającego z obciążenia metody estymacji (predykacji). Wartość I22 odzwierciedla rozmiary błędu wynikającego z niedostosowania elastyczności prognozy do faktycznych wahań zmiennej prognozowanej. Wartość I32 charakteryzuje błąd wynikający z braku zgodności między kierunkami zmian zmiennej prognozowanej i jej prognoz. Dla prognoz ex ante przyjmujemy Dla pojedynczych prognoz wnioskujemy o skuteczności prognoz: Jeżeli dT < a wtedy prognoza jest skuteczna; Jeżeli dT >= a wtedy prognoza odrzuca się.