1 / 27

ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN. NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ. NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ.

brandy
Télécharger la présentation

ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ

  2. NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ •  Aplikuje se tam, kde náhodná veličina  nabývá jakékoliv hodnoty z teoreticky nekonečného intervalu - < x <  (např. výsledky měření délky, hmotnosti, tvrdosti, kyselosti atd.). •  Na náhodnou veličinu působí s malou intenzitou řada vzájemně nezávislých náhodných vlivů. •  Normální rozdělení N ( m , s2 ) závisí na dvou parametrech, střední hodnotě m a rozptylu s2 .

  3. hustota pravděpodobnosti : • f (x) = • distribuční funkce : • F (x) = • Střední hodnota : E (  ) = mrozptyl : D (  ) = s2 .

  4. Příklad: Hustota pravděpodobnosti normálních rozdělení N1(0; 0,25) , s parametry  = 0 a 2 = 0,25 ( = 0,5), N2(0; 1) , s parametry  = 0 a 2 = 1 ( = 1), N3(0; 4) , s parametry  = 0 a 2 = 4 ( = 2). 0,023 0,159 0,309

  5. Příklad: Distribuční funkce normálních rozdělení N1(0; 0,25) , s parametry  = 0 a 2 = 0,25 ( = 0,5), N2(0; 1) , s parametry  = 0 a 2 = 1 ( = 1), N3(0; 4) , s parametry  = 0 a 2 = 4 ( = 2). 0,309 0,159 0,023

  6. V intervalu  - ,  +  leží 68,26 % všech pozorování, mimo tento interval leží 215,87 %, t.j. 31,74%. V intervalu  - 2,  + 2 leží 95,44 % všech pozorování, mimo tento interval leží 22,28 %, t.j. 4,56%. V intervalu  - 3,  + 3 leží 99,73 % všech pozorování, mimo tento interval leží 20,135 %, t.j. 0,27 % (2 700 ppm). V intervalu  - 4,  + 4 leží 99,994 % všech pozorování, mimo tento interval leží 20,003 %, t.j. 0,006 % (60 ppm). V intervalu  - 5,  + 5 leží 99,99994 % všech pozorování, mimo tento interval leží 20,00003 %, t.j. 0,00006% (0,6 ppm). V intervalu  - 6,  + 6 leží 99,999999999 % všech pozorování, mimo tento interval leží 20,000000001%, t.j. 0,000000002% (0,002 ppm).

  7. 68,27%

  8. 95,45%

  9. 99,73%

  10. NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ • Transformace náhodné veličiny  , rozdělené N(, 2), • odstraňuje závislost na parametrech  a 2 . Nová náhodná veličina  má normální rozdělení N(0,1) se střední hodnotou 0 a rozptylem 1 a nabývá hodnot • Potom hustota pravděpodobnosti : • a distribuční funkce : • Střední hodnota : E (h ) = 0 a rozptyl : D (h ) = 1 .

  11. Tabulka kvantilů rozdělení N(0, 1) • Hodnoty kvantilů u náhodné veličiny  , rozdělené N(0, 1), jsou hodnoty u vyhovující rovnici • jsou tabelovány pro hodnoty 0,001  0,999. • Jelikož platí u1- = - u , jsou uvedeny pouze hodnoty kvantilů pro 0,5  1 . • Pro výpočet kvantilů x náhodné veličiny  rozdělené N(  , 2 ) se použije vztah • x =  + u .

  12. PŘÍKLAD : Pro  = 0,925 je u = u0,925 = 1,44 ; pro  = 0,075 je u = u0,075 = u1–0,925 = –u0,925 = –1,44 . Uvažujme náhodnou veličinu  rozdělenou N(, 2) = N(3; 0,25). Potom vzhledem k tomu že s = 0,5 je pro  = 0,925 je x = x0,925 =  + u = 3 + 1,44  0,5 = 3,72, pro  = 0,075 je x = x0,075 =  + u = 3 + (-1,44)  0,5 = 2,28. Pod hodnotou 3,72 bude ležet v průměru 92,5% všech pozorování, resp. pod hodnotou 2,28 bude ležet v průměru 7,5% všech pozorování.

  13. POZNÁMKA: • V některých aplikacích, zejména v SPC, se označují kvantily normovaného normálního rozdělení up symbolem z . • Jsou tabelovány podíly pz pro z  což jsou podíly nad hodnotou  + z  nebo pod hodnotou  – z  pro normální rozdělení N(, 2). Hodnota z představuje vzdálenost od střední hodnoty v jednotkách směrodatné odchylky. • Příklad: Pro z = 2, je pz = 0,0228 . Nad hodnotou  + 2 , stejně jako pod hodnotou  –2 leží v průměru podíl 0,0228 jednotek .

  14. Hustota pravděpodobnosti (u) rozdělení N(0, 1) • Hustoty pravděpodobnosti • normovaného normálního rozdělení N(0,1) jsou tabelovány pro 0  u  3,99 , pro – 3,99  u   0 je •  (–u) =  (u) . • Pro normální rozdělení N(, 2) je hustota pravděpodobnosti • rovna

  15. Zakreslení křivky hustoty pravděpodobnosti • rozdělení N(, 2) do histogramu • Do histogramu s šířkou třídních intervalů h a celkovým počtem pozorování n ( n = , nj ; j = 1, 2, ... , k ; jsou třídní četnosti) zakreslíme křivku normálního rozdělení relativních četností: • případně křivku rozdělení absolutních třídních četností:

  16. PŘÍKLAD : Bylo proměřeno n = 200 průměrů čepů z výrobního procesu. Byl vypočten výběrový průměr = 23,416 mm (odhad ) a směrodatná odchylka s = 0,108 mm (odhad ) . Údaje byly seskupeny do tříd šířky h = 0,05 mm a sestrojen histogram . Do histogramu zakreslíme křivku hustoty pravděpodobnosti odpovídající normálnímu rozdělení N(23,416; 0,1082) Pro bod x = 23,34 mm je u = ( x - ) /  = (23,340 - 23,416) / 0,108 = -0,7037 a (u) = (-0,70) = 0,3123. Potom fh,re(x) = h (u) /  = f0,05;re(23,34) = 0,05 * 0,3123 / 0,108 = 0,1446 a fh,ab(x) = n fh,re(x) = f0,05,ab(23,34) = 200 * 0,1446 = 28,92.

  17. Zakreslení křivky normálního rozdělení N(23,416; 0,1082) do histogramu z n = 200 pozorování seskupených do 12 tříd šířky h = 0,05. 0,1446 28,92

  18. Bodové odhady parametrů  a  • Využití normálního rozdělení v praxi předpokládá znalost: • – parametru polohy  a – parametru rozptýlení (variability)  . • Výstupy z experimentu mohou mít různé formy : • 1)Jediný náhodný výběr rozsahu n jednotek : x1, x2, x3, ..., xn . • a) výběrový průměr ; • b) výběrový medián Me = x(k) , kde k = (n+1)/2 pro n liché a Me = (x(k) + x(k+1))/2 , kde k = n/2 pro n sudé ; • c) výběrový rozptyl ; • d) výběrová směrodatná odchylka ; • e) výběrové rozpětí R = xmax - xmin = x(n) - x(1).

  19. Odhady : •  resp.  Me ; • 2 s2 ; •  s resp.  R / d2 . • Konstanty d2 a C4 závislé na rozsahu náhodného výběru n jsou tabelovány (tabulka č. 2. v ČSN ISO 8258).

  20. 2) k podskupin stejného rozsahu po n jednotkách( n1 = n2 = ... = nj = ... = nk = n ) . a) celkový výběrový průměr: ; b) průměrný výběrový medián: ;

  21. c) průměrný výběrový rozptyl: ;d) průměrná výběrová směrodatná odchylka: ;e) průměrné výběrové rozpětí: . • Odhady: •  resp.  ; • 2 ; •  resp.  resp.  • 1) Konstanty C4 a d2 závislé na rozsahu podskupiny n viz tabulka č. 2. v ČSN ISO 8258.

  22. 3) k podskupin různého rozsahu nj jednotek (j = 1, 2, …, k) Celkový počet pozorování je a) celkový výběrový průměr: ; b) průměrný výběrový medián: ;

  23. c) průměrný výběrový rozptyl: ;d) průměrná výběrová směrodatná odchylka: ;e) průměrné výběrové rozpětí: . • Odhady: •  resp.  ; • 2 ; •  resp.  resp.  • 1) Konstanty C4 a d2 závislé na rozsahu podskupiny n viz tabulka č. 2. v ČSN ISO 8258.

  24. Poznámky: 1) Hodnoty C4 a d2 v závislosti na rozsahu výběru jsou uvedeny v tab. 2 v ČSN ISO 8258. 2) V případě, že podskupiny jsou různého rozsahu ( n1 n2 , ... ,  nk ) , je celkový počet pozorování a pak se musí vypočítat vážené hodnoty těchto koeficientů:

  25. PŘÍKLAD • Uvažujme k = 6 podskupin stejného rozsahu n = 5 . Výsledky jsou sestaveny do tabulky, ve které jsou vypočteny průměry podskupin a výběrové směrodatné odchylky sj . • Výpočty: • celkový výběrový průměr : = 1,807 ;průměrný výběrový rozptyl : = 0,0652 ;průměrná směrodatná odchylka: = = 0,255 . • Odhady : 1,807 a (0,0652) = 0,255.

  26. POZNÁMKY : • Při analýze výrobního procesu se setkáváme s dalšími charakteristikami: • 1) Celkové charakteristiky : • a) celkový výběrový průměr = 1,807 • (charakterizuje polohu těžiště souboru vzniklého spojením všech podskupin za celé sledované období a tedy těžiště procesu za toto období; je vždy roven průměru výběrových průměrů podskupin ) ; • b) celková směrodatná odchylka stot = 0,493 • (charakterizuje variabilitu v souboru vzniklém spojením všech podskupin za celé sledované období a tedy celkovouvariabilitu procesu za toto období; je obvykle větší než průměrná směrodatná odchylka podskupin, protože zahrnuje vedle variability uvnitř podskupin i variabilitu mezi podskupinami) ; • c) průměrná výběrová odchylka = 0,255 • (charakterizuje průměrnou variabilitu uvnitř podskupin).

  27. 2) Charakteristiky rozdělení výběrových průměrů : • a) průměr výběrových průměrů = 1,807 ; • b) směrodatná odchylka výběrových průměrů = 0,469 • (směrodatná odchylka výběrových průměrů charakterizuje variabilitu mezi výběrovými průměry podskupin a tedy v podstatě i variabilitu mezi podskupinami). • 3) Porovnání odhadů směrodatné odchylky procesu s : • a) = 0,255 ; • b) = 0,242 ; • c) = 0,236 .

More Related