1 / 31

Operations Research

Operations Research. Sonderfälle der Simplexmethode. LO-Aufgabe mit unbeschränkten Zielwert. Gegeben sei folgende LO-Aufgabe: I Z = 2X1 + X2  max II -X1 + 2X2 12 X1 – 4X2 4 -X1 + X2 2 III X1, X2 0 . LO-Aufgabe mit unbeschränkten Zielwert.

brendy
Télécharger la présentation

Operations Research

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Operations Research Sonderfälle der Simplexmethode

  2. LO-Aufgabe mit unbeschränkten Zielwert • Gegeben sei folgende LO-Aufgabe: • I Z = 2X1 + X2  max • II -X1 + 2X2 12 X1 – 4X2 4 -X1 + X2 2 • III X1, X2 0

  3. LO-Aufgabe mit unbeschränkten Zielwert • Nach dem Einfügen der drei Schlupfvariablen ergibt sich folgendes Starttableau:

  4. LO-Aufgabe mit unbeschränkten Zielwert • Und folgendes Endtableau: negativer Zielkoeffizient • Dies führt zu folgendem allg. Lehrsatz: • Steht über einem negativen Zielkoeffizienten kein positiver Koeffizient, so gibt es zulässige Lösungen, aber keinen maximalen Zielwert.

  5. LO-Aufgabe mit unbeschränkten Zielwert • Grafisch betrachtet entsteht ein offener Zielbereich:

  6. Minimierungsaufgaben • Zu jeder Maximierungsaufgabe gibt es eine entsprechende Minimierungsaufgabe. Die Lösungen sind ident, nur in ihrem Vorzeichen verschieden. Nebenbedingungen bleiben gleich!

  7. Minimierungsaufgaben • Beispiel: Starttableau 2. Simplextableau Endtableau

  8. Mehrfachlösungen • Weist eine Nichtbasisvariable den Wert Null auf, gibt es weitere optimale Lösungen. Bsp.: Starttableau 1. Endtableau Basis X2 weist den Wert Null auf, steht aber nicht in der Basis.

  9. Mehrfachlösungen • Wird trotz aller positiver Zielkoeffizienten nach X2 weiteriteriert, kommt man zu einem weitern 2. identen Ergebnis. Probe durch Einsetzen in die Zielfunktion: Da Y2 als Nichtbasisvariable wieder den Wert Null aufweist kommt man durch weiteriterieren (Y2 als Pivotspalte) zu einem nächsten optimalen Ergebnis mit dem Wert Z = 4.

  10. Zusammenfassende Fragen: • Woran erkennt man eine Basisvariable, woran eine Nichtbasisvariable? • Setzen Sie beide Ergebnisse aus dem Unterkapitel Mehrfachlösungen in die Zielfunktion • ein und überprüfen Sie die Lösungen.

  11. Auflösung: Z = X1-X2 = 6-2 = 4 Z = X1-X2 = 7-3 = 4

  12. Auflösung: • Grafische Darstellung: X1

  13. Dualität der linearen Optimierung Zu jeder Maximierungsaufgabe gibt es eine entsprechende Minimierungsaufgabe! • Ist die ursprüngliche LO-Aufgabe lösbar, dann ist auch die entsprechende duale Aufgabe lösbar. • Die Zielwerte der beiden Aufgaben stimmen in diesen Fällen überein. • Die ursprüngliche Maximierungsaufgabe wird primale Aufgabe genannt. • Die zugehörige Minimierungsaufgabe, wird duale Aufgabe genannt.

  14. Dualität der linearen OptimierungBeispielaufgabe • (I) Z=X1 - X2 - 2X3  max • (II) +X1 + X2 - X3 >= 16 • 2X1 + X2 + X3 <= 30 • X1 +X3 >= 10 • (III) X1, X2, X3 >= 0 Vor der Formulierung der dualen Aufgabe werden alle Restriktionen durch Multiplikation mit (-1) zu Bedingungen umgewandelt. • (II) -X1 - X2 + X3 -16 • 2X1 + X2 +X3 30 • -X1 - X3 -10

  15. Dualität der linearen OptimierungBeispielaufgabe • Die umformulierte LO-Aufgabe wird in ein abgekürztes Schema geschrieben und anschließend in eine Minimierungsaufgabe umgewandelt:

  16. Dualität der linearen OptimierungBeispielaufgabe • Die Umformung in eine Minimierungsaufgabe erfolgt durch Tausch der Zielzeile mit der rechten Seite. Anschließend werden die zentralen Variablen spaltenweise transponiert:

  17. Dualität der linearen OptimierungBeispielaufgabe • Wieder mit (-1) multiplizieren um nur Bedingungen und die max-Form zu haben. Duale Aufgabe: Anschließend wird die Starttableau erstellt:

  18. Dualität der linearen OptimierungBeispielaufgabe • Da die rechte Seite neg. ist, weist der tiefste Wert auf die Pivotzeile: Zielzeile (F) Pivotzeile 30/-2=15 Berechnung der Quote: Niedrigste Wert weist auf die Pivotspalte.

  19. Dualität der linearen OptimierungBeispielaufgabe • Nach weiteren Iterationen ergibt sich folgendes Endtableau:

  20. Übungsbeispiel 1 • Gegeben sei folgende LO-Aufgabe: • A.)Lösen Sie diese Aufgabe grafisch und schraffieren Sie den Bereich der zulässigen Lösungen.

  21. Lösung 1 Z=5x1 + 4x2 = 5 x 2 + 4 x 2 = 18

  22. Übungsbeispiel 2 • Gegeben sei folgende LO-Aufgabe: • A.)Lösen Sie diese Aufgabe grafisch und schraffieren Sie den Bereich der zulässigen Lösungen. • Zeichnen Sie den Vertreter der Zielgeradenschar ein und benennen Sie ihn mit a.

  23. Lösung 2A

  24. Übungsbeispiel 2b • B.) Benennen Sie in der Zeichnung die Eckpunkte mit A, B, … und geben Sie die entsprechenden Koordinaten an. • Wie lautet die Optimallösung und der maximale Zielwert.

  25. Lösung B

  26. Übungsbeispiel 2c • C.) Wie lautet Ihre Lösung falls die Zielfunktion Z = x1-x2max lautet? • Tragen Sie in Ihr Diagramm einen Vertreter der neuen Zielgeradenschar ein und benennen Sie Ihn mit dem Buchstaben b.

  27. Lösung C Für Z=0 (Vertreter der Geradenschar)x1=x2 Alle Punkte der Strecke BC führen zum maximalen Z (C)Somit ergibt sich Zmax=7-3=4 (B) Zmax=6-2=4

  28. Übungsbeispiel 2d • D.)Wie verändert sich die Lösbarkeit wenn Sie die Restriktion x1 + x2 <= 10 unter (II) weglassen?

  29. Lösung D • D.)Es existieren Lösungen, aber keine mit einem maximalen Ziel. Durch den Wegfall der Geraden CD ist der Zielraum offen.

  30. Übungsbeispiel 2e • E.)Formulieren Sie die duale Aufgabe unter Verwendung der zugehörigen echten Variablen.

  31. Lösung E • E.) Umwandeln zu <= und spaltenweises transponieren:

More Related