La Méthodologie de Box-Jenkins

1. La Méthodologie de Box-Jenkins Michel Tenenhaus

2. 1. Les données • Une série chronologique assez longue (n  50). • Exemple : Ventes d’anti-inflammatoires en France de janvier 1978 à juillet 1982. • Objectif : Prévoir les ventes d’août à décembre 1982.

3. Marché total des anti- inflammatoires

4. Marché total des anti-inflammatoires

5. 2. Stabiliser la série Il faut TRANSFORMER la série observée de manière à - enlever la tendance, - enlever la saisonnalité, - stabiliser la variance.

6. Pour enlever la tendance Faire des différences régulières d’ordre d : d = 1 d = 2 Différence régulière d’ordre d : Dans la pratique d = 0,1, rarement 2

7. Marché total des anti-inflammatoires : Différence régulière d’ordre d = 1

8. Pour enlever la saisonnalité Ordre de la saisonnalité : s = 12 (mois) ou 4 (trimestre) Faire des différences saisonnières d’ordre D : D = 1 D = 2 Différence saisonnière d’ordre D : Dans la pratique D = 0,1, très très rarement 2

9. Marché total des anti-inflammatoires : Différence saisonnière (s = 12) d’ordre D = 1

10. Pour enlever tendance et saisonnalité Formule générale : On peut choisir d et D minimisant l’écart-type de wt. Application Marché total :s = 12, d = 1, D = 1

11. Marché total des anti-inflammatoires : Différence régulière/saisonnière (s = 12, d = 1, D = 1)

12. Calcul des séries différenciées

13. Calcul des écarts-types s = 12, d = 1, D = 1

14. évaluation de la tendance 1 an avant valeur 1 an avant terme aléatoire Développement de zt De On déduit On va modéliser la série « stationnaire » wt.

15. Pour stabiliser la variance On utilise souvent les transformations

16. Indépendant de la période t 3. Le modèle statistique On suppose que la série stabilisée (w1,…,wN) provient d’un processus stationnaire (wt) : Dans des conditions assez générales tout processus stationnaire peut être approché par des modèles AR(p), MA(q) ou ARMA(p,q).

17. Remarque : AR(p) : Auto-régressif d’ordre p où at est un bruit blanc :

18. MA(q) : Moyenne Mobile d’ordre q Remarque :

19. Remarque : ARMA(p,q)

20. Question Comment choisir le modèle correspondant le mieux aux données étudiées ? Réponse On utilise les autocorrélations k et les autocorrélations partielles kk.

21. 4. Autocorrélation

22. Exemple : Marché TotalDifférence régulière/saisonnière : d = 1, D = 1 Autocorrélations calculées

23. Exemple : Marché TotalDifférence régulière/saisonnière : d = 1, D = 1 Corrélogramme observé Formule de Bartlett

24. Formule de Bartlett (Hypothèse : h= 0 pour h  k) Variance des autocorrélations rk Formule de Box-Jenkins pour un bruit blanc (Hypothèse : h= 0 pour h  1)

25. k 1 0     k Corrélogramme théorique Test : H0 : k = 0 On rejette H0 : k = 0 au risque  = 0.05 si Application Marché total : 1 = 0, k = 0 pour k > 1

26. Autocorrélation partielle d’ordre k : 5. Autocorrélation partielle Régression de wt sur wt-1,…,wt-k: C’est une corrélation partielle:

27. Calcul pratique de estimation de kk Soit : Etc… On obtient les estimations des kken remplaçant les kpar rk.

28. Rejet de H0 : kk = 0 si: Exemple : Marché TotalDifférence régulière/saisonnière : d = 1, D = 1 Autocorrélations partielles calculées

29. Corrélogramme partiel observé Corrélogramme partiel théorique kk 1 14 2 0     k

30. AR(1) (a) : (b) : 6. Autocorrélations et autocorrélations partielles des modèles AR(p) et MA(q)

31. AR(2) (a) : (b) : Le dernier pic significatif du corrélogramme partiel donne l’ordre p du modèle AR(p).

32. MA(1) (a) : (b) :

33. (a) : q = 2 (b) : q = 5 (c) : q = 6 MA(q) Le dernier pic significatif du corrélogramme donne l’ordre q du modèle MA(q).

34. 7. Étude de la série Marché Total • Les autocorrélations suggèrent un modèle MA(1). • Les autocorrélations partielles suggèrent un modèle AR(14).

35. 7.1 Étude de la voie moyenne mobile On suppose que wtsuit un modèle MA(1) : et on a  = E(wt) = . On choisit les paramètres ,  et 2 à l’aide de la méthode du maximum de vraisemblance.

36. Maximum de vraisemblance • On suppose que le vecteur aléatoire • w = (w1,…,wN) suit une loi multinormale. • Densité de probabilité de w : • On recherche maximisant • la vraisemblance

37. Qualité de l’ajustement dans ARIMA où r est le nombre de paramètres (hors 2). On recherche le modèle minimisant SBC.

38. Modèle MA(1) avec constante

39. Modèle MA(1) sans constante

40. évaluation de la tendance 1 an avant choc aléatoire en t choc aléatoire en t-1 marché 1 an avant Modélisation de zt De On déduit

41. Modèle : Prévision de zt réalisée en t-1 : Erreur de prévision à l’horizon 1 : Calcul pratique des prévisions et des erreurs sur l’historique: Calcul des prévisions et des erreurs

42. Résultats

43. Résultats (suite)

44. Résultats (fin) Vérifier les calculs pour

45. Graphique des ventes observées et prédites

46. Graphique des résidus

47. Qualité de l’ajustement dans Time Series Modeler

48. Validation du modèle Étude des

49. Validation du modèle Corrélogramme des Formule de Box-Jenkins Corrélogramme théorique des erreurs bt k(bt) 12 0     k

50. Validation du modèle : Utilisation de la statistique de Ljung-Box La statistique de Ljung-Box suit une loi du khi-deux à m-r ddl lorsque les résidus forment un bruit blanc. On accepte le modèle étudié si les niveaux de signification sont > .05 pour différentes valeurs de m.