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BCC. 數字系統. r 進位：轉成 10 進位. r 代表「基底」 10 進位： r ＝ 10 2 進位： r ＝ 2 D r : 表示某個 r 進位的數 (r 不寫，表 r=10) D r ≡ (d n-1 d n-2 …d 0 ‧d -1 d -2 …d -q ) r 135.246 10 = (1*10 2 +3*10 1 +5*10 0 +2*10 -1 +4*10 -2 +6*10 -3 ) 10 147.256 8 = (1*8 2 +4*8 1 +7*8 0 +2*8 -1 +5*8 -2 +6*8 -3 ) 10

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Presentation Transcript

  1. BCC 數字系統 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  2. r進位：轉成10進位 • r代表「基底」 • 10進位：r＝10 • 2進位：r＝ 2 • Dr:表示某個r進位的數(r不寫，表r=10) • Dr ≡ (dn-1dn-2…d0‧d-1d-2…d-q)r • 135.24610= (1*102+3*101+5*100+2*10-1+4*10-2+6*10-3)10 • 147.2568= (1*82+4*81+7*80+2*8-1+5*8-2+6*8-3)10 • 就某一個「數量」而言，不同進位，只是表示法不同，他們都是表示「同一個數量」，理論上必須相同。 • 整數：各進位間，有「1對1」對應 • 實數：10進位轉成2進位時，可能無法用有限的位數表示！ • 在電腦的世界中, 整數、實數以不同方式存放 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  3. 10 進位：轉成r進位 • 「整數、小數」分開算 • 整數：連除r，取餘數 • 小數：連乘r，取整數 • 【範例】766.2812510=( ? )8 • 766.2812510=(1376.22)8 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  4. 整數：n位數, r補數 • r代表「基底」 • 10進位：r＝10 • 2進位：r＝ 2 • Dr:表示某個r進位的整數 • 我們必須明訂這個整數是幾位數(令為n), 位數不夠需補0 • Dr ≡ (dn-1dn-2…d0)r • r補數，代表r進位系統中的「負數」 • 有了r補數，我們就可用加法來做減法，簡化硬體線路 • ∵A-B = A+(-B) = A+(B的r補數) • ∴-B= B的r補數 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  5. 整數：n位數, r補數 • 既然，「r補數」代表r進位系統中的「負數」 • 『Dr ≡ (dn-1dn-2…d0)r>0』的r補數＝-Dr ＝rn -Dr • ∵ Dr + -Dr =0 而 Dr +(rn -Dr) = rn = (1n0n-10n-2…00)r • ∵我們只計n位數 ∴將1n丟掉(忽略)即得到正確的答案0 • 例子：求(1234)10的10補數： 求(1011)2的2補數： 10000 10000 1234 (- 1011 (- ----------- ------------- 8766 = (104-123410) 0101 = (24-10112) • 1234 (+ 1011 (+ ----------- -------------10000 = (10410) 10000 = (24) 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  6. 整數：n位數, r補數 • 「r補數」比較不好算  「r-1補數」+1, 令r’=r-1 • 『 Dr ≡ (dn-1dn-2…d0)r 』的r-1補數＝-Dr -1＝rn -1-Dr＝ (r’n-1r’n-2…r’0)r- (dn-1dn-2…d0)r • 例子：求(1234)10的9補數： 求(1011)2的1補數： 9999 1111 1234 (- 1011 (- ----------- ------------- 8765 = (104-1-123410) 0100 = (24-1-10112) • 「r補數」=「r-1補數」+1 • 例子：求(1234)10的10補數： 求(1011)2的2補數： 8765 = (104-1-123410) 0100 = (24-1-10112) 1 (+ 1 (+ ------------- ------------- 8766 = (104-123410) 0101 = (24-10112) 剛好：10, 01 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  7. 二進位 • 電腦為何使用「二進位」？ • 因為電腦的「元件」都是「雙態(2種狀態)」元件 • 二極體：P極、N極 • 磁蕊 ：南極、北極 • 電壓 ：高電壓、低電壓 • 這些「雙態」元件的狀態都可利用「電」改變之 • 其中一種狀態稱之為「0」，另一種狀態稱之為「1」 • 若該元件可持續維持在某一狀態，直至我們改變它為止，則我們稱之為「記憶體元件」 • 1個這樣的記憶體元件，我們稱其為「一個bit」 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  8. 二進位 • 為何「元件」在任一時間點，只能存1或0？ • i.e. 為何不能同時存1和0？ • 以「磁蕊」為例說明之： • 假設南極為0，北極為1 • 同一個磁蕊同一時間只能有一種極性, 因此, 只能有一種狀態, 要麼是0, 要麼是1 • 因此,當有人說「把0存入某記憶體(元件)中」:意指「將該記憶體(元件)的狀態改為0」 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  9. bit | nibble | Byte • 任何資料在電腦中，必是以「0101…」的形式存入，該形式稱之為「bit pattern」 吾人以「β2」表示之。 • 10進位無號整數(α10)轉成2進位(β2)寫成「α10＝β2」 • 1bit只能表示2種狀態 • 當我們需要多種狀態時，就需要多個bit組合起來，看成一組。 • nibble: 4 bits看成一組  有 24＝ 16種狀態 (bit pattern) • Byte : 8 bits看成一組  有 28＝256種狀態 (bit pattern) • 4bit：雖然有16種狀態(bit pattern)， 但是，任一時間點，只能「存」其中一種狀態(bit pattern) 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  10. 有號整數存入電腦的方式：n-bits • 2補數(2’s complement)：儲存負整數 • 1補數(1’s complement)：為了方便計算2補數 • Excess 2n-1：儲存實數的指數 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  11. 1’s complement：1補數 有號整數 • (1’s complement): n-bits • D10β2= α10 • formula: • D10 ≧0  D10=B2≡β2 • D10＜0  (1) -D10 =P2≧0(2) β2≡「P2的1補數」=~P2=(2n-1)10-P2 =(2n-1)10+D10 = α10 • ~P2 ≡{P2各bit：01, 10} • 兩種0：＋0, -0 • 以4-bits為例：0000, 1111 1補數 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  12. 2’s complement：2補數 • (1’s complement)+1 • D10β2= α10 • formula: • D10≧0D10=B2=β2 MSB=0 • D10＜0  //D10=-410(1) -D10 = P2 //P2=410=01002(2) β2= P2的2補數(11002)=~P2+1=(2n-1)10-P2+1=(2n)10+D10 = α10MSB=1 • X-Y=X+(-Y) -Y=Y的2補數 2補數 12 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  13. 2’s complement：2補數 • D10＜0 「令S’2=D’10 」 • D10β2≡(1S’)2=α10=2n+D10 • =2n-1+ S’2=2n-1+D’10 •  D10 =2n-1+ D’10 -2n = D’10 -2n-1 • 舉例： • D10=-6  10102=1010=23+0102 • S’2=0102=210=D’10 • D10=-6=210-23=D’10-23=D’10-24-1 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  14. (A+B)2： illegal : cn⊕cn-1=1 • C=cncn-1cn-2cn-3…c0A= an-1an-2an-3…a0B= bn-1bn-2bn-3…b0 • -2n-1≦ A+B=Z < 2n-1 • (cn=0)⊕(cn-1=1)=1 overflow • cn=0, cn-1=1  an-1=bn-1=0 • C=01cn-2cn-3…c0A= 0an-2an-3…a0 >0B= 0bn-2bn-3…b0 >0 (+-------------------------------Z= 1zn-2zn-3…z0 <0 (正＋正變負) • cn-1=1  A+B≧2n-1 →← overflow 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  15. (A+B)2： illegal : cn⊕cn-1=1 • C=cncn-1cn-2cn-3…c0A= an-1an-2an-3…a0B= bn-1bn-2bn-3…b0 • -2n-1≦ A+B=Z < 2n-1 • (cn=1)⊕(cn-1=0)=1  underflow • cn=1, cn-1=0  an-1=bn-1=1 (A,B<0) • C=10cn-2cn-3…c0A= 1an-2an-3…a0 <0 令A=1A’ B= 1bn-2bn-3…b0 <0 (+ 令 B=1B’ -------------------------------Z= 0zn-2zn-3…z0 ≧0 (負＋負變正) • cn-1=0  0≦A’+B’<2n-1 (Z>0)A+B=(A’- 2n-1)+(B’- 2n-1) =A’+B’- 2n <2n-1-2n <-2n-1 →← underflow 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  16. (A+B)2： legal : cn⊕cn-1=0 • C=cncn-1cn-2cn-3…c0A= an-1an-2an-3…a0B= bn-1bn-2bn-3…b0 • -2n-1≦ A+B < 2n-1 • cn⊕cn-1=0 • cn=1, cn-1=1  drop cn • 試證明 A＊B<0 則 A＋B>0 • cn=0, cn-1=0  do nothing • 試證明 A＊B<0 則 A＋B<0 • A+B<0 (MSB=1) • 轉成10進位時，結果需再取2補數，前面加上負號。 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  17. (A*B)2：「left shift」「＋」 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  18. (A/B)2： 「left shift」「-」 • 110011002/1012R1 = 110011002 -(101)2*25Q1=1*25 = 1011002R2 = 1011002 -(101)2*23 Q2=1*23= 1002Ans: Q=Q1+Q2=1000002+10002=1010002 =4010 R=R2 = 1002 = 410 • 驗證：(11001100)2 /1012=20410/510=40餘4 • 減法會用「加2補數」做 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  19. Excess 2n-1表示法 2’s complement Excess-8 • excess-8 (23) • D10β2= α10 = (D+2n-1) 10 • D10=6β2=11102 =1410=(6+8)10 • D10≧0β2是2n-1 -D10的2補數 • D10＜0β2是2n-1+D10的2進位 • β2= α10  α10 - 2n-1β2= α10  α10 if α10 <2n-1α10-2n otherwise 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  20. 實數(Floating Point)儲存方式 • 以 8bits 舉例說明： 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  21. 31 0 31 Sign • BiasedExponent 23excess-bias 22 significand 0Mantissa IEEE 754：1. single precision +127 value=(-1)S＊(1+M)＊2(BE-Bias) (Bias=127) 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  22. 31 0 31 Sign • BiasedExponent 23excess-127 22 significand 0Mantissa IEEE 754：1. single precision • value=(-1)S＊(1+M)＊2(BE-Bias) (Bias=127) • -3.1415= (-1)1＊(11.00100100001…)= (-1)1＊(1.100100100001…) ＊21 = (-1)1＊(1.100100100001…) ＊2(128-127) 10000000 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  23. 64 0 63 Sign • BiasedExponent 52excess-1023 51 significand 0Mantissa IEEE 754：2. double precision +1023 value=(-1)S＊(1+M)＊2(BE-Bias) (Bias=1023) 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

  24. 64 0 63 Sign • BiasedExponent 52excess-1023 51 significand 0Mantissa IEEE 754：2. double precision • value=(-1)S＊(1+M)＊2(BE-Bias) (Bias=1023) • -3.1415= (-1)1＊(11.00100100001…)= (-1)1＊(1.100100100001…) ＊21 = (-1)1＊(1.100100100001…) ＊2(1024-1023) 10000000000 聯合大學資工系 周念湘 nschou@nuu.edu.tw

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