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F 分布 兩族群變方相等性檢定 變方分析 (ANOVA) 試驗設計

第十章. F 分布與變方分析 F-Distribution and Analysis of Variance. F 分布 兩族群變方相等性檢定 變方分析 (ANOVA) 試驗設計. 10.1 F 分布. 兩個族群變方的比值稱為 F 值 即 若 F=1 ，即表示兩族群變方相等 。 而由 F 值所組成之次數分布即為 F 分布。 Ｆ 分布為紀念 R.A. Fisher 而命名，故又稱費氏 Ｆ 分布 (Fisher ’ s F distribution) 。

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F 分布 兩族群變方相等性檢定 變方分析 (ANOVA) 試驗設計

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  1. 第十章.F分布與變方分析 F-Distribution and Analysis of Variance F分布 兩族群變方相等性檢定 變方分析(ANOVA) 試驗設計

  2. 10.1 F分布 • 兩個族群變方的比值稱為F值 • 即 • 若F=1，即表示兩族群變方相等 。 • 而由F值所組成之次數分布即為F分布。 • Ｆ分布為紀念 R.A. Fisher 而命名，故又稱費氏Ｆ分布(Fisher’s F distribution)。 • 若族群變方未知，而以樣品均方( )作為變方的估值，則F值亦可以兩樣品均方之比值表示為：

  3. F分布 • F分布曲線是根據 自由度 及 之自由度 而定的一條分布曲線，故F分布曲線依 及 之不同而異。 • F分布之機率求法，已製有右尾積分10%、5%、1%之機率表(附表七)。

  4. F分布 • 通常計算F值時，常把較大的均方放於分子，而較小的均方放於分母，因此F值均大於1，故F值也就採用右單尾檢定。但若欲計算左單尾F值所發生的機率，可採用 換算。

  5. 10.2 兩族群變方相等性檢定 例子10.2 設下列為人工與儀器測定成年人血液中尿酸含量之記錄，是檢定兩種測定法之變異是否相同。 (1)虛無假設 (2)對立假設 (3)設定顯著水準 (單尾) (4)計算 ，若 表示兩變方不相等。 mg% / ml mg% / ml

  6. 例子10.2 • 今實測 ，故拒絕H0的假設，表示兩種尿酸測定法之變方不相等。

  7. 10.4 變方分析(Analysis of Variance:ANOVA) • 針對數個樣品(處理)均值之比較檢定法，雖然也可以採用兩樣品均值差異的t檢定(兩兩成對比較)，但此種方式結果犯第一型錯誤機率，要比我們設定的顯著水準(0.05)高很多，也就是可靠性會降低。 • 假設有四個樣品均值要互相比較，則共有 對樣品均值差異的比較檢定，若設每對比較檢定的顯著水準為 ，即其信賴水準為 。 • 故6對樣品均值差異獨立比較結果之正確率為： ，犯第一型錯誤率為 。

  8. 變方分析(ANOVA) • 而採用變方分析法，可維持在 的顯著水準下，同時比較數個樣品均值的相等性問題。 • 應用變方分析的前提： • 各樣品(處理)互相獨立。 • 各處理之試驗誤差應獨立 • 各處理之試驗誤差應同質(homogeneity)。 • 並且服從常態分佈。

  9. 變方分析之原理 • 一般試驗結果難免會發生誤差(error)，有些誤差是可以控制，而有些則是不明原因所造成的。 • 我們以下面的例子來說明試驗資料之成因、試驗誤差以及變方分析之原理。 • 假設有一老祖父過96歲生日，他將美金96元分給12位孫子當零用錢，為求公平所以每人得8元，不過分配後祖父覺得這樣不妥，因為12位孫子中，四位為研究生、四位為大學生、另四位為中學生，根據不同年齡層消費會不同，因此祖父決定再重新分配，如下表所示：

  10. 觀測值

  11. 今以三種飼料12隻天竺鼠增重比較試驗結果代替今以三種飼料12隻天竺鼠增重比較試驗結果代替

  12. 10.4.3 平方和劃分 兩邊取平方後總和為： + = 總平方和 (total sum of squares) 處理平方和 (treatment sum of squares) 誤差平方和 (error sum of squares)

  13. 各項平方和其均方之求法 總均方 處理均方 誤差均方

  14. 變方分析表 實測F值是以處理均方(MSt)除以誤差均方(MSE)而得，根據自由度 及 查得顯著水準 為0.05或0.01之F值，若實測 則表示處理均值不相等，處理效應存在，反之則不存在。或以P值表示，若P小於0.05或0.01，則處理效應存在。

  15. 處理均方期望值與誤差均方期望值之比值 • 若F=1, • 若F>1, • 至少有一對處理平均值不等

  16. 例子10.3 假設有A、Ｂ、Ｃ三種食品進行天竺鼠飼養，每種食品飼養四隻，經過兩週後每隻之增重(克)如下記錄，試以變方分析法檢定三種食品品質是否有差異。

  17. 影響天竺鼠2週增重變異的原因(變因) • 已知變因(Known Variation) • 飼料品牌 • 未知變因(Unknown Variation) • 試驗誤差(Experimental Error) • 其他所有可能的原因 • 天竺鼠起始體重 • 測量誤差 • 試驗環境 • …

  18. (1)虛無假設 (2)對立假設 (3)設定顯著水準 (單尾) (4)計算F值 首先求各效應平方和：

  19. 三種食品對天竺鼠增重檢定變方分析表 實測 ，故接受H0的假設，表示三種食品品質相同。

  20. 例子10.4 假設有A、Ｂ、Ｃ三種食品進行天竺鼠飼養，每種食品飼養四隻，經過兩週後每隻之增重(克)如下記錄，試以變方分析法檢定三種食品品質是否有差異。

  21. (1)虛無假設 (2)對立假設 (3)設定顯著水準 (單尾) (4)計算F值 首先求各效應平方和：

  22. 三種食品對天竺鼠增重檢定變方分析表 實測 ，故拒絕H0的假設，表示三種食品品質不完全相同。記兩個星號**通常表示處理均值間之差異達1%顯著水準，一個星號*表示處理均值間之差異達5%顯著水準。

  23. 10.4.6 成對處理均值間差異比較 • 一般Fisher 的最小顯著差異法(LSD) • Duncan 的多變域檢定法(DMRT) • Scheffe 的S值檢定法等多種 • Scheffe 之臨界值比LSD或DMRT都大，兩處理均值比較時，其差異值較不易達顯著水準，適合於較嚴格之比較測驗。 • S>DMRT>LSD

  24. 1. Fisher’s 最小顯著差異(Least Significance Difference, LSD) • 若實測處理i與i´之間的差異比理論的LSD大,表示處理i與i´之平均值間有顯著差異

  25. 例：飼料與天竺鼠兩週增重

  26. 鄧氏新多變域測驗法Duncan’s New Multiple Range Test(DMRT) • 其臨界值之計算式如下:(見附表8) • r=2, • r=3,

  27. 處理均值 實測差異值 • --------------------------------------- • C 11 - • B 7 4* - • A 6 5* 1 - • ---------------------------------------- • *號表示兩處理均值間的差異達到5%顯著水準

  28. 雪菲S法(Scheffe’s S Method) • 兩處理均值差之臨界值計算式:

  29. 處理均值 實測差異值 • --------------------------------------- • C 11 - • B 7 4* - • A 6 5* 1 - • ----------------------------------------

  30. Bonferroni多重比較方法 • 顯著水準：α，兩兩比較個數：k • 調整顯著水準： α*=α/k • Bonferroni(1-α)%信賴區間 • 決策方法：若處理i與i´之Bonferroni(1-α)%信賴區間不包括0 　處理i與i´之平均值間有顯著差異

  31. 例：飼料與天竺鼠兩週增重

  32. Tukey忠誠顯著差異值(Honest SignificanceDistance,HSD) • Ｑα, m, dfE • 決策方法：若處理i與i´之HSD不包括0 處理i與i´之平均值間有顯著差異

  33. 例：飼料與天竺鼠兩週增重

  34. 10.5試驗設計(experimental design) • 設置重複（set up replication） • 隨機排列（random arrangement） • 誤差控制（error control） 一個好的研究必須要有嚴謹的設計 ，客觀的試驗過程及合理的推論。因此試驗時必須遵守下列三個原則

  35. 設置重複 同一處理(如食品、藥品、療法、品種)所使用的試驗單位數即為重複。 主要作用是估算試驗誤差以備統計推論之用。 若試驗只做一次(重複一次)，則無法估算試驗誤差，也就無法做統計推論。 重複次數愈多，理論上試驗誤差愈小，試驗結果會愈準確可靠。 一般來說，計量資料，如果誤差控制得好，設計均衡，10~20次即可，甚至還可小一些；而計數資料，即使誤差控制得好，也需要30-100次左右。

  36. 隨機排列 哪一個處理被安排於哪個試驗單位要機會均等，不能有人為的主觀偏見。 隨機排列與重複相結合，試驗數據就能估算無偏的(unbiased)試驗誤差，統計推論才合理可靠。 隨機法有:拋硬幣,擲骰子,抽籤,利用隨機數字表

  37. 誤差控制 誤差來源有兩種(見2.7節) 系統誤差（systematic error） (知道原因的誤差,有方向) 隨機誤差（random error） (不知道原因的誤差)

  38. 10.5.1完全隨機設計(CRD)(one-way ANOVA) 採用本設計的條件(本設計只有隨機誤差) 各處理(如以A、B、C代表三種食品、藥品)所使用的試驗材料要同質(或同時或同環境)進行試驗 各處理要隨機排列如圖： 本設計之優點：試驗最簡單，試驗結果效力最高，適合任意處理數及重複數的試驗。

  39. [例] 設今有A,B,C三種營養食品,以老鼠為試驗材料,每種食品飼養4隻老鼠(4重複),其試驗設計圖及一個月後之增重(克)如下圖

  40. 資料整理 • ---------------------------------------------- • 處理 觀測值 處理 和 處理均值 • ----------------------------------------------- • A 1.4 1.9 2.0 1.5 6.8 1.7 • B 2.0 2.4 1.8 2.2 8.4 2.1 • C 2.6 2.8 2.5 2.1 10.0 2.5 • -------------------------------------------------- • 25.2

  41. 各種平方和之計算 • SST= • SSt= • SSE=SST-SSt=2.00-1.28=.72

  42. 變方分析表 • 變 因 自由度 平方和 均方 實測F值 理論F值(0.05) • ------------------------------------------------- • 食品(t) 3-1=2 1.28 0.64 8.0 4.26 • 誤差(E) 11-2=9 .72 .08 • ------------------------------------------------- • 總計(T) 12-1=11 2.00 • 三種參試食品品質間有顯著差異

  43. 處理均值間比較 • 處理 均值 實測差異值 • ------------------------------------ • C 2.5 - • B 2.1 .4 - • A 1.7 .8 .4 - • ------------------------------------ • 比較結果C與B,B與A無差異,但C與A則有差異

  44. 10.5.2隨機完全區集設計(RCBD) (two-way ANOVA) 採用本設計條件 • 試驗材料為異質(或異時或異環境)，但可明顯分成幾組，每組集合數個性質相同的試驗單位而成一區集(block)。 • 各區集內之試驗單位數必須等於處理數 • 在各區集內參試處理要隨機排列，形成同源配對

  45. 隨機完全區集設計(RCBD) 本設計優點： 可剔除試驗材料（或時間或環境）不同時之系統誤差，以減小試驗誤差。 任意處理數及區集數均可。 本設計缺點： 若試驗材料為同質，其試驗效果不如完全隨機設計(CRD）。 試驗結果資料有缺值時，資料分析比較複雜。

  46. 例子10.7假設有A、Ｂ、Ｃ、D四種血液凝結處理方法，如選取五位健康成人，每人抽血後分成四份，並隨機分配四種凝血處理方法，所得血液凝固時間如下圖，試比較何種處理方法較佳。例子10.7假設有A、Ｂ、Ｃ、D四種血液凝結處理方法，如選取五位健康成人，每人抽血後分成四份，並隨機分配四種凝血處理方法，所得血液凝固時間如下圖，試比較何種處理方法較佳。 • 試驗設計圖

  47. 資料整理

  48. (1)虛無假設 (2)對立假設 (3)設定顯著水準 (單尾) (4)計算F值 首先求各效應平方和：

  49. 雙向 變方分析表 實測 ，故拒絕H0的假設，表示四種凝血處理方法有差別。

  50. 成對處理均值間差異比較 • 處理均值間差異比較表 • 處理 均值 實測差異值 • ----------------------------------------------------- • D 11.58 - • B 10.68 0.90 - • C 9.46 2.12 1.22 - • A 9.00 2.58 1.68 0.46 - • ------------------------------------------------------ • D與B,A與C無差異,但D與B比A與C,血液凝固時間長

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