Conjunto de los números reales

1. Conjunto de los números reales • Números naturales 0 1 2 3 4 5 … 0,1,2,3,4,5,… =

2. Números enteros …-3 -2 -1 0 1 2 3… = …-3, -2,-1,0,1,2,3…

3. Todo numero natural es un numero entero Nota importante Subconjunto

4. NUMEROS RACIONALES (FRACCIONES) • Números racionales -2 -1 -1/2 0 ½ 1 2 TODO NUMERO ENTERO ES UN NUMERO RACIONAL Subconjunto

5. El conjunto de los números racionales es el conjunto que esta formado por todos aquellos elementos que pueden representarse en la forma Tales que cada uno de ellos es un numero entero y además b debe ser diferente de cero

6. NUMEROS IRRACIONALES • Todo empezó cuando empezaron a estudiar las áreas de las figuras como el Área = lado x lado • Si un tiene como medida 2, entonces: su área es lado por lado, o sea 2x2=4 • De este modo empezaron a preguntarse: • ¿Si tengo el área del cuadrado, pero lo que quiero averiguar es uno de los lados, que hago? • Formula:

7. Problema 1 • Si un cuadrado tiene como área 5.¿Cuanto mide su lado? Solución: Aplicando la formula: • Pero que pasa con este valor de: • No era natural • No era entero • No era racional

8. 4. 5. La existencia de los números irracionales como ,etc., fue demostrada por los griegos del siglo lll

9. Estudio del numero (pi), como numero irracional • Durante siglos el hombre careció de un importante invento: la rueda. • Los Babilónicos fueron los inventores de la rueda esto hace unos 6000 años, tal vez de ahí nació su afán de descubrir el valor aproximado conocido hoy día como (pi). Longitud de la circunferencia Longitud del diámetro = Diámetro

10. Estudio del número • Así a lo largo de la historia de la humanidad encontramos que nuestros antepasados estaban buscando, directa o indirectamente, un numero racional para expresar la razón de la circunferencia de un a su diámetro. Como se sabe en la actualidad, la búsqueda fue en vano; esto debida a que pi no es un numero racional.

11. Este gran aporte se debe a Johan Lambert, un matemático alemán del siglo xviii, al probar que este numero misterioso en realidad era un numero irracional, llamado pi. Aquí se tiene una aproximación con cifras decimales : =3,141592653589793238462693363279502864197169399375105820974944… Estudio del número como un numero irracional

12. Los números irracionales • Podemos concluir que los números irracionales son aquellos mismos que tienen una expresión decimal infinita,(números que no tienen fin).

13. Los números irracionales • Ejemplo de otro numero irracional El numero de Napier, el cual es la unidad utilizada en las telecomunicaciones para medir la magnitud del amortiguamiento. El símbolo de este numero es e . e=2,718281828459…

14. El conjunto de los números reales …-2,-1,0,1,2… 0,1,2,3,...

15. El conjunto de los números reales • La unión de los números racionales y los irracionales dan como resultado el conjunto de los números reales. • ,esto pues no tienen elementos en común.

16. El conjunto de los números reales

17. Números decimales • Racionales (Notación decimal finita o infinita periódica)

18. Irracionales (Notación decimal infinita no periódica) ¿Cual es la diferencia?

19. Diferencia entre los números racionales y los irracionales • Un numero racional posee una expansión decimal periódica infinita • Numero irracional posee expansión decimal a periódica infinita.

20. Resumen

21. Propiedades del conjunto de • Propiedades del conjunto de los números naturales y enteros Infinitos Discreto: Entre dos números consecutivos siempre existe la misma distancia. Ordenado: siempre se pueden comparar dos números.

22. Propiedades del conjunto de los números racionales • Denso: entre dos numeros racionales siempre es posible encontrar otro numero racional. • Infinito • Ordenado: siempre es posible comparar dos números racionales.

23. Propiedades de los números irracionales Infinito Ordenado Denso

24. Propiedades de Continuo Denso Completo: hay una correspondencia biunívoco entre los puntos de la recta numérica y sus elementos Infinito

25. Intervalos reales • Un intervalo real es un conjunto de los reales y al igual que el conjunto también es infinito. • Tenemos diferentes tipos de notación: Corchetes Ejemplo: Por comprensión Ejemplo: Se lee x pertenece a R, tal que x es mayor o igual a 2

26. Gráficamente -2 -1 0 1 2 3 4 5 Se lee todos los números reales desde el menos -1 inclusive hasta mas infinito.

27. Clasificación de los intervalos reales • Intervalo real cerrado Es aquel en el cual los elementos de sus extremos se hallan incluidos Ejemplo: -3 -2 -1 0 1 2 3

28. Clasificación de los intervalos reales 2.Intervalo real abierto Es aquel en el cual no se incluyen los extremos Ejemplo: -2 -1 0 1 2 3

29. Clasificación de los intervalos reales 3.Intervalo real semiabierto Es aquel en el cual solo se incluyen uno de los dos extremos. Ejemplo: -2 -1 0 1 2 3 4

30. Clasificación de los intervalos reales 4. Intervalo real al infinito Es aquel intervalo en el cual se constituye por todos los números reales que se encuentran al lado izquierdo o derecho de algún numero real el cual podría estar incluido o no. Ejemplos: a) 1

31. Clasificación de los intervalos reales b) 2 c) 2

32. Fin ¡Muchas gracias¡