中国剰余定理 ～ 2000 年の歴史～

1. 中国剰余定理～2000年の歴史～ 大阪大学 s.t.fake (@st_fake)

2. 孫子算経 3～5世紀頃、中国の算術書「孫子算経」には 次の問題が描かれていた。 今有物、不知其数。 三・三数之、剰二。 五・五数之、剰三。 七・七数之、剰二。 問物幾何？ 意訳： 今ここに、個数がわかっていない ものがあります。 ３で割ると余りが２ ５で割ると余りが３ ７で割ると余りが２ さて、これは全部でいくつ？

3. まぁ皆さん考えてみましょう。 あと30秒くらい。 あと10秒くらい。 1分くらい。 そこまで～ 知ってるZE!　という方は類題を…７　で割ると余り６ ９　で割ると余り１ １１ で割ると余り１

4. 答えは。 23です。（類題：496） …気になるのは答えじゃなくて 　求め方ですよねー？

5. 孫子算経の解法 140 • 3で割ると2余る→ • 5で割ると3余る→ • 7で割ると2余る→ 　　これらを全部足す。 210を引いて… 63 93 30 233 23 210

6. 孫子算経の解法 • 一般に 3で割った時のあまり　×70 5で割った時のあまり　×21 7で割った時のあまり　×15 これらをすべて足しあわせて　105　を 可能な限り引けば良い。

7. ポイントは、105を引くところ！ 昔の人はなんとなく…でやっていたのかもしれ ませんが、これはとても重要なことなのれす！ どういうこと？ 105で余りの組み合わせが1周する！

8. ちょこっと数学的に。 このことを数学的に記述しますとこうなります。 より一般に、次のようなことも成り立ちます。

9. ここで注意！ とりあえず素因数分解しても、 互いに素でなければこれは使えません。 例えば有名な例だと でしょうか。

10. 更に発展。 これだけだと数学的なありがたみが殆ど 無いわけです。まぁ暗号とかにはこのまま 使われるらしいのですが。 数学（主に代数）で使われるときには、イデアル の概念を用いて先の定理が描かれます。

11. 中国剰余定理（イデアル版） R：単位元を持つ可換環 I,J：Rのイデアル、互いに素（ I+ J= R） a∈Rとする。この時次の環準同型写像φ は、次の同型を誘導する。

12. 証明 先に補題として、 を示しておこう。ここでもイデアルが互いに素 であることが生きてくる。 は自明なので皆さんの練習問ｄ（ｒｙ

13. 証明

14. 証明 　　　　　　　　　　　　　　　　である証明。 補題：完

15. 証明

16. 証明

17. 証明

18. 証明

19. 証明

20. 証明

21. 証明

22. 証明

23. 証明

24. 証明

25. 証明

26. 証明

27. 証明

28. 証明

29. 証明 証明：完

30. 応用例

31. 今日のまとめ。 3で割って◯余る 5で割って◯余る 7で割って◯余る… 中国剰余定理でいう の形となる。 ←このタイプは105で一週する。

32. ご清聴、ありがとうございました。

33. 計算用紙。いわゆる余白。