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Probleme mit dem Grenzwertbegriff beim Ableiten

Probleme mit dem Grenzwertbegriff beim Ableiten. Universität Gesamthochschule Paderborn. Hauke Friedrich hugo@uni-paderborn.de. Potsdam, 29. Feb. 2000. Die lokale Änderungsrate. Uni GH Paderborn. 1. lok. Ä-Rate Denkwelten 2. Aufgabe

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Probleme mit dem Grenzwertbegriff beim Ableiten

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Presentation Transcript

  1. Probleme mit dem Grenzwertbegriff beim Ableiten Universität Gesamthochschule Paderborn Hauke Friedrich hugo@uni-paderborn.de Potsdam, 29. Feb. 2000

  2. Die lokale Änderungsrate Uni GH Paderborn 1. lok. Ä-RateDenkwelten 2. Aufgabe 3. TranskripteI II Zu I und IIIIIZu I, II, IIIIVZu III und IVVVI 4. Zusammen-fassung • Die lokale Änderungsrate als Grundvorstellung für das Differenzieren • Die Momentangeschwindigkeit als Beispiel aus der realen Alltagswelt von Schülerinnen und Schülern • Vorstellungen vom Grenzwertbegriff bei Schülerinnen und Schülern • Zusammenhänge zwischen realer Welt (r-Welt) und Mathematikwelt (m-Welt)

  3. Der Grenzprozeß in r- und m-Welt Uni GH Paderborn 1. lok. Ä-RateDenkwelten 2. Aufgabe 3. TranskripteI II Zu I und IIIIIZu I, II, IIIIVZu III und IVVVI 4. Zusammen-fassung

  4. Die Aufgabe Uni GH Paderborn 1. lok. Ä-RateDenkwelten 2. Aufgabe 3. TranskripteI II Zu I und IIIIIZu I, II, IIIIVZu III und IVVVI 4. Zusammen-fassung • c) Bisher war immer von Durchschnittsgeschwindig-keiten die Rede. Gibt es auch so etwas wie eine Mo-mentangeschwindigkeit um 16:00 Uhr? Begründe! • d) Wie kannst Du möglichst genau die Momentange-schwindigkeit berechnen? • e) Überlege, ob und wie Du mit Deiner Methode die Momentangeschwindigkeit ganz genau berechnen kannst.

  5. Probleme mit dem Grenzwertbegriff Uni GH Paderborn 1. lok. Ä-RateDenkwelten 2. Aufgabe 3. TranskripteI II Zu I und IIIIIZu I, II, IIIIVZu III und IVVVI 4. Zusammen-fassung r- und m-Welt: Zwei Sichtweisen auf den Grenzwertbegriff Vermutung: Probleme in der einen Welt lassen sich auch in der anderen Welt wiederfinden: r-Welt: Momentangeschwindigkeit existiert / existiert nicht m-Welt: Momentangeschwindigkeit läßt sich genau berechnen / näherungsweise berechnen bzw. nicht berechnen

  6. I. Momentangeschwindigkeit = Grenzwert; TachoClaudia und David; Klasse 12 LK • VL: Ja, aber was hast du denn dann da gerade ausgerechnet? • C: Ja, aber in dem Moment ist er dann ja, in dem Moment wo er,.. zu dem Zeitpunkt hat er je ne gewisse Geschwindigkeit drauf. ... Weg hat er vielleicht zurückgelegt, aber die zeigt vielleicht ein Tacho (D: Ja.) würd das anzeigen. [...] Das hatten wir ausgerechnet.... [...] Weil ich ja in dem Moment, die genau diese Geschwindigkeit, zu diesem Zeitpunkt, ich habe in diesem Moment vielleicht keine Strecke zurückgelegt, aber wenn ich das im Ganzen betrachte, würd ich, bin ich in dem Moment so schnell.

  7. II. Ohne MG keine DG; Wer fährt, hat GeschwindigkeitChristian und Heiko; Klasse 10 • H: Gibt es auch so etwas wie eine Momentangeschwindigkeit um 16 Uhr? • C: Ja, natürlich. [...] Er fährt ja immer weiter. • H: [...] Ja, ja, schreib das hin. ... [...] ... Du kannst doch schreiben, dass es keine Momentangeschwindigkeit geben würde, gibt’s auch keine Durchschnittsgeschwindigkeit, weil dann würd er sich ja gar nicht bewegen.

  8. Bemerkungen zu I und II Uni GH Paderborn 1. lok. Ä-RateDenkwelten 2. Aufgabe 3. TranskripteI II Zu I und IIIIIZu I, II, IIIIVZu III und IVVVI 4. Zusammen-fassung Claudia:Übereinstimmung von r- und m-Welt.Bewegung als Ganzes: Der Zeitpunkt wird innerhalb des Zeitintervalls betrachtet, als dessen Teil. Heiko:Hier nur r-WeltDas Zeitintervall wird aus Zeitpunkten zusammen-gesetzt.

  9. III. keine Zeit => kein Weg => keine MG;Alexander und Sebastian; Klasse 12 LK • A: Genau, weil in dem Augenblick keine Zeit vergeht. So. Und äh, theoretisch bewegt sich das Auto zu diesem Zeitpunkt nicht vorwärts. Sondern genau zu dieser Zeit bleibt es ja genau da stehen, wo ich hin gucke. [...] Ne Sekunde später ist das Auto woanders. Und dann kann ich den Weg, dann habe ich einmal den Weg, den Weg, den es zurückgelegt hat und die Zeit, und daraus ich irgendwie da die Geschwindigkeit berechnen. [...] Aber genau zu dem Augenblick, wo ich kucke (VL: Ehm; S: Ja.), ist es für mich gleich 0.

  10. III. MG = GW = NäherungAlexander und Sebastian; Klasse 12 LK • Der VL wiederholt, dass “t gegen 0” nicht heißen kann, dass man in den Differenzenquotient für t einfach 0 einsetzt. Dann fragt er, ob der Grenzwert die Momentangeschwindigkeit genau angibt. A: Wenn t = 0 wird, (VL: Ja.) aber t wird ja nicht = 0. [...] S: Also kriegt man einen ganz knapp davon abweichenden Näherungswert. A: Grenzwert eben.

  11. Bemerkung zu I, II, III Uni GH Paderborn 1. lok. Ä-RateDenkwelten 2. Aufgabe 3. TranskripteI II Zu I und IIIIIZu I, II, IIIIVZu III und IVVVI 4. Zusammen-fassung Alexander:betrachtet Zeitpunkte (wie Heiko) aber keine Zeitinter-valle; isolierte SichtweiseGrenzwertClaudia:betrachtet Zeitpunkte nur innerhalb von Zeitintervallen;integrierte SichtweiseGrenzwert

  12. IV. Verschieden schnell; MG = NäherungChristian und Heiko; Klasse 10 • H: Und das noch. (liest vor) Überlege, ob und wie du mit deiner Methode die Momentangeschwindigkeit ganz genau berechnen kannst. • C: Ist doch das (meint Lösung von d)) ... Ne! Kannst nicht ganz genau berechnen. • H: Nö. • C: Weil, er kann sich in der einen Sekunde etwas schneller (bewe-gen?) und in der anderen Sekunde etwas langsamer.

  13. Bemerkung zu III und IV Uni GH Paderborn 1. lok. Ä-RateDenkwelten 2. Aufgabe 3. TranskripteI II Zu I und IIIIIZu I, II, IIIIVZu III und IVVVI 4. Zusammen-fassung Christian und Alexander betonen beide den Näherungsaspekt beim Grenzwert, aber: Alexander: isolierte SichtweiseChristian: ständige Änderung der Geschwindigkeit

  14. V. Werte fehlen; MG nicht berechenbar Uni GH Paderborn 1. lok. Ä-RateDenkwelten 2. Aufgabe 3. TranskripteI II Zu I und IIIIIZu I, II, IIIIVZu III und IVVVI 4. Zusammen-fassung • Schülerinnen und Schüler behaupten: Momentangeschwindigkeit aufgrund fehlender Werte nicht berechenbar • Welcher Art sind die fehlenden Werte? • Die vorhandenen Strecken sind zu ungenau Wertetabelle gibt nur Entfernungen im ½-Stunden-Takt wiedergibt • Nur Strecken aber keine Geschwindigkeiten gegebeneine Art Mittelwertbildung o.ä nicht möglich

  15. VI. Nenner ist Null (Zähler auch) Uni GH Paderborn 1. lok. Ä-RateDenkwelten 2. Aufgabe 3. TranskripteI II Zu I und IIIIIZu I, II, IIIIVZu III und IVVVI 4. Zusammen-fassung Dass Zähler und Nenner zu Null werden, wenn man den betrachteten Zeitpunkt einsetzt, scheint für die Schülerinnen und Schüler selbstverständlich zu sein. Fragt der Versuchsleiter im Gespräch nach, wird fast immer sofort darauf hingewiesen. In der Partnerar-beitsphase bemerken sie alleine dieses Problem, z.B. Alexander (13;188).

  16. Zusammenfassung Uni GH Paderborn 1. lok. Ä-RateDenkwelten 2. Aufgabe 3. TranskripteI II Zu I und IIIIIZu I, II, IIIIVZu III und IVVVI 4. Zusammen-fassung Zusammenfassung des vorläufigen Abschlusses der deskriptiven Phase:

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