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Probleme mit Rand- und Nebenbedingungen

Probleme mit Rand- und Nebenbedingungen. Überblick. Probleme mit Rand- und Nebenbedingungen = Constraint Satisfaction Problems (CSPs) Backtracking-Suche für CSPs Lokale Suche für CSPs. Probleme mit Rand- und Nebenbedingungen (CSPs). Standard-Suchproblem:

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Probleme mit Rand- und Nebenbedingungen

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Presentation Transcript

  1. Probleme mit Rand- und Nebenbedingungen

  2. Überblick • Probleme mit Rand- und Nebenbedingungen • = Constraint Satisfaction Problems (CSPs) • Backtracking-Suche für CSPs • Lokale Suche für CSPs

  3. Probleme mit Rand- und Nebenbedingungen (CSPs) • Standard-Suchproblem: • Zustand ist "black box“: Beliebige Daten, es sind nur Nachfolgerfunktion, Heuristikfunktion und Zieltest bekannt. • CSP: • Zustand ist definiert durch VariableX1 … Xn , wobei XiWerte aus der Wertmenge („Domaine“)Di annehmen kann. • Zieltest ist eine Menge von Bedingungen (Constraints) C1 … Cm. Jedes Ci definiert für eine Teilmenge der Variablen Kombinationen zulässiger Werte. • Lösung ist die konsistente Zuweisung von Werten aus den Domänen Ci an alle Variable Xi. • Konsistent bedeutet dabei mit den Contraints Ci verträglich. • Simples Beispiel einer formal representation language • Erlaubt Gebrauch von general-purpose Algorithmen, die weiten Anwendungsbereich haben, aber dennoch leistungsfähiger als Standard-Suchalgorithmen sind.

  4. Beispiel: Karte einfärben • Variable: WA, NT, Q, NSW, V, SA, T • DomänenDi = {rot, grün, blau} (für alle Variable) • Bedingungen: Benachbarte Regionen müssen verschiedene Farben haben • Z.B. WA ≠ NT • Oder: (WA,NT) in {(rot, grün), (rot, blau), (grün, rot), (grün, blau), (blau, rot), (blau, grün)}

  5. Beispiel: Karte einfärben • Lösungen sind vollständige und konsistente Wertezuweisungen • Z.B. WA = rot, NT = grün, Q = rot, NSW = grün, V = rot, SA = blau,T = grün.

  6. Constraint-Graphen • Binäres CSP: Jeder Bedingung setzt zwei Variable in Beziehung zueinander • Constraint-Graph: • Knoten sind Variable • Kanten sind Bedingungen

  7. Klassifizierung von CSPs • Diskrete Variable: • Finite Domänen: • n Variable, maximale Domänengröße d  O(dn) vollständige Wertezuweisungen • Spezialfall Boolsche CSPs (Domäne {True, False}) • Infinite Domänen: • Integer-Variable, Zeichenketten etc. • Z.B. Auftrags-Scheduling, Variable sind Beginn / Ende für jeden Auftrag, Werte sind Tage • Auflistung erlaubter Wertekombinationen unmöglich  „Beschränkungssprache“ erforderlich, z.B. StartJob1 + 5 ≤ StartJob3 • Kontinuierliche Variable • Z.B. Beginn / Ende der Nutzung einer Maschine mit „kontinuierlicher“ Zeit • Lineare Programmierung löst Probleme mit Bedingungen in Gestalt linearer Ungleichungen (konvexer Bereich) in polynomialer Zeit in n.

  8. Klassifizierung von Bedingungen • Unäre Bedingungen betreffen jeweils nur eine Variable • Z.B. SA ≠ grün • Binäre Bedingungen betreffen Paare von Variablen • Z.B. SA ≠ WA • Bedingungen höherer Ordnung betreffen 3 oder mehr Variable • Z.B. Kryptoarithmetische Spalten-Bedingungen

  9. Beispiel: Kryptoarithmetik • Variable: F, T, U, W, R, O • Hilfsvariable für Übertrag: X1, X2,X3 • Domänen: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} • Bedingungen: • Alldiff (F,T,U,W,R,O) (alle verschieden) • O + O = R + 10 · X1 • X1 + W + W = U + 10 · X2 • X2 + T + T = O + 10 · X3 • X3 = F, T ≠ 0, F≠ 0

  10. Reale CSPs • Zuweisungsprobleme • Welcher Lehrer unterrichtet welche Klasse? • Stundenplan: • Welche Vorlesung wann und wo? • Planung von Transportaufgaben • Welcher Fahrer, welcher Lastwagen (wieviel Ladung), welche Strecke? • Planung von Produktionsabläufen • Viele Realweltprobleme enthalten reellwertige Variable!

  11. Formulierung als Standardsuche (inkrementell) Zustände sind definiert durch bisher zugewiesene Werte. • Startzustand: Leere Zuweisung { } (keine Variable hat Wert) • Nachfolgerfunktion: Weise einer noch nicht belegten Variablen einen Wert zu, so dass kein Konflikt mit den schon erfolgten Zuweisungen entsteht. • Falls unmöglich: Failure • Pfadkosten: Konstant • Zieltest: Die Zuweisung ist vollständig.

  12. Eigenschaften der naiven Standardsuche für CSPs • Standardisiert: Für alle CSPs gleich • Für n Variable erscheint jede Lösung bei Tiefe n. Verwende Tiefensuche • Pfad ist irrelevant  Alternativ kann auch complete-state Formulierung verwendet werden: • Zustand = Vollständige Zuweisung (egal ob Bed. erfüllt) • Verwende lokale Suche • Für n Variable mit d verschiedenen Werten: • b = n d bei Tiefe 0 • b(s) = (n - s)d bei Tiefe s • Daher n! · dn Blattknoten bei nur dn möglichen Zuweisungen !

  13. Backtracking Suche: Motivation • Problem des naiven Ansatzes: n! · dn Blattknoten bei nur dn möglichen Zuweisungen • Aber: Variablen-Zuweisungen sind kommutativ, d.h. [ WA = rot, dann NT = grün ] ist dasselbe wie [ NT = grün, dann WA = rot ]. n! resultiert also aus der (noch vollständig repräsentierten) Kombinatorik • Daher Breitensuche unsinnig • Besser: Tiefensuche

  14. Backtracking Suche • Tiefensuche für CSPs heißt Backtracking Suche, wobei • nur eine Zuweisung pro Knoten erfolgt  b = d (bei d Werten), • falls keine erlaubten Werte vorhanden: Zurück gehen. • Backtracking ist Standardalgorithmus für uninformierte Suche bei CSPs • Löst n-Damen bis n ≈ 25

  15. Backtracking: Beispiel

  16. Backtracking: Beispiel

  17. Backtracking: Beispiel

  18. Backtracking: Beispiel

  19. Backtracking: Verbesserungen • Uninformierte Suche konnte durch problemspezifische Heuristikfunktionen verbessert werden ( informierte Suche) • Bei CSP steckt bereits in den Bedingungen C etwas problemspezifisches Wissen. •  Backtracking kann durch general-purpose (nicht problemspezifische) Methoden erheblich verbessert werden. • Verbesserungsansätze, basierend auf constraints: • Welche Variable erhält nächsten Wert? • In welcher Reihenfolge werden Werte durchprobiert? • Kann Sackgasse vorhergesagt werden?

  20. Variablenauswahl: Minimum remaining values (MRV) • Heuristik der „am stärksten eingeschränkten Variablen“ • D.h. wähle Variable mit den wenigsten zulässigen Werten • Dadurch ggf. frühes Abbrechen • Extremfall: Wähle Variable ohne zulässige Werte  Abbruch

  21. Variablenauswahl: Most constraining variable • „Gradheuristik“: Schränke Verzweigungsgrad b ein … • … durch Wahl der Variablen, die in den meisten Ci noch nicht zugewiesener Variabler enthalten ist. • Bsp. Landkarte: Entscheidet u.a. auch welche Region als erste eingefärbt wird (im Gegensatz zu MRV)

  22. Werteauswahl: Least constraining value • Heuristik des geringst-einschränkenden Wertes • D.h. wähle für geg. Variable den Wert, der am wenigsten Werte für die noch nicht belegten Variablen ausschließt. • Kombination MRV + least constraining value: 1000-Damen möglich.

  23. Sackgasse vorhersagen: Forward Checking • „Vorabüberprüfung“ • Idee: • Beobachte Wertevorrat für noch nicht belegte Variable. • Beende Suche, wenn eine Variable keine zulässigen Werte mehr hat.

  24. Sackgasse vorhersagen: Forward Checking • „Vorabüberprüfung“ • Idee: • Beobachte Wertevorrat für noch nicht belegte Variable. • Beende Suche, wenn eine Variable keine zulässigen Werte mehr hat.

  25. Sackgasse vorhersagen: Forward Checking • „Vorabüberprüfung“ • Idee: • Beobachte Wertevorrat für noch nicht belegte Variable. • Beende Suche, wenn eine Variable keine zulässigen Werte mehr hat.

  26. Sackgasse vorhersagen: Forward Checking • „Vorabüberprüfung“ • Idee: • Beobachte Wertevorrat für noch nicht belegte Variable. • Beende Suche, wenn eine Variable keine zulässigen Werte mehr hat.

  27. Sackgasse vorhersagen: Constraint Propagation • „Beschränkungsweitergabe“ • Forward checking nutzt Information aus erfolgten Zuweisungen um noch nicht zugewiesene Variable zu checken. • Aber nicht alle Sackgassen werden früh erkannt: • NT und SA können nicht beide blau sein! • Idee: Folgen der Beschränkungen einer Variablen noch weiter in die Zukunft propagieren • Constraint Propagation erzwingt wiederholt Bedingungen lokal • Algorithmen für Constraint Propagation ?

  28. Constraint Propagation:Arc consistency • Einfachste Form der Constraint Propagation: „Kantenkonsistenz“ • Gerichtete Kante X Y ist konsistent, wenn es für jeden Wert x aus X ein zulässiges y aus Y gibt, das mit x verträglich ist. • Konsistenz vonX Y kann hergestellt werden, indem alle Werte aus X entfernt werden, für die eskein zulässiges y aus Y gibt, das mit x verträglich ist. • Idee: Beschränke Wertevorrat durch Herstellung von Kantenkonsistenz! • Wenn X einen Wert verliert, müssen die Nachbarn von X wieder überprüft werden. • Arc consistency erkennt Sackgassen früher als forward checking.

  29. Constraint Propagation:Arc consistency

  30. Constraint Propagation:Arc consistency

  31. Constraint Propagation:Arc consistency

  32. Constraint Propagation:Arc consistency

  33. Kantenkonsistenz-Algorithmus AC-3 • Stellt Kantenkonsistenz her • Funktion Rm-Inconsistent-Values(Xi, Xj) : • Checkt ob für jedes x in Xipassendes y in Xj • Falls nicht, entferne x aus Xi • Falls ein x aus Xientfernt wurde, return True, sonst False • Funktion AC-3(csp) : • Lege Schlange von Kanten (Xi, Xj) an • Arbeite Schlange ab mit Rm-Inconsistent-Values • Falls dabei Rm-Inconsistent-Values Truezurückgibt: • Reihe alle „Nachbarn“ in Schlange ein

  34. Kantenkonsistenz-Algorithmus AC-3 Zeitkomplexität: O(n2d3), da • Schlangenlänge: n2 Kanten, jede Kante d Mal in Schlange • Rm-Inconsistent-Values: O(d2)

  35. Lokale Suche für CSPs • Hill-Climbing und simulated annealing bearbeiten meist „vollständige“ Zustände, d.h. alle Variablen sind zugewiesen. • Anwendung auf CSPs: • Erlaube Zustände mit nicht erfüllten Bedingungen • Operatoren verändern Werte • Variablenauswahl: Zufällige Wahl aus Menge der Variablen mit Konflikten. • Wertauswahl durch Heuristik minimaler Konflikte (Min-Conflicts) : • Wähle den Wert, der am wenigsten Bedingungen verletzt • D.h. Hill-Climbing mit h(n) = Gesamtzahl verletzter Bedingungen

  36. Beispiel: 4-Damen • Zustände: 4 Damen in 4 Spalten (44 = 256 Zustände) • Aktionen: Bewege Dame in Spalte • Zieltest: Keine Bedrohung • Evaluationsfunktion: h(n) = # Bedrohungen • Kann aus zufälligem Anfangszustand n-Damen in nahezu konstanter Zeit für bel. n mit hoher Wahrscheinlichkeit lösen (z.B. n = 10,000,000)

  37. Problemstruktur • Idee: Nutze Problemstruktur (repräsentiert in Constraint-Graph) zur Beschleunigung. • Welche Eigenschaften des Constraint-Graphen sind nützlich? • Bsp.: Tasmanien unverbunden! •  Suche nach unverbundenen (=unabhängigen) Unterproblemen! • Bsp.: • n Variable, Domänengröße d • Zwei Teilprobleme der Größe k + l = n • Aufwand O(dk + dl) statt O(dn) !

  38. Baumstruktur • Constraint-Graph = Baum, d.h. jedes Paar von Variablen durch höchstens einen Pfad verbunden • Algorithmus mit Aufwand O(nd2): • Wurzel = bel. Variable. • Ordne Variable linear, so dass stets Elternknoten vor Kindknoten  jede Variable hat genau einen Vorgänger (außer Wurzel). • Benenne geordnete Variable neu X1… Xn . • For j=n to 2 Kantenkonsistenz (Xi, Xj) herstellen, wobei Xj Kind von Xi. • Weise X1 erlaubten Wert zu. • For j=2to n Weise Xi einen mit dem Elternknoten verträglichen Wert zu.

  39. Baumstruktur

  40. Graph-Reduktion auf Baum • Kann allg. Constraint-Graph auf Baum reduziert werden? • Zwei Ansätze: • Knoten „löschen“: Belege einige Knoten mit Werten, so dass restliche Knoten Baum bilden 2. Knoten zusammenlegen: Zerlege Constraint-Graph in „verbundene Unterprobleme“

  41. 1 – Knoten löschen

  42. 1 – Knoten löschen • Bestimme Knotenmenge S („zyklische Schnittmenge“), nach deren Entfernung der Graph zum Baum wird. • Bestimme Menge B(S) aller zulässigen Variablenbelegungen für S. • For all b in B(S) : • Konsistenz aller anderen (d.h. nicht in S enthaltenen) Domänen mit b herstellen. • Baum-Algorithmus auf Restproblem anwenden • Falls Lösung: Fertig.

  43. 2 - Baumzerlegung • Zerlege Constraint-Graph in Baum aus Unterproblemen, so dass • Jede Variable auftritt • Jede Bedingung auftritt • Variable, die in mehreren Unterproblemen auftreten, dort den gleichen Wert haben

  44. 2 - Baumzerlegung Lösung finden: • Löse Unterprobleme (falls eins unlösbar  Ende) • Unterproblem wird „Megavariable“ dessen Domäne Lösungsmenge des Unterproblems ist • Baum-Algorithmus anwenden

  45. Zusammenfassung • CSPs sind spezielles Suchproblem: • Zustände sind Werte einer Variablenmenge • Zieltest ist Menge von Bedingungen für Werte der Variablen • Backtracking = Tiefensuche mit einer Wertzuweisung pro Knoten • General-purpose Heuristiken zur Variablen- und Wertauswahl sehr effektiv • Forward Checking verhindert Zuweisungen die garantiert in Sackgasse führen • Constraint Propagation (z.B. Kantenkonsistenz) hilft Wertauswahl zu beschränken und Inkonsistenzen zu erkennen • Komplexität des Constraint-Graphen bestimmt Lösungskomplexität. Falls (teilweise) Reduktion auf Baum möglich, erhebliche Vereinfachung • Lokale Suche mit Min-Conflicts ist in der Praxis hocheffektiv

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