Vincent Guinot , Carole Delenne Université Montpellier 2 / Polytech’Montpellier

1. Modèles à surface libre: les apports du calcul direct de sensibilité au calage et à l’analyse d’incertitude Vincent Guinot, Carole Delenne Université Montpellier 2 / Polytech’Montpellier HydroSciences Montpellier GIS HED2 - décembre 2012

2. Les deux grandes pathologies de la modélisation Variable u • Insensibilité • Grandes variations de v variations de u négligeables • Inversion de modèle difficile… • … et dangereuse (valeurs de virréalistes, jeux admissibles de paramètres non uniques, etc.) Paramètre v Sensibilité s Paramètre v

3. Les deux grandes pathologies de la modélisation Variable u • Hypersensibilité • Petite variation de v grande variation de u • Caractère prédictif du modèle: douteux • En général: le signe d’une paramétrisation « cachée » (contrôle par plusieurs paramètres et non un seul) • Inversion du modèle (calage): difficile Paramètre v Sensibilité s Paramètre v

4. La sensibilité: une dérivée directionnelle Modèle hydrodynamique (ex. Saint-Venant): un jeu d’EDP Intérieur du domaine Conditions initiales Conditions aux limites Perturbation du paramètrev sous la forme => Perturbation de la solution: u → u’ Sensibilité: dérivée directionnelle (Gateaux) [1] [1] Cacuci, UncertaintyAnalysis, 2003

5. La sensibilité: une dérivée directionnelle Passage à la limite  équations en sensibilité Intérieur du domaine Conditions initiales Conditions aux limites Approche continue: résolution des équations en sensibilité • La formulation reste valide même dans le cas de solutions discontinues si l’on se place dans le cadre de la théorie des distributions [1] • Dans le cas des modèles Saint-Venant 1D et 2D: le modèle en sensibilité est hyperbolique (dégénéré) [2, 3]  problèmes de précision numérique au voisinage des points critiques et des chocs [4] (seuls les schémas « upwind » semblent suffisamment robustes [5]) [1] Bardos & Pironneau, CRAS, 2002 [2] Delenne & al., CRAS, 2008 [3] Guinot & al., advances in Water Resources, 2009 [4] Gunzburger, IJNMF, 1999 [5] Guinot & Delenne, Computers & Fluids, 2012

6. La sensibilité: une dérivée directionnelle Approche discrète (empirique) • résoudre numériquement les équations hydrodynamiques puis dériver la solution numérique • Simple d’emploi, nombreuses techniques disponibles • Il n’est pas nécessaire de connaître les équations du modèle • Présente souvent des artefacts numériques [1] Sensibilité empirique du champ de vitesse à la cote aval [1] Guinot & al, Adv.in Water Resources, 2009

7. Modèles Saint Venant 1D en régime permanent h hds hn 0 L x h 1 0 L x Equation hydrodynamique: Si alors b=0 Equation en sensibilité: EDO du premier ordre [1] Propagation de l’influence de la hauteur aval sur une longue distance [1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009

8. Modèles Saint Venant 1D en régime permanent h hds hn 0 L x h 0 L x e ≠ 0 Equation hydrodynamique: Si alors b≠0 Equation en sensibilité: EDO du premier ordre [1] Décroissance quasi-exponentielle avec x il existe une taille de bief optimale pour le calage par morceaux des paramètres de frottement [1] [1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009

9. Modèles Saint Venant 1D en régime permanent Sensibilité locale  calculée autour d’un paramètre nominal Mais: le caractère constant par morceaux de la sensibilité semble assez bien vérifié pour des sections de forme arbitraire [1]  ces résultats devraient pourvoir être généralisés z Q [1] A. Mosca, étude en cours (Polytech’M 5ème année)

10. Modèles Saint Venant 2D en régime permanent 10 Equation en sensibilité [1] Sensibilité à une variation de topographie Sensibilité de h et ux Ecoulement • Régime fluvial • Equation de diffusion anisotrope • Propagation préférentielle: direction transversale • La direction de propagation n’est pas la même selon la variable que l’on considère Sensibilité de uy [1] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009

11. Modèles Saint Venant 2D en régime permanent Equation en sensibilité [1] Sensibilité à une variation de topographie • Régime torrentiel • Equation de propagation (hyperbolique) en (x, y) • Propagation préférentielle: fonction du nombre de Froude Fr Ecoulement  Adapter le calage au régime d’écoulement et aux variables utilisées [1] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009

12. Comportement 1D / 2D • Modèle 1D [1] • Sensibilité: EDO quasi-linéaire d’ordre 1  décroissance approximativement exponentielle avec la distance • Distances caractéristiques en régime fluvial: 103; torrentiel: 102m fluvial torrentiel • Modèle 2D [2] • Sensibilité: EDP d’ordre 2 (elliptique en fluvial, hyperbolique en torrentiel) • Distance caractéristique: quelques mètresen fluvial • Topographie: effet très important mais très local • Frottement: effet faible, demande des distances importantes • Conditions aux limites: effet rapidement dissipé par les carrefours (2D) [1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009 [2] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009

13. Sensibilité et Incertitude Analyse globale Descripteurs statistiques de la distribution de sortie (e.g. moyenne et variance) Densité de probabilité supposée pour le(s) paramètre(s) incertain(s) N simulations s2 Modèle m Estimateurs de la moyenne et de la variance Vecteur des paramètres Solution du modèle Cet estimateur permet de ne pas stocker tous les résultats mais peut conduire localement à une valeur négative de  Le nombre N de simulations doit être grand

14. Sensibilité et Incertitude Utilisation de la sensibilité locale comme approximation linéaire de la réponse du modèle • Résolution des équations du modèle et en sensibilité pour une valeur nominale du paramètre • Estimation de la moyenne: • Développement au 1er ordre • Moment d’ordre 2: • estimation de la variance partielle pour un paramètre • Estimation de la variance totale pour p paramètres

15. Modèles Saint Venant 1D transitoire • Canal rectangulaire • Propagation d’une onde de crue : incertitude sur le débit max q(t) • Analyse globale: • 1000 simulations d’une loi uniforme avec • Analyse locale: • 1 simulation avec calcul direct d’incertitude ou • 2 simulations avec calcul empirique qmax nM S0 qmin [1] Delenne & al., Reliability Eng. & System Safety, 2012

16. Modèles Saint Venant 1D transitoire 4 paramètres incertains indépendants s Paramètres Intervalle Variance Moyenne Variances partielles

17. Conclusions • Utilisation de la sensibilité locale: • Pour le calage: • hiérarchisation des paramètres à caler • détermination de la taille de bief optimale pour le calage du coefficient de rugosité, • utilisation dans le processus de maximisation de la fonction objectif [1] • Pour l’analyse d’incertitude: • Malgré une forte non linéarité des équations « shallow water » (canal rectangulaire): estimation correcte de la variance totale et des variances partielles (même pour des paramètres corrélés) • Validation de la méthode en cours pour des sections arbitraires [1] Guinot & al., J. of Hydrology, 2011

18. Modèles à surface libre: les apports du calcul direct de sensibilité au calage et à l’analyse d’incertitude Vincent Guinot, Carole Delenne Université Montpellier 2 / Polytech’Montpellier HydroSciences Montpellier GIS HED2 - décembre 2012

19. Modèle Saint Venant 1D transitoire Importance du nombre de simulation pour la méthode globale Variance partielle pour différentes valeurs de N 10 réplicas de la variance partielle avec N=1000 simulations

20. Modèle Saint Venant 1D transitoire Paramètres corrélés: loi de tarage h(q)