1.12k likes | 2k Vues
Logi čko projektovanje. Bulova algebra Digitalna logička kola Minimizacija Bulovih funkcija Tehnološko mapiranje. Bulova algebra. Algebarska struktura : (B= {0,1}, +, ·), + - logi čko ILI (OR) , · - logičko I (AND) Aksioma 1 ( Z atvorenosti) Aksioma 2 (Jedinični element) x+0=0+x=x
E N D
Logičko projektovanje Bulova algebra Digitalna logička kola Minimizacija Bulovih funkcija Tehnološko mapiranje
Bulova algebra Algebarska struktura: (B={0,1}, +, ·), + - logičko ILI (OR), · - logičko I (AND) • Aksioma 1 (Zatvorenosti) • Aksioma 2 (Jedinični element) x+0=0+x=x x·1=1·x=x • Aksioma 3 (Komutativnost) x+y=y+x x·y=y·x • Aksioma 4 (Distributivnosti) x·(y+z)=x·y+x·z x+y·z=(x+y) ·(x+z) • Aksioma 5 (Komplementarni element) x+x’=1 x·x'=0 • Aksioma 6 (Kardinalnost) Arhitektura mikrosistema
Operatori Bulove algebre Bulova algebra: (B={0,1}, AND, OR, NOT) – praktična definicija Arhitektura mikrosistema
Teoreme Bulove algebre Arhitektura mikrosistema
Asocijativnost + komutativnost • U logičkoj sumi ili proizvodu proizvoljnog broja promenljivih redosled promenljivih i raspored zagrada nije od značaja Arhitektura mikrosistema
Apsorpcija + sažimanje • Osnova za pojednostavljenje (minimizaciju) prekidačih funkcija • Apsorpcija smanjuje broj literala za 2 • yx + x = x • (y+x)x= x • Sažimanje smanjuje broj literala za 3 • x · y + x · y’ = x • (x + y) · (x + y’) = x Arhitektura mikrosistema
DeMorganova teorema • (x + y)’ = x’ · y’ • (x · y)’ = x’ + y’ Arhitektura mikrosistema
Pozitivna i negativna logika Negativna logika: LOW → 1 HIGH → 0 Pozitivna logika: LOW → 0 HIGH → 1 Arhitektura mikrosistema
(x · y) + x = x (y + x) · x = x x · 1 = x x + 0 = x Neka je E(x1,x2…xn) Bulov izraz, aEd(x1,x2…xn) njegov dualni izraz. Tada važi: E’(x1,x2…xn) = Ed(x1’,x2’…xn’) Generalizovana De Morganova pravila: (x1+x2+…+xn)’=x1’x2’…xn’ (x1x2…xn)= x1’+x2’+…+xn’ Princip dualnosti Arhitektura mikrosistema
Bulova funkcija: algebarski izraz sačinen od binarnih promenljivih, Bulovih operatora AND, OR i NOT, zagrada i znaka jednakosti Tabela istinitosti: Bulove funkcije AND članovi F1 = xy+xy’z+x’yz OR član literali Komplement funkcije: - Primenom De Morganovih pravila: F1’ = (xy+xy’z+x’yz)’ = (xy)’(xy’z)’(x’yz)’ = (x’+y’)(x’+y+z’)(x+y’+z’) - Primenom principa dualnosti: F1’ = (xy+xy’z+x’yz)’ = (x’+y’)(x’+y+z’)(x+y’+z’) Arhitektura mikrosistema
Algebarske manipulacije Problem: Pokazati da su sledeća dva izraza ekvivalentna: F1= xy+xy’z+x’yz (8 literala) F1 = xy+xz+yz (6 literala) Rešenje: xy+xy’z+x’yz = xy+xyz+xy’z+x’yz apsorbcija = xy+x(y+y’)z+x’yz distributivnost = xy+x1z+x’yz komplement = xy+xz+x’yz identitet = xy+xyz+xz+x’yz apsorpcija = xy+xz+(x+x’)yz distributivnost = xy+xz+1yz komplement = xy+xz+yz identitet Broj AND i OR operatora jednak je broju literala umanjenom za 1. Manji broj literala =>Manji broj AND i OR operatora => Manja hardverska složenost (cena) Arhitektura mikrosistema
Kanonske forme- mintermi i makstermi - • maksterm– Bulova funkcija koja ima vrednost 0 samo za jednu kombinaciju vrednosti promenljivih, a vrednost 0 za sve ostale kombinacije • Za funkciju od n promenljivih postoji 2n maksterma, Mi, i =0,...,2n-1. • Svaki maksterm se može predstaviti u obliku OR člana od n literala • Makstermiod tri promenljive: • minterm– Bulova funkcija koja ima vrednost 1 samo za jednu kombinaciju vrednosti promenljivih, a vrednost 0 za sve ostale kombinacije • Za funkciju od n promenljivih postoji 2n minterma, mi, i =0,...,2n-1. • Svaki minterm se može predstaviti u obliku AND člana od n literala • Mintermi od tri promenljive: Arhitektura mikrosistema
Kanonske forme F = m3+m5+m6+m7 = x’yz+xy’z+xyz’+xyz = ∑(3,5,6,7) - suma 1-minterma F = M0M1M2M4 = (x+y+z)(x+y+z’)(x+y’+z)(x’+y+z) = ∏(0,1,2,4) - proizvod 0-maksterma F’ = m0+m1+m2+m4 = x’y’z’+x’y’z+x’yz’+xy’z’ = ∑(0,1,2,4) - suma 0-minterma F’ = M3M5M6M7 = (x+y’+z’)(x’+y+z’)(x’+y’+z)(x’+y’+z’) = ∏(3,5,6,7) - proizvod 1-maksterma Arhitektura mikrosistema
Kanonske forme - proširenje - • Svaki Bulov izraz se može proširiti na oblik suma minterma ili proizvod maksterma Transformisati izraz F=x+yz (3 literala) u oblik: proizvodmaksterma x+yz = (x+y)(x+z) = (x+y+zz’)(x+yy’+z) = (x+y+z)(x+y+z’)(x+y+z)(x+y’+z) = (x+y+z)(x+y+z’)(x+y’+z) = ∏(0,1,2) - 9 literala suma minterma x+yz = x(y+y’)(z+z’) + (x+x’)yz = xyz+xyz’+xy’z+xy’z’+xyz+x’yz = xyz+xyz’+xy’z+xy’z’+x’yz = ∑(3,4,5,6,7) – 15 literala ∑(3,4,5,6,7) = ∏(0,1,2) • Kanonske forme su jedinstvene i lako se izvode, ali, obično, sadrže veći broj literala u odnosu na izraze nekog drugog oblika Arhitektura mikrosistema
Standardne forme Proizvod-suma: F1’=(x’+y’)(x+y’+z’)(x’+y+z’) implikat – ORčlan od jednog ili više literala Suma-proizvoda: F1=xy+x’yz+xy’z implikant – AND član od jednog ili više literala • Standardne forme nisu jedinstvene • Kanonaska forma -> standardna forma: • xyz+xyz’ = xy(z+z’) = xy • xyz+xyz’+xy’z+x’yz = (xyz+xyz’)+(xyz+xy’z)+(xyz+x’yz) • = xy(z+z’) + x(y+y’)z + (x+x’)yz • 1-mintermi= xy+xz+yz • primarni implikanti (dalja redukcija nije moguća) • Svaki primarni implikant obuhvata jedan ili više 1-minterma • Svaki 1-minterm je uključen u jedan ili više primarnih implikanata • Ako je 1-minterm sadržan samo u jednom primarnom implikantu, takav implikant se zove esencijalni primarni implikant Arhitektura mikrosistema
Nestandardne forme • Bulovi izrazi koji sadrže zagrade • Dobijaju se faktorizacijom kanonskih i standardnih formi xy+xy’z+xy’z = x(y+y’z+y’w) = x(y+y’(z+w)) – 5 literala • Omogućavaju dalju redukciju broja literala • Nisu jedinstvene F1 = xy+xz+yz = xy+(x+y)z varijanta 1 = x(y+z)+yz varijanta 2 = xz+y(x+y) varijanta 3 • Veće kašnjenje (duže vreme izračunavanja): prvo se izračuna izraz u zagradi, a onda... Arhitektura mikrosistema
Logičke operacije Arhitektura mikrosistema
Digitalna logička kola • Logičko kolo ili gejt - digitalno kolo koje obavlja jednu ili više standardnih Bulovih operacija. • Biblioteka gejtova - kolekcija logičkih kola koje koristimo za konstrukciju kombinacionih mreža. • Standardni gejtovi - gejtovi koji pripadaju biblioteci. • Bibiloteke gejtova sadrže manji broj gejtova koji se biraju u skladu sa sledećim kriterijumima: • Frekvencija korišćenja u tipičnom dizajnu, definisana kao sposobnost gejta da u kombinaciji sa drugim gejtovima iz biblioteke realizuje raznorodne Bulove funkcije. • Proširljivost operatora na više od dve promenljive. Preduslov za proširljivost operatora je posedovanje osobine komutativnosti i asocijativnosti. • Jednostavnost konstrukcije, koja se definiše brojem tranzistora potrebih za realizaciju gejta kao i vreme potrebno da se promena na ulazu gejta prenese na izlaz gejta. Arhitektura mikrosistema
Osnovna logička biblioteka Arhitektura mikrosistema
Primer:Sinteza potpunog sabirača Varijanta 2: ci+1 = xiyici'+xiyici+xi'yici+xiyi'ci = xiyi(ci'+ci)+ci(xi'yi+xiyi') = xiyi+ci(xi yi) Varijanta 1: ci+1= (xiyi)+ci(xi+yi) si = xi’yici+xi’yici+xiyi’ci’+xiyici = (xi’yi+xiyi’)ci’+(xiyi)ci = (xiyi)ci’+(xiyi)’ci = (xiyi)ci Arhitektura mikrosistema
Primer:Sinteza potpunog sabirača(realizacija pomoću NAND gejtova) ci+1 = xiyi+ci(xi+yi) = ((xiyi)’(ci(xi+yi))’)’ si = (xiyi)ci’+(xiyi)ci = (xiyi)'ci'+(xiyi)ci = (xiyi)ci gde je: xiyi = xiyi+xi’yi’ = ((xiyi)'(xi'yi')')' = ((xiyi)'(xi+yi))’ Arhitektura mikrosistema
Gejtovi sa više ulaza Arhitektura mikrosistema
Primer:Realizacija potpunog sabirača pomoću više-ulaznih gejtova ci+1= xiyi+cixi+ciyi = ((xiyi)’(cixi)’(ciyi)’)’ si = xi’yici+xi’yici+xiyi’ci’+xiyici = ((xi'yi'ci)'(xi'yici')'(xiyi'ci')'(xiyici)')' Arhitektura mikrosistema
Više-operatorski gejtovi(kompleksni gejtovi) Arhitektura mikrosistema
Primer:Realizacija potpunog sabirača pomoću više-operatorskih gejtova ci+1= xiyi+cixi+ciyi = ((xiyi)’(cixi)’(ciyi)’)’ = ((xi’+yi’)(ci’+xi’)(ci’+yi’))’ = ((xi’yi’+ci’xi’+ci’yi’)’ si = xi’yici+xi’yici+xiyi’ci’+xiyici = ((xi'yi'ci+xi'yici)(xiyi'ci'+xiyici)')' Arhitektura mikrosistema
Minimizacija Bulovih funkcija • Cilj: optimizacija cene i kašnjenja logičkih mreža. • Osobine logičke mreže direktno zavise od osobina algebarskog izraza (broj i tipovi operatora) na osnovu koga je mreža konstruisana => • Neophodne su sistematske tehnike za transformaciju Bulovih izraza obilka standardne i nestandardne forme u oblik koji će garantovati optimalnu realizaciju. • Ne postoji univerezalna metoda za minimizaciju Bulovih funkcija, jer kriterijumi optimalnosti zavise od sastava raspoložive bibiloteke gejtova i osobina implementacione tehnologije. Arhitektura mikrosistema
Bulove kocke 1-podkub mintermi yizi 2-kub xiyi xizi Primarni implikant (PI) - podkub koji nije sadržan ni u jednom drugom podkubu Esencijalni primarni implikant (EPI) je podkub koji sadrži 1-minterm koji nije sadržan ni u jednom drugom podkubu. Arhitektura mikrosistema
Karnoove mape • Dvodimenzionalna forma Bulove kocke (n-kuba) • Ukazuju na susedstvo binarnih kombinacija što olakšava identifikaciju podkubova Arhitektura mikrosistema
Karnoova mapa za dve promenljive Arhitektura mikrosistema
Karnoova mapa za tri promenljive Arhitektura mikrosistema
Karnoova mapa za četiri promenljive Arhitektura mikrosistema
Karnoova mapa za pet promenljivih Arhitektura mikrosistema
Minimizacija Bulovih funkcija pomoću Karnoovih mapa(procedura) Korak Kreiranje minimalnog pokrivanja nije egzaktan. Greedy algoritam: u listi primarnih implikanata pronalaze se implikanti koji pokrivaju najveći broj nepokrivenih 1-miterma i prebacuju u listu pokrivanja. Ako dva ili više implikanata pokrivaju isti broj nepokrivenih 1-minterma, na slučajan način, bira se jedan. Ova procedura se ponavlja sve dok svi mintermi ne postanu pokriveni. Arhitektura mikrosistema
Minimizacija Bulovih funkcija pomoću Karnoovih mapa(primer) • Korišćenjem Karnoove mape pojednostaviti Bulovu funkciju: F=w’y’z’+wz+xyz+w’y Oba rešenja sadrže isti broj operatora Arhitektura mikrosistema
Minimizacija Bulovih funkcija pomoću Karnoovih mapa(primer neoptimalnosti procedure) Minimizovati Bulovu funkciju: F=w’x’yz’+w’xy+wxz+wx’y’+w’x’y’z’ Primarni implikanti imaju istu veličinu => sadržaj liste pokrivanja zavisi od slučajnog redosleda izbora primarnih implikanata Arhitektura mikrosistema
Minimizacija nepotpuno definisanih funkcija(primer) Problem: Izvesti Bulov izraz za funkciju koja određuje komplement najveće cifre BCD cifre. Funkcije y3, y2, y1 i y0 nisu definisane za sve kombinacije ulaznih promenljivih x3, x2, x1 i x0 koje nisu navedene u tabeli istinitosti. Arhitektura mikrosistema
Minimizacija nepotpuno definisanih funkcija(rešenje) Arhitektura mikrosistema
VLSI tehnologija • Nivoi integracije: • Nizak nivo integracije (SSI – Small Scale Integration) - do 10 nezavisnih gejtova • Srednji nivo integracije (MSI - Medium-Scale Integration) 10 do 100 gejtova: registri, brojači i sabirači. • Visoki nivo integracije (LSI - Large-Scale Integration) između 100 i nekoliko stotina gejtova: kontroleri, memorijski čipovi manjeg kapaciteta i programabilne logičke komponente. • Veoma visok nivo integracije (VLSI – Very-large-scale Integration) više stotina hiljada gejtova: memorije velikog kapaciteta, mikroprocesori, mikroračunari na čipu i različiti hardverski akceleratori. • Custom - kola potpuno po narudžbi • Semi-custom – kola po narudžbi • Programabilna kola Arhitektura mikrosistema
Standardna digitalna integrisana kola • IC fiksne funkcije koja se proizvode u masovnim serijama za nepoznatog kupca • Standardizovana funkcija i pakovanje • komponente sa istom oznakom, proizvedene od strane različitih proizvođača poseduju identično pakovanje, raspored pinova, logičku funkciju i približne električne karakteristike. • Serije i familije: • Serija 7400. Familije: 74LS (TTL), 74HC (CMOS), 74HCT (BiCMOS), ... • Serija 4000 (CMOS) Arhitektura mikrosistema
Standardna digitalna IC (serija 7400) • IC niskog i srednjeg nivoa integracije (do 100 logičkih kola u jednom čipu) • Više od 100 tipova kola: osnovna logička kola, digitalna kola složenije funkcije (npr. 4-bitni brojač, dekoder 3-u-8, 4-bitni komparator, 8-bitni sabirač) Arhitektura mikrosistema
Standardna digitalna IC (realizacija složenijih funkcija) • f = x1x2 + x2`x3 Arhitektura mikrosistema
Klasifikacija IC prema nivou integracije • Klasična podela • SSI (Small-Scale Integration), IC niskog nivoa integracije. Do 10 logičkih kola. • MSI (Medium-Scale Integration), IC srednjeg nivoa integracije. Od 10 do 100 logičkih kola. • LSI (Large-Scale Integration), IC velikog nivoa integracije. 100 - 1000 logičkih kola. • VLSI (Very Large Scale Integration), IC veoma velikog nivoa integracije. Više od 100.000 logičkih kola. Arhitektura mikrosistema
Savremena digitalna IC • Savremena IC su VLSI. Stariji tipovi čipova koriste se retko ili samo kao rezervni delovi za starije uređaje. • Koncept ˝sistem na ploči˝ zamenjen je konceptom ˝sistem na čipu˝. Arhitektura mikrosistema
Programabilne logičke komponente • PLD (Programmable Logic Device) • Digitalna IC ˝opšte namene˝. • Sadrže mnoštvo nepovezanih logičkih kola, metalnih veza i prekidača. • Programiranjem prekidača ostvaruje se željeno povezivanje logičkih kola i tako realizuje data funkcija. • Reprogramiranje – jednom programirano PLD kolo se može programirati novom funkcijom. Arhitektura mikrosistema
PLA • Bolova algebra: Svaka logička funkcija se može predstaviti u vidu zbira logičkih proizvoda. Npr. f1 = x1’x2x3’ + x2x4’ + x1x4 • PLA: dve programabilne mreže: • AND – realizuje logičke proizvode • OR – sumira logičke proizvode Arhitektura mikrosistema
PLA (unutrašnja struktura) • f1= x1x2 + x1x3` + x1`x2`x3. • f2 = x1x2 + x1`x2`x3 + x1x3 Simbolički prikaz Arhitektura mikrosistema
PAL • AND mreža programabilna, OR mreža fiksna f1 = x1x2x3` + x1`x2x3 f2 = x1`x2` + x1x2x3 Arhitektura mikrosistema
PAL 16L8 (kombinacioni izlazi) Arhitektura mikrosistema
PAL 16R8 (registarski izlazi) Arhitektura mikrosistema
ROM • AND mreža fiksna, OR mreža programabilna • AND matrica ima funkciju binaranog dekodera n/2n (generator minterma) • Mogućnost realizacije proizvoljen funkcije n promenljvih Arhitektura mikrosistema