T RANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE

1. TRANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE Dr. Iványi Miklósné professor emeritus 4. előadás PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

2. C)Merev testek kényszermozgása, 1. Két merev test ütközése, (3. előadás) 2.Mechanikai hullámmozgás • hullámmozgás: energiát, impulzust szálit, • Longitudinális hullám: a hullámmozgással páthuzamos • az anyagi részecskék kimozdulása, • pl. harmonikus rezgőmozgás, rugómozgás, • Tranzverzális hullám: a hullám terjedési irányára merőleges • az anyagi részecskék kimozdulása, • pl. kötélen haladó hullámmozgás, • elektromágneses hullámok, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

3. az szabad válasz a homogén differenciálegyenletet elégíti ki, g(t)=0 a szabad választ a következő alakban keressük, 2.1. Longitudinális hullámmozgás bevezető, Matematikai Összefoglaló dinamikus elem Az elmozdulásra, mint változóra vonatkozó mozgásegyenlet egy másodrendű differenciál egyenlet,a (RE)rendszeregyenlet, megoldása, összetevőkre bontással, sajátértékek karakterisztikus egyenlet PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

4. az gerjesztett válasz kielégíti a teljes differenciál egyenletet, az szabad válasz: lineáris rendszerben a gerjesztett válasz hasonlít a gerjesztésre, a gerjesztett választ próbafüggvény módszerrel keressük; a RE megoldása: Az M1 és az M2 konstansokat a kezdeti feltételekből határozzuk meg: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

5. a szabad válasz általános alakját a mozgásegyenletbe helyettesítve, a karakterisztikus egyenletből a sajátértékek: a rugómozgás saját-körfrekvenciája a szabad válasz: 3. Harmonikus rezgőmozgás,longitudinális hullámok 3.1. Csillapítatlan szabad rezgés mozgásegyenlete: a rugót nyugalmi helyzetéből kitérítve, az m tömegre a rugóerő hat: elengedve rezgőmozgás jön létre, A mozgásegyenlet= Rendszer Egyenlet= Homogén Differenciál Egyenlet, a RE megoldása a szabad válasz: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

6. a szabad válasz: egyik megoldási mód: a konstansok meghatározása kezdeti feltételek: a d1, d2 konstansok komplex konjugált párt alkotnak a szabad válasz: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

7. a kezdeti feltételeket kielégítő megoldás: másik megoldási mód: a szabad válasz az Euler formula alkalmazásával új változók bevezetésével: A,B állandók a kezdeti feltételekből: a kezdeti elmozdulás: a mozgás sebessége: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

8. A csillapítatlan szabad rezgés mozgásegyenletének megoldása: a harmonikus rezgőmozgás egyenlete: a – kezdőfázis, w0 – saját körfrekvencia, [rad/s], – a rezgő rendszerre jellemző, – saját rezgésidő, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

9. 1. Példa, Egy 3,2 N/m rugóállandójú rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni. Határozza meg a kialakuló csillapítatlan rezgőmozgás körfrekvenciáját, valamint a rezgés amplitúdóját és kezdőfázisát. Megoldás: A rugó mozgásegyenlete: Megoldása a szabadválasz: A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: A rezgő rendszer saját (kör)frekvenciája: A rezgő rendszer elmozdulása: Figyelembe véve, hogy d1, d2 komplex konjugált párok: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

10. A rezgő rendszer elmozdulása: A kezdeti feltételekből: Az első egyenletet megszorozva j4 értékkel és a két egyenletet összeadva PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

11. Tehát a rezgő rendszer elmozdulása: azaz a t=0 pillanatban a rugó kitérése: a t=0 pillanatban az elmozdulás sebessége: azaz a t=0 pillanatban a rugó sebessége a kitéréssel ellenkező irányú lesz. PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

12. 3.2. Csillapított szabad rezgés, az m tömegre a rugóerő és a sebességgel arányos csillapító erő hat: a csillapított szabad rezgés mozgásegyenlete: lengéscsillapító mozgásegyenlete általános megoldása=szabad válasz: a karakterisztikus egyenletből: a sajátértékek: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

13. a sajátértékek: 3.2. a) eset, nagy csillapítású a rendszer: a sajátértékek negatív valós értékek: a mozgó rendszer kitérése: kezdeti feltételek: az általános megoldás, a szabad válasz, két monoton csökkenő exponenciális görbe összege, nincs rezgés: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

14. 2. Példa, Egy 2,8 Ns/m csillapítási tényezőjű, 3,2 N/m rugóállandójú, rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni. Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a csillapított mozgó rendszer kitérését az idő függvényében. Megoldás: A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete: Megoldása a szabadválasz: A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: A mozgó rendszer elmozdulása: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

15. A mozgó rendszer elmozdulása: A kezdeti feltételekből d1, d2 meghatározhatók: A t=0 pillanatban a rugó kitérése: A t=0 pillanatban a rugó sebessége: A mozgó rendszer elmozdulása: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

16. a sajátértékek: 3.2. b) eset, kritikus csillapítású a rendszer: két azonos nagyságú, negatív, valós értékű sajátérték: az általános megoldás, a szabad válasz valós, kezdeti feltételek: t=0, d1, d2 valós értékű, nincs rezgés, az exponenciális tényező gyorsabban csökken, mint ahogy t nő, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

17. 3. Példa, Egy 1.6 Ns/m csillapítási tényezőjű, 3,2 N/m rugóállandójú, rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni. Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a csillapított mozgó rendszer kitérését az idő függvényében. Megoldás: A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete: Megoldása a szabadválasz: A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: A mozgó rendszer elmozdulása: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

18. A mozgó rendszer elmozdulása: A kezdeti feltételekből d1, d2 meghatározhatók: A t=0 pillanatban a rugó kitérése: A t=0 pillanatban a rugó sebessége: A mozgó rendszer elmozdulásaegy időben csillapodó mozgás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

19. a sajátértékek: 3.2. c ) eset, kis csillapítású a rendszer: A sajátértékekkomplex konjugáltak: a mozgásegyenlete megoldása: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

20. a mozgásegyenlete megoldása: a kezdeti feltételekhez illesztve a megoldást: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

21. a mozgásegyenlete megoldása: a mozgásegyenlet egy csillapított szabad rezgést ír le PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

22. a mozgásegyenlet megoldása egy exponenciálisan csillapított szabad rezgést ír le: a saját körfrekvencia kisebb mint a csillapítatlan esetben a saját rezgésidő hosszabb, mint a csillapítatlan rezgésé: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

23. 4. Példa, Egy 0,8 Ns/m csillapítási tényezőjű, 3,2 N/m rugóállandójú, rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni. Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a csillapított mozgó rendszer kitérését az idő függvényében. Megoldás: A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete: Megoldása a szabadválasz: A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: A mozgó rendszer elmozdulása: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

24. A mozgó rendszer elmozdulása: A kezdeti feltételekből d1, d2 meghatározhatók: A t=0 pillanatban a rugó kitérése: A t=0 pillanatban a rugó sebessége: A mozgó rendszer elmozdulásaegy csillapodó rezgőmozgás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

25. 3.3. Állandó erővel gerjesztett csillapítatlan rezgések, a csillapítatlan gerjesztett rezgés mozgásegyenlete: megoldása: a szabad válasz és a gerjesztett válasz összege a szabad válasz: a lineáris rendszergerjesztett válasza hasonlít a gerjesztésre a gerjesztés állandó erő, ezért a gerjesztett válasz konstans/állandó: a gerjesztett rendszer válasza: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

26. a gerjesztett rendszer válasza a mozgásegyenlet megoldása: a kezdeti feltételekhez illesztve a megoldást: 2 2 a csillapítatlan, állandó erővel gerjesztet rendszer válasza, 0 és 2F/k között F/k állandó amplitúdójú rezgés PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

27. 5. Példa, Egy 3,2 N/m rugóállandójú,nyugalomban lévő rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 4,8N állandó erővel gerjesztünk. Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a kialakuló, csillapítatlan rezgőmozgás amplitúdóját. Megoldás: A csillapítatalan rezgőmozgás mozgásegyenlete: Megoldása a szabad-, és a gerjeszett válasz összege: A szabad válaszhoz tartozó karakterisztikus polinom és a sajátértékek: A gerjesztettválasz konstans: A rezgő rendszer elmozdulása: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

28. A rezgő rendszer elmozdulása: A kezdeti feltételekből: A t=0 pillanatban a rugó kitérése: A t=0 pillanatban a rugó sebessége: A mozgó rendszer elmozdulásaegy csillapodó rezgőmozgás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

29. 3.4. Állandó erővel gerjesztett csillapított rezgések, a rendszer mozgását leíró egyenlet: a mozgásegyenlet megoldása: a gerjesztett válasz: a szabad válasz kis csillapítás esetén: a teljes megoldás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

30. a teljes megoldás: a kezdeti feltételekhez illesztve a megoldást: akezdeti feltételt kielégítő megoldás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

31. állandó erővel gerjesztett kis csillapítású rezgőmozgás esetén a kezdeti feltételekhez illesztett megoldásegy csillapított harmonikus rezgőmozgás: akezdeti feltételt kielégítő megoldás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

32. 3.5. Harmonikus erővel gerjesztett csillapítatlan rezgések, a csillapítatlan gerjesztett rezgés mozgásegyenlete: a mozgásegyenlet megoldása: a gerjesztett válasz: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

33. a szabad válasz: a teljes megoldás: a megoldás illesztése a kezdeti feltételekhez: a t=0 pillanatbanaz elmozdulás: a t=0 pillanatban a sebesség: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

34. a kezdeti feltételekhez illesztett megoldás két harmonikus rezgés szuperpozíciója: ha a két körfrekvencia közel van egymáshoz: Matematika: lebegés jön létre nagy frekvenciájú rezgés hullám kis frekvenciájú rezgés hullám PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

35. lebegés jön létre nagy frekvenciájú, rövid periódusidejű rezgés hullám kis frekvenciájú, hosszú periódusidejű rezgés hullám a lebegés periódus ideje: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

36. rezonancia esetén: rezonancia vizsgálat I: rezonancia tényező: határérték-L'Hospital: rezonancia esetén a megoldás határértéke az idővel lineárisan növekvő amplitúdójú harmonikus rezgőmozgás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

37. rezonancia vizsgálat II: rezonancia esetén a megoldás határértéke az idővel lineárisan növekvő amplitúdójú harmonikus rezgőmozgás: rezonancia tényező: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

38. 3.6. Harmonikus erővel gerjesztett csillapított rezgések, harmonikus erővel gerjesztett rezgés mozgásegyenlete: a gerjesztett válasz: Komplex formalizmus: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

39. kis csillapítású a szabad válasz: a teljes megoldás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

40. a teljes megoldás: a kezdetifeltételekhez illesztve: az elmozdulás: a sebesség: a kezdeti feltételeket kielégítő megoldás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

41. a második tag gyorsan lecseng, az állandósult állapothoz tartozógerjesztett válasz: a rezonancia tényező: Tacoma Narrows Bridge Függőhíd, USA, Washington State, 1940. június-november, szél kb. 70 km/óra PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

42. (a) kicsi, (b) 4. Harmonikus rezgőmozgás,tranzverzális hullámok 4.1. 1D hullámegyenlet egy kötelet mozgatva, egységnyi hossz tömege: a kötél elemi tömegeinek y irányú kitérése a hely és az idő függvénye: a kötél elemi szakaszára ható erők:és az erők komponensei PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

43. a Dx szakasz elemi tömege y-irányú gyorsuló mozgásba kezd 1D hullámegyenlet, a tranzverzális mozgást végző tömegpontok mozgásegyenlete, a hullám terjedési sebessége: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

44. 4.2. A hullámegyenlet megoldása 4.2. a) A megoldás haladó hullám a megoldás alakja: retardált (késleltetett) hullámok, idő szükséges az információ, az elmozdulás továbbításához, igazolás: -fázissebesség, a hullám x-irányú terjedésének sebessége +x tengely irányában haladó hullám, -x tengely irányában haladó hullám, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

45. 4.2. b) A hullámegyenlet megoldása periodikus gerjesztés esetére A hullámmozgást gerjesztő erő a komplex formalizmus alkalmazásával: A vizsgált rendszer lineáris, ezért a hullámmozgás is szinuszos lesz: a megoldás alakja: az y irányú kitérés x szerinti változása PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

46. az y irányú kitérés x szerinti változása: - cirkuláris hullámszám, - a kötélen haladó hullám periódus ideje, - a kötélen haladó hullám hullámhossza, -a pozitív x irányban terjedő hullám komponens, -a negatív x irányban terjedő hullám komponens, a periodikus gerjesztésű hullámmozgás teljes megoldása: a -x irányban haladó hullám a +x irányban haladó hullám PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

47. 4.3. Hullámok reflexiója, visszaverődése 4.3. a) A befogás figyelembe vétele: a befogásnál a kötél kitérése: a befogásnál a beeső és a reflektált komponens: a befogásnál a reflexiós tényező: a befogástól induló koordináta rendszer bevezetése: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

48. a reflexió tényező a kötél mentén: 4.3. b) Merev falhoz való csatlakozás esetén: a befogott végen reflexió lép fel: a merev falhoz csatlakozó kötélen a beérkező hullám ellenkező fázisban verődik vissza, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

49. 4.3. c) reflexió szabad végű kötélen: a szabad végen reflexió lép fel: a szabad végű kötélen a reflektált hullám azonos fázisban halad végig, 4.3. d) Reflexió két különböző kötél csatlakozásánál: két különböző anyagállandójú kötél csatlakozásánál reflexió lép fel, az 1. szakasz végén és a 2. szakasz elején a kitérés azonos, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

50. csomópontok duzzadó pontok 4.4. Állóhullámok kialakulása a hely szerint állóhullámok alakulnak ki, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék