MATEMÁTICAS A. CS II

1. MATEMÁTICAS A. CS II Tema III Determinantes Apuntes 2º Bachillerato C.S.

2. MATRICES ADJUNTAS TEMA 3.3 * 2º BCS Apuntes 2º Bachillerato C.S.

3. REGLA DE SARRUS • REGLA DE SARRUS • El valor de un determinante es la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal principal (de izquierda a derecha), menos la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal secundaria (de derecha a izquierda). • Cada elemento aij del determinante formará parte de un producto positivo y de un producto negativo. • Para determinantes [2x2]: • |A| = a11.a22 - a12.a21 • Para determinantes [3x3]: • |A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - • - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32 • Para determinantes [nxn] en general: • Se procede a desarrollar, como veremos más adelante, el determinante dado en función de una sola fila o columna, resultando al final del proceso determinantes 2x2 o/y 3x3 únicamente. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

4. ADJUNTOS DE UN DETERMINANTE • Sea el desarrollo de un determinante de orden 3: • |A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - • - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32 • Tomando los sumandos de dos en dos y sacando factores comunes, tenemos: • |A| = a11.(a22.a33 – a23.a32 ) – a12.(a23.a31 – a21.a33 ) + a13.(a21.a32 – a22.a31 ) • Las expresiones entre paréntesis son los adjuntos de los elementos tomados como factores comunes, en este caso de los elementos de la primera fila. • De forma semejante podíamos haber tomado como factores comunes los términos de la segunda o tercera fila o columna. • Pues bien, las expresiones entre paréntesis son los desarrollos de determinantes de orden dos, de orden inferior al determinante dado, pudiendo poner: • a22 a23 a21 a23 a21 a22 • |A| = a11. – a12. + a13. • a32 a33 a31 a33 a31 a32 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

5. Guía gráfica de adjuntos Adjunto de un elementoSigno de los adjuntos En azul el adjunto de a21 Será + si la suma de índices es par a11 a12 a13 + – + – – + – + a21 a23 A = a22 A = – + – + a31 a32 a33 – + – + Apuntes 2º Bachillerato C.S.

6. DESARROLLO POR ADJUNTOS • EJEMPLO 1 • 1 – 2 0 • |A| = 3 1 2 • – 2 0 4 • Desarrollamos por Sarrus: • |A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32 • |A| = 1.1.4+(-2).2.(-2)+3.0.0 – 0.1.(-2) – (-2).3.4 – 2.0.1 = • = 4+8+0 – 0 – (– 24) – 0 = 36 • Desarrollamos por adjuntos de la primera fila: • |A| = a11.A11 + a12.A12 + a13.A13 • 1 2 3 2 3 1 • |A| = 1. – (– 2). + 0. • 0 4 – 2 4 – 2 0 • |A| = 1.4+ 2.(12 + 4) + 0.(0 + 2) = 4 + 32 + 0 = 36 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

7. EJEMPLO 2 • 17 – 29 48 • |A| = 35 0 1 • – 72 110 94 • A la primera columna la restamos 35 veces la tercera columna, aprovechando que el elemento a23 vale 1, con lo cual su valor no varía. • - 578 – 29 48 • |A| = 0 0 1 • – 3362 110 94 • Desarrollamos por adjuntos de la segunda fila, aprovechando los ceros: • |A| = a11.A11 + a12.A12 + a13.A13 • -29 48 -578 48 -578 - 29 • |A| = 0. – 0. + 1. • 110 94 –3362 94 – 3362 110 • |A| = 0.A21 – 0.A22 + 1.((-578).110 – (-29).(-3362)) = – 161078 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

8. DESARROLLO POR ADJUNTOS • Sea el determinante de orden 4: • Atención: No se puede desarrollar por Sarrus. • Desarrollamos por adjuntos de la primera fila: • |A|=1.(12+2) + 2.(36+2+12) – 1.(4 – 4 – 12) = 14 + 100 + 12 =126 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

9. MÉTODO DEL PIVOTE • RECORDATORIO PREVIO • Si un determinante es de orden 4 o superior, NO se puede desarrollar por Sarrus. • Hay que desarrollarlo, para hallar su valor, por adjuntos de cualquier fila o columna. • Ello puede parecer muy engorroso, muy largo. Pero si nos fijamos bien, cuantos más ceros tenga una fila, más fácil y rápido es el desarrollo. • Lo ideal seria que en una fila o columna todos fueran ceros, excepto un término distinto de cero, generalmente de valor 1, llamado pivote. • Esa situación ideal de un determinante de orden superior a 3 se consigue aplicando previamente en el determinante la PROPIEDAD VII • VII.-Si todos los elementos de una fila o columna se suman a los correspondientes de otra multiplicados por un número, el valor del determinante no varía. • Aplicando adecuadamente dicha propiedad conseguimos que todos los elementos, menos uno, de la fila o columna que queramos sean ceros, sin que por ello cambie el valor del determinante. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

10. EJEMPLOS • 1.- Sea el determinante de orden 4: • Desarrollamos por adjuntos de la primera fila. • Fijamos el elemento a11=1 como nuestro pivote. • Queremos conseguir la primera fila sea [ 1 0 0 0] • A la 2ª C la sumo 2 veces la 1ª C • A la 3ª C la resto la 1ª C • Y ya puedo desarrollar por Sarrus el único determinante de orden 3. • (O conseguir más ceros en el determinante de orden 3). • |A|= 56+18+0 – (– 36) – 0 – (– 16) = 74 – ( – 52) = 126 • La solución es la misma que al resolverlo sin el método del pivote. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

11. EJEMPLOS • 2.- Sea el determinante de orden 4: • Desarrollamos por adjuntos de la primera fila. • A la 2º C la quito la 3ª C para conseguir el pivote, el 1. • Fijamos el elemento a12=1 como nuestro pivote. • Queremos conseguir la primera fila sea [ 0 1 0 0] • A la 1ª C la quito 5 veces la 2ª C • A la 3ª C la resto 2 veces la 2ª C • Y ya puedo desarrollar por Sarrus el único determinante de orden 3. • (O conseguir otro pivote para simplificar su desarrollo) • |A|= – (– 750 – 216 + 21 + 210 – 120 + 135 ) = 720 Apuntes 2º Bachillerato C.S.