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Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:. Généralités. Repères: Définition: On dit qu’un repère du plan (O, I, J) est orthonormé lorsque : è   Les axes des abscisses et des ordonnées sont perpendiculaires, c’est à dire (OI)  (OJ). è  Les unités de longueur sont les mêmes

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Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

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Presentation Transcript

  1. Chapitre 11:Vecteurs et repères du plan:

  2. Généralités • Repères: Définition:On dit qu’un repère du plan (O, I, J) est orthonormé lorsque : è  Les axes des abscisses et des ordonnées sont perpendiculaires, c’est à dire (OI)  (OJ). è Les unités de longueur sont les mêmes sur les deux axes c’est à dire OI = OJ. I et J sont toujours les points de coordonnées respectives (1 ; 0) et (0 ; 1).

  3. Exemples et contre exemples. Repères non orthonormés car les axes non perpendiculaires ou les unités sont différentes. Repère orthonormé

  4. Rappels: coordonnées d’un point. • Chaque point peut être repéré dans le plan muni d’un repère par son abscisse x et son ordonnée y.

  5. II. Coordonnées d’un vecteur dans un repère.

  6. II. Coordonnées d’un vecteur dans un repère. 1) Définition : Les coordonnées d’un vecteur dans un repère décrivent un déplacement horizontal puis vertical. (point de départ point d’arrivée) Ainsi, un déplacement de « 3 unités vers la droite et 2 unités vers le bas » sera représenté par un vecteur de coordonnées (3 ; -2).

  7. Exercice: Calcule les coordonnées du vecteur

  8. 2) Calcul des coordonnéesd’unvecteur.

  9. a) Cherchons une formule pour calculer les coordonnées d’un vecteur

  10. b) activité: Relève les coordonnées des points A,B,C,D,E,F,G et H.Nomme les parallélogrammes de la figure.

  11. Correction • Parallélogrammes de la figure: • Avec A et B: ABDC, ABFE, ABHG • Avec C et D: CDFE, CDHG • Avec E et F: EFHG

  12. b) Bilan: Admettons et retenons:

  13. III. Applications

  14. Premier type de problème: Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme. Étant donnés quatre points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 ), C ( 3 ; 1 ) et F ( -6 , -2). Prouver que AFBC est un parallélogramme. Il suffit de prouver que AF et CB sont égaux. On calcule les coordonnées: A C 1 O 1 B F Les vecteurs sont égaux donc AFBC est un parallélogramme.

  15. Etant donnés trois points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 )et C ( 3; 1 ) , calculer les coordonnées du point D tel que ABDC soit un parallélogramme. On peut résoudre un deuxième type de problème Attention à l’ordre des points! J’appelle (x;y) les coordonnées du point D, ABDC est un parallélogramme si : (-1 - (-2) ; -3 - 2 ) = (x - 3 ; y - 1 ) -1 + 2 = x - 3 et -3 - 2 = y - 1 x = 4 et y = - 4 Ce qui se vérifie sur le croquis….

  16. IV. Coordonnées du milieu d’un segment

  17. Démonstration

  18. A retenir Les coordonnées du milieu d'un segment [AB] sont données par la formule

  19. Autre méthode pour prouver qu’un quadrilatère est ou n’est pas un parallélogramme. Étant donnés quatre points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 ) , C ( 3 ; 1 ) et F ( -6 , -2). Prouver que AFBC est un parallélogramme. Pour que AFBC soit un parallélogramme il suffit de vérifier que ses diagonales ont même milieu. A C 1 O 1 B F Donc AFBC est un parallélogramme

  20. IV. Distance entre 2 points dans un repère. Si le repère est orthonormé Les droites (AC) et ( CB) sont parallèles aux axes, donc perpendiculaires entre elles. Le Triangle ABC est rectangle en C et le théorème de Pythagore permet d ’écrire: AB² = AC² + CB² AB²= ( xB - xA )² + ( yB - yA)² B yB yB - yA A C yA 1 O xB 1 xA xB - xA

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