Álgebra Linear e Geometria Analítica

Álgebra Linear eGeometria Analítica 7ª aula

ESPAÇOS VECTORIAIS

Um conjunto não vazio V • Uma operação de adição definida nesse conjunto • Um produto de um número real por um elemento desse conjunto • As “boas” propriedades destas operações O que é preciso para ter um espaço vectorial?

Fechado para a soma • u, vV, u + v  V • Fechado para o produto por um escalar • , uV, u  V O que são as “boas” propriedades?

O que são as “boas” propriedades?Propriedades da soma • Comutativa: • u, vV, u + v = v + u • Associativa: • u, v, wV, (u + v) + w = u + (v + w) • Elemento Neutro: • uV, u + 0 = u • Simétricos: • uV, u + (-u) = 0

O que são as “boas” propriedades?Propriedades da soma e do produto por um escalar: • Distributiva: • u, vV, ,(u + v )= u + v • Distributiva: • uV, , ,( + ) u = u + u • “Associativa” • uV, , ,( ) u =  (u) • Elemento neutro • uV, 1u = u

Vectores no plano com as operações soma e produto por um número real Exemplos

Conjunto das matrizes mn com as operações soma e produto por um número real. • Conjunto das matrizes linha com as operações soma e produto por um número real • Conjunto das matrizes coluna com as operações soma e produto por um número real Exemplos

Exemplos

Casos particulares importantes:

O vector nulo é único • O simétrico de cada vector de V é único • Qualquer número real multiplicado pelo vector nulo dá o vector nulo • Zero multiplicado por qualquer vector dá o vector nulo • Se o produto de um número real por um vector dá o vector nulo então ou o número real é nulo ou o vector é nulo. Propriedades dos espaços vectoriais

Combinações Lineares: u diz-se combinação linear de u1, u2, …, uk

Exemplo: (2,3,-5) é combinação linear de {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} com coeficientes 2, 3 e -5 respectivamente

Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?

Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}? (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)

(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1) (2,3,-5) = -4(1,1,1) + 7(1,1,0) - (1,0,1)

Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)

Exemplo: (2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3) Sistema impossível

Exemplo: Então (2,3,-5) não pode ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}

Exemplo: Quais serão os vectores (a, b, c) que podem ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?

Exemplo: (a, b, c) = x(1,1,1) + y (1,1,2) + z(0,0,3)

Exemplo: Quais serão os vectores (a, b, c) que podem ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? Resposta: vectores da forma (a, a, c)

Exemplo: (0, 0, 0) pode ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?

Exemplo: (0, 0, 0) pode ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? SIM (0, 0, 0) = 0(1,1,1) + 0(1,1,2) + 0(0,0,3)

Propriedade O vector nulo de qualquer espaço vectorial pode ser escrito como combinação linear de qualquer conjunto de vectores. (O sistema homogéneo tem sempre solução)

Exemplo: (0, 0, 0) pode ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}? SIM (0, 0, 0) = 3(1,1,1) - 3(1,1,2) + 1(0,0,3)

Vectores linearmente independentes Definição: Um conjunto de vectores de V {v1, v2, … , vk} diz-se linearmente independente se a única combinação linear nula destes vectores é a trivial.

Vectores linearmente dependentes Definição: Um conjunto de vectores de V {v1, v2, … , vk} diz-se linearmente dependente se não é independente, isto é, se é possível obter o vector nulo com uma combinação linear que não tem os coeficientes todos nulos.

Vectores linearmente independentes Para que o conjunto de vectores de V {v1, v2, … , vk} seja linearmente independente é preciso que o sistema seja determinado, isto é, que a característica da matriz do sistema seja k.

Um conjunto de vectores não pode ser independente se: • Contiver o vector nulo; • Tiver dois vectores iguais; • Tiver um vector múltiplo de outro; • Se um dos vectores for combinação linear de outros.

EXEMPLO: Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)} linearmente independente?

EXEMPLO: Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)} linearmente independente? a(1,2,3,4)+ b(2,-1,3,5)+ c(4,7,-3,-7)+ d(1,-8,-3,-2) = (0,0,0,0)

car(A) = 3 sistema indeterminado conjunto dependente

Subespaço Vectorial Seja V um espaço vectorial. Um subconjunto não vazio F de V é um subespaço vectorial de V se e só se ou seja: F é fechado para a soma e para o produto por um escalar.

Exemplo de subespaço vectorial

Exemplo de subespaço vectorial F é o conjunto das soluções do sistema

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