1 / 26

Tema 4. Polinomios

Tema 4. Polinomios. Operacións básicas. Factorización. Polinomios: definicións e operacións básicas. Bloques de Dienes. Monomios. Monomios enteiros. Chámase monomio enteiro a unha expresión alxébrica formada por produtos de números enteiros e letras elevadas a expoñentes enteiros.

cicely
Télécharger la présentation

Tema 4. Polinomios

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Tema 4. Polinomios Operacións básicas. Factorización.

  2. Polinomios: definicións e operacións básicas Bloques de Dienes

  3. Monomios. Monomios enteiros Chámase monomio enteiro a unha expresión alxébrica formada por produtos de números enteiros e letras elevadas a expoñentes enteiros. Cando a parte literal ten unha única letra diremos que temos un monomio nunha indeterminada, por exemplo: 2x, 5y3, etc… Grao dun monomio Ao número que aparece nesta expresión chámaselle coeficiente ou parte numérica e á expresión contendo as indeterminadas parte literal. Chámase grao dun monomio á suma dos expoñentes das indeterminadas da parte literal. 2 x · y 2 Parte numérica: coeficiente Parte literal O expoñente 1, non se escribe, por convenio O expoñente da y é 2 O grao de 2xy2 é 2+1=3

  4. Polinomios. Polinomios nunha indeterminada Chámase polinomio enteiro á suma de monomios enteiros. Chámase grao dun polinomio ao grao do monomio de maior grao. Nos polinomios nunha indeterminada coincide co maior expoñente da indeterminada. Grao 1 Un polinomio enteiro nunha indeterminada é un polinomio formado por monomios simples: que só teñen unha indeterminada. Maior grao =1 Grao 3 Maior grao =3 Cando contén termos de todos os graos ata o maior decimos que o polinomio é completo Exemplos Completo Incompleto

  5. Operacións cos polinomios Suma e resta de polinomios: Para sumar os polinomios so poden sumarse os termos semellantes: os que son do mesmo grao. • Sumamos termos semellantes sumando os coeficientes e tomando común a parte literal. Para efectuar a suma, • Ordenamos e completamos os polinomios segundo a medra do seu grao: Sumando: A resta de polinomios efectúase sumando ao minuendo o oposto do sustraendo polo que non ten sentido falar unha vez máis do procedemento.

  6. Produto de polinomios O produto de dous polinomios require do produto de cada un dos monomios de cada polinomio: O produto de monomios efectúase multiplicando as partes literais dunha banda e os coeficientes por outra: Que tamén pode efectuarse da seguinte forma: Propiedades das potencias Este algoritmo é lixeiramente diferente do da multiplicación numérica, que podería tamén empregarse na multiplicación de polinomios. ¿Saberías explicar a razón de que o resultado sexa indiferente ao método empregado? x2-x-1 2x+3 2x3- 2x2-2x +3x2-3x-3 2x3+ x2- 5x-3 Multiplicar un monomio por un polinomio é multiplicar o monomio por cada un dos termos do polinomio:

  7. Identidades notables NicoloTartaglia

  8. Identidades notables Chámase identidades ou produtosnotables ás potencias de expresións alxébricas simples, en particular sumas e restas de binomios. Por veces adoitaincluírse entre estas expresións o cubo da suma E da resta: As expresións máis simples son: Cadrado da suma: A veracidade de todas estas expresións pode comprobarse efectuando simplemente os produtos. O que xa non resulta tan simple é obterunha expresión xeral que permita obter o resultado da potencia: Cadrado da diferenza: Suma por diferenza: para calquera n,

  9. Triángulo de Tartaglia O método de Tartaglia baséase na obtención dos coeficientes mediante unha regra simple: + = Os termos resultantes obtéñense empezando polo maior expoñente do primeiro sumando, que vai descendendo unha unidade en cada termo, multiplicado polo segundo, que comeza con expoñente cero e vai aumentando unha unidade en cada termo.

  10. Binomio de Newton Chámasebinomio de Newton a todo binomio da forma: Chámasefactorial do número n, aoproduto: Propiedades Por definición: 0!=1 Exemplos: Defínense os números combinatorios como o resultado da seguinte serie de operacións: Propiedades Exemplos:

  11. A factorial e os números combinatorios resumen o procedemento do triángulo de Tartaglia mediante a expresión: NOTA: BINOMIO DE NEWTON No exemplo empregáronse os resultados: Suma desde k=0 ata n Exemplo:

  12. División de Polinomios PaoloRuffini

  13. División de polinomios Sexan os polinomios: P(x) Q(x) R(x) C(x) Que deberán cumprir a propiedade fundamental: Efectuando o cociente p(x) entre q(x) teremos un cociente e un resto. P(x)=Q(x)·C(x)+R(x) Ordenamos e completamos os polinomios x3 +0x2- 3x + 2 x2 - 2x Multiplicamos e restamos: -x3 +2x2 x + 2 2x2 – 3x Buscamos o monomio que ao multiplicar polo maior do cociente sexa idéntico ao de maior grao do dividendo -2x2 +4x Multiplicamos e restamos: x

  14. Resulta conveniente analizar o caso: x3 +0x2- 3x + 2 2x2 - 2x x3 +0x2- 3x + 2 2 x2 - 2x -x3 +x2 ½ x + ½ O problema reside en atopar o número que multiplicado por 2 dá 1, que non é outro que o seu inverso x2 – 3x -x2 + x -2x Neste outro caso Aplicamos fraccións: x3 +0x2- 3x + 2 2 x2 - 3x -x3 +3/2 x2 ½ x + 3/4 3/2 x2 – 3 x -2/3 x2 – 3/2 x -2x

  15. Algoritmo de Ruffini O algoritmo de Ruffiniemprégasena división dun polinomio p(x) entre un polinomio da forma x-a Coeficientes do dividendo an an-1 an-2 a2 a1 ao x - a + + + + + P(x) x-a a aCn-1 aCn-2 aC2 aC1 aC0 R C(x) Cn-1 Cn-2 Cn-3 C1 Co R Resto Coeficientes do cociente

  16. Exemplo División dun polinomio p(x) entre un polinomio da forma x-a Coeficientes do dividendo 3 2 -7 1 5 + + + + 2 6 16 18 43 por 3 8 9 19 48 Resto Coeficientes do cociente

  17. Teoremas do resto e do factor. Raíces Teorema do resto

  18. Teorema do resto O resto da división dun polinomio p(x) entre un polinomio da forma x-a é igual ao valor numérico do polinomio para x=a Noutras palabras APLICACIÓN: Tomando o polinomio anterior: Tomando como divisor: Podemos calcular o resto sen efectuar a división:

  19. Teorema do factor Se o valor numérico P(a) para un deteminado número real “a” do polinomio p(x) é nulo, entón x-a é un factor de p(x) Demostración Polo teorema do resto, e polo tanto, se dividimos: Factor 2 Factor 1 Exemplo Factor 1 Factor 2

  20. Raíces dun polinomio Raíz de mangle

  21. Raíces dun polinomio Chámaseraízdun polinomio p(x) ao número real “r” que anula o polinomio. VOCABULARIO MATEMÁTICO: Anular o polinomio oucalqueraoutra expresión significa facer nulo o seu valor numérico O valor Proposición Se “a” é unha raíz de p(x) entón x-a é un factor de p(x) É raíz do polinomio: Demostración Xa que: Consecuencia Factorizar un polinomio equivale a buscar as raíces do polinomio.

  22. Raíces enteiras Para buscar as raíces enteirasdun polinomio comprobamos os valores numéricos do polinomio para os divisores do termo independente: os que o anulen serán raíces, os outros non PROPOSICIÓN: As raíces enteirasdun polinomio son divisores do termo independente. TEOREMA FUNDAMENTAL DO ÁLXEBRA. O número máximo de raíces dun polinomio é igual aoseu grao Divisores e valores numéricos 3 4 2 7 1 A ùnica raíz de p(x) é x =1. Isto non é incompatible co teorema fundamental, xa que este establece unicamente un número máximo de raíces, non o mínimo. Grado do polinomio = nº máximo de raíces

  23. Factorización de polinomios

  24. Factorización de polinomios A factorización de polinomios consiste en expresar un polinomio arbitrario p(x) como produto de outrosmáis simples, de menor grao. EXEMPLO: Como xa vimos, o polinomio: Pode descompoñerse como produto de dous factores: O polinomio máis simple é o polinomio da forma De maneira que o nosoobxectivo será expresar un polinomio xenérico: Como produto de factores: Factor 1 Factor 2 Esto é, buscamos a igualdade: E sendoneste caso os : ai = raices de p(x) ki = multiplicidade de ai

  25. Método a seguir na factorización de polinomios Imosestudar a descomposición dun polinomio nunha indeterminada mediante exemplos. EXEMPLO: RAÍCES ENTEIRAS: Os factores da forma x-a da descomposición dun polinomio p(x) onde a é un número enteiro deben buscarse entre os divisores do termo independente. Divisores do termo independente: Valores numéricos de p(x) Dos valores numéricos temos tres raíces e polo teorema fundamental do álxebra non pode haber máis Outro método consiste en dividir sucesivamente: FACTORES 1 -3 -6 8 (X-1) 1 1 -2 -8 1 -2 -8 0 -2 (X+2) -2 +8 1 -4 0 (X-4) 4 4 1

  26. EXEMPLO 2 Tamén pode empregarse a veces, para determinar raíces reais non enteiras, a descomposición da ecuación de segundo grao: Cando o número de raíces enteiras é menor có grao do polinomio: EXEMPLO 3: FACTORES 2 5 4 1 1 -3 0 2 (X+1) -1 -3 -1 -2 -2 1 -2 1 (X+1) 2 3 1 0 1 -2 -2 0 -1 (X+1) -2 -1 E non volve dar exacto con ningún divisor de 2 2 0 1 (2X+1) Usando : Intentamos a descomposición do polinomio de segundo grao:

More Related