VECTORES EN EL ESPACIO Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Semestre 99-00 B
Eje Z Eje Y Eje X O Sistema de coordenadas de la mano derecha
Eje Z c b a u Eje Y Eje X Dadoun vector u se le asocia el punto P(a,b,c) así: u=(a,b,c) son las coordenadas del punto P y del vector u
Eje Z c b a u Eje Y Eje X Dado (a,b,c)3se le asocia el vector u así: u=(a,b,c)
Punto P en el espacio Vector u=OP desde el origen hasta P (a,b,c)3 Esta correspondencia se llama: Sistema de coordenadas rectangulares
Eje Z O Eje Y Eje X Plano XY={(x,y,z)3/ z=0}
Eje Z Eje Y O Eje X Plano XZ= {(x,y,z)3/ y=0}
Eje Z Eje Y O Eje X Plano YZ={(x,y,z)3/ x=0}
Seanu=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) vectores en el espacio y un número real. Se define el vector: • suma u+v como • u+v= (u1+ v1, u2+ v2, u3+v3) • producto por un escalar u como • u=(au1, au2, au3).
La magnitud o norma de un vector u=(u1,u2,u3)es su longitud, es decir, de acuerdo al teorema de Pitágoras. Un vector de norma 1 se llama vector unitario
Ejemplo Nº1 a) Encuentre el vector de norma 4 en la dirección del vector (2,-2,-1) b) Encuentre el vector unitario que forma un ángulo de /4 con el eje X
(2,-2,-1) es el vector buscado Solución Nº1 a) por lo tanto
Eje Z Eje Y Eje X b) Hay infinitos vectores de norma 1, que forman un ángulo de /4 con el eje X.
Eje Z u Eje Y Eje X Por lo tanto en 3 se define una dirección como un vector unitario. u=(a,b,c) unitario a= cos b= cos c= cos cos2+cos2+cos2 =1 , , son los ángulos directores
Productoescalar Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) como: u.v=u1v1+u2v2+u3v3 Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.
Eje Z Eje Y Eje X /2 Productoescalar Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o . Dos vectores son ortogonalessi forman un ángulo de /2
Sean u y v vectores no nulos y el ángulo entre ellos, entonces u v ucos Proyvu= Teorema: Interpretación geométrica:
Sea v un vector no nulo, entonces para cualquier vector u se tiene que es un vector ortogonal a v w= u w=u-proyvu v Proyvu Teorema:
w.v= w.v= Prueba del Teorema: Por lo tanto wv
Ejercicio Nº2 a) Calcule la proyección de u=(2,3,-1) sobre v=(2,-1,3). b) Sean u=(1,0,0), v=(0,1,1) y w=(3,0,0). Encuentre el ángulo entre u y v, u y w, v y w. c) Encuentre todos los vectores ortogonales a (1,-1,2) y (0,1,-2)
Productovectorial El producto vectorial o producto cruz fue definido por Hamilton (1848) y solo está definido para 3. Es un producto de vectores en 3 cuyo resultado es un vector perpendicular a ambos factores, de manera que se mantenga el sistema derecho Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)
ixi=0 jxj=0kxk=0 ixj=k jxi=-kkxi=jixk=-j jxk=ikxj=-i u= ai+bj+ck v= xi+yj+zk uxv Productovectorial (bz-cy)i- (az-cx)j +(ay-bx)k
uxv= Productovectorial Una regla nemotécnica para recordar la definición de producto vectorial es escribir uxv como el “determinante”: y calcular el mismo por cofactores de la primera fila
Productovectorial Teorema: Si es el ángulo entre los vectores u y v, entonces Prueba:
Producto vectorial • Teorema:Sean u,v,w vectores en 3 y un número real, entonces: • ux0 = 0xu = 0 • uxv = - vxu (propiedad anticonmutativa) • (u)xv = (uxv) = ux( v) • ux(v+w) = uxv + uxw (propiedad distributiva) • u.(uxv) = v.(uxv) = 0, es decir , uuxv, vuxv • uxv = 0 si y solo si u||v. • (uxv).w = u.(vxw) (producto triple) Prueba: Use MATLAB
Eje Z usen u v Eje Y Eje X Interpretación geométrica del producto cruz Area= vusen uxv Area del paralelogramo generado por los vectores u y v = uxv
Eje Z w v Eje Y u Eje X Interpretación geométrica del producto cruz Area de la base uxv Volumen |uxv|Proyuxvw Volumen del paralelepípedo generado por los vectores u, v y w= |w.(uxv)|
Proyvu= Proyvu= u.v=0, v.w=0, de donde uv y v w (forman un ángulo de /2). u.w=3, , por lo tanto u.w= de donde uw y el ángulo que forman es cero ya que tienen la misma dirección Solución Nº2
Solución Nº2 u=(a,b,c) es ortogonal a (1,-1,2) y (0,1,-2) si a-b+2c=0 y b-2c=0 Sistema homogéneo cuya matriz asociada es Solución: a=0; b=2t; c=t , t, es decir, todos los vectores de la forma (0,2t,t).
