La construction du nombre aux cycles 1 et 2

1. La construction du nombre aux cycles 1 et 2 sens du nombre construction des apprentissages 

2. Mes sources • CDROM : Apprentissages mathématiques en maternelle, Joël Briand, Martine Loubet, Marie-Hélène Salin, Hatier • Découvrir le monde avec les mathématiques, Dominique Valentin, Hatier (deux tomes) • Apprentissages numériques GS, CP et CE1, ERMEL, Hatier • Capmaths CP et CE1, Hatier • CDROM : Enseigner les mathématiques au cycle 2, Muriel Fénichel, Catherine taveau, CRDP de Créteil Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

3. Evaluation CE1 2010 • Ecris les nombres dictés: • (huit cent trente – quatre-vingt-six – sept cents – cent sept – deux cent quatre-vingt-douze – six cent soixante) Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

4. Ecris les nombres dictés: • (huit cent trente – quatre-vingt-six – sept cents – cent sept – deux cent quatre-vingt-douze – six cent soixante) Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

5. Evaluation CM2 2010 Ecris les nombres dictés: cent treize mille ; huit milliards quatre cents millions ; soixante mille soixante-quinze Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

6. « Il faut se demander si on ne s’est pas toujours trompé en leur apprenant que « cent » c'est 100, « cinquante » c'est 50...alors ce sont eux qui ont raison d’écrire : • 3 100 50 4 pour • « trois cent cinquante-quatre ».  • Ils ont raison …car ils cherchent une cohérence entre deux façons d’écrire la même façon de dire ». Stella Baruk, Compte pour petits et grands, Magnard, page 13 Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

7. Le nombre Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011 Un concept

8. Un apprentissage complexe… pour tout concept d’après G. vergnaud Problèmes qu'il permet de résoudre Langage et représentations - analogiques - verbales - symboliques Résultats, procédures et techniques - à mémoriser, à automatiser - à savoir élaborer Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011 Définition et Propriétés - utilisées implicitement - explicitées

9. Un apprentissage complexe… pour tout concept d’après G. vergnaud Problèmes qu'il permet de résoudre Résultats, procédures et techniques - à mémoriser, à automatiser - à savoir élaborer Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

10. Sur les enjeux d’apprentissage • L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. (programme, 2008) • La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (programme, 2008) Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

11. Un apprentissage complexe… pour tout concept d’après G. vergnaud Langage et représentations - analogiques - verbales - symboliques Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

12. la numération orale ou verbale (qui peut être écrite en lettres) Les représentations numérales sont premières • Des mots qui représentent : Les unités : un, deux, ….., neuf Les groupements de dix : vingt, trente…. Les puissances de dix : cent, mille, million…. • Deux relations de base Une relation additive vingt-deux c’est vingt plus deux Une relation multiplicative quatre mille c’est quatre fois mille Suivant la position des mots la relation est additive ou multiplicative Et des exceptions… Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

13. La numération écrite en chiffres Représentations numériques • Des symboles (les chiffres) qui représentent les unités : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 • Un symbole qui montre l’absence d’unité : 0 • Un système de position : • 234 indique 2 centaines, 3 dizaines, 4 unités • Ce système s’étend à l’écriture des fractions décimales : • 234,56 indique 2 centaines, 3 dizaines, 4 unités, 5 dixièmes, 6 centièmes Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

14. Stella Baruk - Comptes pour petits et grands - Magnard « Les mots numéraux sont les seuls mots de la langue à avoir deux écritures, mais c'est celle qui traduit la langue parlée, les mots entendus, qui est première. • Il faut donc construire la logique numérique à partir de la langue. Mettre en cohérence le lu, le su, le vu, l'entendu. » Stella Baruk Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

15. Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

16. Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

17. Stanislas Dehaene - La Bosse des maths - Odile jacob Le triple code Capacité antique à percevoir des représentations spatiales Représentations mentales Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

18. triple code et « petits nombres »dehaene Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011 3 trois

19. Triple code et numération Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011 Trente-quatre 34

20. Triple code et decimaux Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011 1 Un et deux dixièmes et quatre centièmes 1,24

21. Représentations analogiques du nombre Aspect cardinal • Des collections variées • Des collections témoins (doigts, dé) • Un matériel qui permet de réaliser et d’utiliser les groupements et de matérialiser les échanges entre groupements • Des représentations de ces matériels Aspect ordinal • Des suites d’écritures chiffrées • Des graduations Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

22. Renforcer certains axes moins travailles pour donner du sens aux autres Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

23. La notion de nombre Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011 Repères pour la maternelle et le CP Acquisition de la chaine verbale Sens et fonctions du nombre

24. Importance de la "comptine" orale et du dénombrement L'acquisition de la chaîne numérique verbale et son usage dans les processus de quantification est déterminante (…). Ces habiletés verbales constituent en réalité les éléments à partir desquels s'édifient les acquisitions ultérieures… P. Barouillet et V. Camos Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

25. La chaine orale (suite des nombres oraux)Niveau d’élaboration et procédured’après Fuson (1986) Cinq étapes bien identifiées dans son fonctionnement : • Le chapelet (undeuxtroisquatre) : pas de signification arithmétique • Comme un tout : suite non scindable, retour à « un » nécessaire pour avoir « quatre » • Puis le comptage devient possible à partir de n’importe quel nombre (bande numérique en référence, comparaison possible,surcomptage) • Comptage à rebours • Les nombres peuvent être dissocier de la suite par couples (de quatre pour aller à sept…) Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

26. L'acquisition de la comptine Quelques étapes de 2 à 6 ans Grande variabilité selon les enfants (donc valeurs moyennes) • 4 ans et demi : récitation jusqu'à seize • 5 ans et demi : récitation jusqu'à quarante Mais savoir réciter n'est ni connaître complètement ni savoir utiliser Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

27. Suivant la nature, la taille, des objets, leur quantité, leur disposition, le dénombrement d’une collection peut être réalisé • Par estimation globale • Par reconnaissance d’une collection type • Par comptage • Par calcul • En combinant ces différentes procédures • Par estimation Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

28. Reconnaissance visuelle et collections témoins (petite collections jusqu’à quatre) Très tôt, l’enfant sait que les collections ont la même quantité par perception globale. Cette quantité peut être numérisée : « trois » Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011 Permet la décomposition d’une collection importante en parties dénombrables (amorce de groupements ou d’écritures additives)

29. Denombrement par comptageLes 5 principes de R. Gelman (1977-1983) • Suite stable • Adéquation unique • Indifférence de l’ordre • Cardinal • Abstraction Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011 Les enfants comprennent isolément les principes du comptage de manière précoce.

30. 1 1 3- Indifférence de l’ordre Mémoriser une suite de mots et la restituer de la même manière dans des contextes qui peuvent varier. Alors que l’ordre de pointage n’a pas d’importance Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

31. 5 • Principe cardinal Principe cardinal : le dernier mot nombre prononcé réfère à l’ensemble Accepter de conceptualiser contre une connaissance… donc de force, par répétition ou imitation La question du combien… Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011 5 = ? 2 3 4 1

32. Les difficultés des élèves • Suite orale non stable, non conventionnelle • Importance de l’ordre, de la disposition spatiale, de la nature des objets • Non coordination de la correspondance un à un • Non cardinalisation • En général, les élèves de PS ne comprennent pas le comptage ! Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

33. Dénombrement par comptageJoël Briand • nécessite la mise en œuvre de compétences élémentaires et de savoirs pré-numériques et logiques à coordonner • la collection, les unités • l’inclusion, la partition • l’énumération : action de structuration d’une collection qui permet de la parcourir de façon ordonnée et contrôlée. Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

34. Suite orale/suite écrite • L’oral est premier • Il n’y a pas d’urgence à enseigner la suite écrite en PS, en MS • Le risque est d’associer au mot « trois » uniquement le symbole « 3 », donc de « boucler sur deux signifiants » sans rapport avec le signifié. • La bande numérique présente dans la classe sert de dictionnaire… Marie-Paule Dussuc - novembre 2011

35. 1 2 3 4 5 6 7 un deux trois quatre cinq 1 2 3 4 5 6 7 un deux trois quatre cinq • Trouver l’écriture chiffrée associée à un mot-nombre Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011 • Trouver le mot-nombre associé à une écriture chiffrée

36. Et le sens du nombre ? Problèmes qu'il permet de résoudre Langage et représentations - analogiques - verbales - symboliques Résultats, procédures et techniques - à mémoriser, à automatiser - à savoir élaborer Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011 Définition et Propriétés - utilisées implicitement - explicitées

37. Document d’accompagnement des programmes 2002Cycle 1 • La fréquentation des nombres dans des activités occasionnelles liées à la vie de la classe ou dans les jeux est nécessaire mais ne suffit pas à la construction des compétences numériques visées. • Des occasions doivent être ménagées où les enfants ont un problème à résoudre, c’est à dire sont confrontés à une question qu’ils identifient et dont ils cherchent à élaborer une réponse, puis se demandent si la réponse obtenue convient… Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

38. Programmes 2008 • Cycle 1 • Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage. • Cycle 2 • La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations. Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

39. Les nombres outil pour mémoriser… Quels sens pour le nombre ? …des quantités aspect cardinal • Réaliser une collection équipotente à une collection donnée • Compléter une collection pour la rendre équipotente… • Comparer des collections … des positions dans une liste rangée aspect ordinal • Indiquer une position • Replacer un objet à sa position • Comparer des positions Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

40. Nombres et mémoire des quantités Une situation "de référence” Préparerjustecequ'ilfaut de bouchons pour en avoir un pour chaquebouteille. Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

41. Les procédures • Des procédures qui n’utilisent pas le nombre : • estimation purement visuelle • liée à la quantité (perception globale) • liée à la configuration spatiale • correspondance terme à terme • Des procédures qui utilisent les nombres : • reconnaissance immédiate de la quantité, cas des très petits nombres : « subitizing » • utilisation du dénombrement par comptage •  le nombre joue alors ce rôle de « mémoire de la quantité » Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

42. Réaliser une collection équipotente à une collection donnée Il faut aller chercher juste assez de voyageurs (les bouchons) pour remplir toutes les places de la voiture • Des boîtes pour figurer des voitures, avec un quai • Des places dessinées • Des bouchons placés plus loin Les voyageurs » ERMEL GS Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011 Situation fondamentale

43. Divers habillages pour cette situation • ERMEL GS • Les voyageurs (réalisable en MS), Les math-œufs CDROM Apprentissages mathématiques en maternelle • en MS et GS : Voitures et garages, Lapin et carottes Découvrir le monde avec les mathématiquesC2 • La ferme de Mathurin (collections multiples) Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

44. Divers habillages pour cette situation • ERMEL CP • Le robot • Les mosaïques • Cap maths CP • Le Ziglotron Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

45. Réaliser une collection équipotente à une collection donnée ZiglotronCapmaths CP D'après Cap maths CP Allerchercher, en uneseulefois, justeassez de gomettes pour réparer le ziglotron Les commander oralement Les commander par écrit Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

46. Apprendre et s’entrainer…. Lapins et carottes (CDROM Hatier) • En MS, en GS…. • Dans des situations orales • Au CP • Dans des situations écrites Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011 Ziglotron (cap math CP)

47. Comprendre la quantité avant de la quantifier Les boîtes d’oeufsen PS • Il faut aller chercher dans son plateau des châtaignes pour remplir la boîte d’œufs sans en prendre trop. • Le nombre de voyages n’est pas limité Dominique Valentin Découvrir le monde avec les mathématiques Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

48. Les nombres outil pour mémoriser… …des quantités aspect cardinal • Réaliser une collection équipotente à une collection donnée • Compléter une collection pour la rendre équipotente… • Comparer des collections … des positions dans une liste rangée aspect ordinal • Indiquer une position • Replacer un objet à sa position • Comparer des positions Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

49. Replacer un objet à sa position Respecter le rang GS/CP Unefrisemodèleconstituéd’une suite d’images, placée plus loin. L’élève dispose d’unefrise vide, sans images, et d’une image, ildoit la replacer sur la frise vide au mêmeendroitquesur la frisemodèle. CDROM Apprentissagesmathématiques en maternelle Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011

50. Les nombres outil pour anticiper Vers le calcul Aspect cardinal : quantités • Résultat d’une augmentation ou d’une diminution • Valeur de la transformation ou l’état avant transformation • Valeur d’une réunion, valeur d’un complément • Résultat d’un partage Aspect ordinal : positions dans une liste rangée • Position après un déplacement (en avant ou en arrière) • Valeur du déplacement • Position avant déplacement Roland Charnay - Marie-Paule Dussuc - décembre 2011 Problèmes qui vont être travaillés en progression de la GS au CE2