Le funzioni

1. Le funzioni

2. Definizione: Le funzioni sono uno dei concetti più importanti della matematica. Ma che cosa è una funzione? Possiamo intenderla come un apparecchio di Input-Output. Prende un oggetto come Input e fornisce un oggetto come Output. E questo avviene secondo una precisa (univoca) relazione. Per noi "oggetto" per adesso significa "numero". Quindi una funzione per noi per ora è una macchina che prende un numero come Input e lo  trasforma in un numero come Output. Ecco una macchina del genere:

3. La macchina eleva al quadrato il numero dato. L'idea è di assegnare a ciascun numero il suo quadrato. La relazione è dunque "elevare al quadrato". Così abbiamo definito una funzione. Potremmo chiamarla "funzione quadrato". • Per scrivere le funzioni in matematica esistono 2 notazioni: • Quella con la freccia f: x -> x2 • Quella con l’uguale f(x)= x2

4. Definizione di funzione: Dati due insiemi A e B, si dice funzione (f: A B) una relazione di natura qualsiasi tale che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B Si possono considerare funzioni anche per oggetti matematici diversi dai numeri. Per definire una funzione abbiamo bisogno di due insiemi che chiamiamo A e B. Noi ci occuperemo e studieremo solo funzioni numeriche ovvero funzioni reali di variabile reale 3 4 5 7 16 9 49 25 1 A B C DE 3 2 5 4 1

5. Ogni volta che il valore di una grandezza dipende dal valore di un'altra grandezza, si ha una funzione. La natura e la nostra vita sono piene di questo tipo di dipendenze

6. Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.Si può anche scrivere"x1,x2ÎA x1¹x2Þf(x1)¹f(x2) Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivoyÎB da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento  xÎA Funzioni iniettive: Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A (Dominio) corrispondono elementi distinti di B (Codominio).Si può anche scriverex1≠x2  A -> f(x1) ≠ f(x2)  B

7. Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.Si può anche scrivere"x1,x2ÎA x1¹x2Þf(x1)¹f(x2) Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivoyÎB da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento  xÎA Funzioni suriettiva: Una funzione da A a B si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di  almeno un elemento di A. Ogni elemento del codomino deve avere almeno un corrispondente nel dominio

8. Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.Si può anche scrivere"x1,x2ÎA x1¹x2Þf(x1)¹f(x2) Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivoyÎB da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento  xÎA Funzioni biettiva: Una funzione da A a B che sia contemporaneamente iniettiva e suriettiva viene detta  corrispondenza biunivoca. Ad ogni elemento del dominio corrisponde uno e uno solo elemento del codominio

9. Funzioni pari dispari e periodiche

10. Sia data una funzione y=f(x), si dice che f(x) è periodica di periodo T>0 se per ogni k intero, f(x)=f(x+kT).Il più piccolo T > 0 prende il nome di periodo. Geometricamente la definizione data implica che il grafico di una funzione periodica si può tracciare per ripetizione del grafico ottenuto restringendo il dominio ad un qualunque intervallo di ampiezza

11. Si definisce Dominio di una funzione l'insieme dei valori che posso attribuire alla variabile indipendente x per ottenere il valore della y

13. Siti utili: http://precorso.dicom.uninsubria.it/lezioni/funzioni.htm#WasisteineFunktion http://www.ripmat.it/mate/c/cc/ccb.html