Równanie fali

1. Drganie harmoniczne wokół położenia równowagi: x(t) = A cos(ωt + φ) Rozważmy falę dźwiękową harmoniczną rozchodzącą się wzdłuż osi x z prędkością v – równanie tej fali ma postać:  - wychylenie cząsteczek ośrodka od położeń równowagi; A – amplituda wychylenia;  - pulsacja; k – wektor falowy Równanie fali jest rozwiązaniem różniczkowego równania ruchu falowego: Równanie fali v – prędkość propagacji fali Rozwiązaniem równania falowego jest też funkcja (jak na rysunku): k – wektor falowy WYKŁAD BEZ RYSUNKÓW Płaska fala podłużna wzbudzona ruchem tłoka oraz zmiany wychylenia  fali biegnącej w kierunku x

2. Ciśnienie dźwięku Wychylenia cząsteczek ośrodka powodują lokalne zmiany jego ciśnienia Korzystając z różniczkowego równania falowego i równania adiabaty można wykazać, że ciśnienie p wytworzone przez falę: • pm – amplituda ciśnienia fali • - gęstość ośrodka k – wektor falowy;  - długość fali Ciśnienie zmienia się w sposób harmoniczny, ale jest ono przesuniętew fazie o /2 względem wychyleń cząsteczek Ciśnienia fal dźwiękowych są małe, znacznie mniejsze niż ciśnienie atmosferyczne

3. S v·t Moc fali Każda fala przenosi energię drgań źródła fali wyrażonej wzorem: k – współczynnik sprężystości To jest energia zawarta w masie m ośrodka Gęstość energii akustycznejEa = ilość energii w jednostce objętości W czasie t na powierzchnię S pada energia faliE zawarta w objętości V=S·v·t Moc fali:

4. S Natężenie dźwięku Natężeniem fali I nazywamy moc fali przypadającą na jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali Natężenie fali (powierzchniowa gęstość mocy) jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy i kwadratu pulsacji fali Poziomem natężenia dźwięku (głosu) nazywamy wielkość: [L]=[dB] I0=10-12W/m2 – natężenie najsłabszego dźwięku  natężenie odniesienia Skala „siły” dźwięku: 0 – 120 dB

5. Charakterystyka fal dźwiękowych Fale dźwiękowe okresowe dzielimy na: tony – wywołują zmiany ciśnienia w ośrodku o przebiegu drgań harmonicznych prostych dźwięki złożone – powstają w wyniku wzajemnego nakładania się różnych drgań harmonicznych Dźwięki charakteryzujemy poprzez: wysokość – rośnie ze wzrostem częstotliwości barwę – jest związana z zawartością w fali dźwiękowej wielu drgań o różnych przebiegach i częstotliwościach natężenie – zależy od wielkości amplitudy fali dźwiękowej: im większa amplituda, tym większe natężenie dźwięku

6. Widmo dźwięku Jeżeli wychylenie, np. struny ma kształt sinusoidy to struna wykona drgania harmoniczne Zazwyczaj kształt wychylenia struny nie jest sinusoidalny  drganie złożone z wielu drgań harmonicznych analiza Fouriera Amplitudy składowych drgań harmonicznych tworzą tzw. widmo dźwięku, od którego zależy barwa dźwięku Różne instrumenty muzyczne posiadają różną barwę dźwięku, czyli różne widmo dźwięku Skrzypce i fortepian: częstotliwość podstawowa taka sama f1=440 Hz f1=440Hz; f2=2f1=880Hz; f3=3f1=1320Hz itd. Zastosowanie analizy Fouriera do badania dźwięku skrzypiec i fortepianu Drganie struny fortepianowej jest bardziej zbliżone do harmonicznego (mały udział wyższych harmonicznych), niż drganie skrzypiec (duże amplitudy 2f1 i 5f1)

7. Zjawisko Dopplera Występuje, gdy obserwator i źródło dźwięku są w ruchu względem siebie: Źródło spoczywa – obserwator zbliżający się do źródła słyszy dźwięk wyższy, gdy się oddala – słyszy dźwięk niższy Obserwator spoczywa – źródło zbliżające się ma wyższy dźwięk, źródło oddalające się niższy dźwięk Uwaga: „niższy”, czy „wyższy” (f’) dotyczy porównania, gdy źródło i obserwator są w spoczynku (f) Wielkość zmiany częstości dźwięku (f’/f) zależy od stosunku prędkości obserwatora lub źródła (v) do prędkości dźwięku (u), który nazywamy liczbą Macha(m): Liczba Macha Przypadek: porusza się zarówno źródło dźwięku jak i obserwator – ruch źródła odbywa się niezależnie od ruchu obserwatora vz – prędkość źródła dźwięku Zmiana częstości dźwięku f’/f vO – prędkość obserwatora W/w wzory są słuszne, jeżeli prędkości źródła i obserwatora są dużo mniejsze od prędkości dźwięku Ultradźwiękowa metoda dopplerowska w diagnostyce medycznej: naczyń i serca

8. Ultradźwięki – sposoby wytwarzania Ultradźwięki są wytwarzane przez generatory: Mechaniczne – syrena: f  200 kHz Magnetostrykcyjne – zmiana liniowych wymiarów ferromagnetyków w zależności od natężenia pola magnetycznego: f  200 kHz Piezoelektryczne – zmiana wymiarów liniowych kryształu umieszczonego w zmiennym polu elektrycznym: f  (10102) MHz; częstotliwości  GHz (hiperdźwięki) uzyskuje się dzięki mikronowym warstwom naniesionym techniką napylania/rozpylania cienkich warstw z ZnO i CdS i pobudzaniu w rezonatorach mikrofalowych Dzięki małej  ultradźwięki mogą być emitowane w postaci cienkich wiązek: można stosować prawa odbicia i załamania znane z optyki Odbicie fali jest uzależnione od oporu akustycznego R:  - gęstość ośrodka v – prędkość fali w ośrodku

9. INFORMATYKA Plan wykładu ELEMENTY ELEKTRYCZNOŚCI • Prawo Coulomba • Pole elektryczne – natężenie pola • Strumień indukcji elektrycznej • Prawo Gaussa dla pola elektrycznego • Praca sił pola elektrycznego • Napięcie i potencjał pola elektrycznego – • powierzchnie ekwipotencjalne

10. Pole elektryczne Ładunki elektryczne są ściśle związane z atomową budową materii Elektryzowanie polega na rozdzielaniu ładunków dodatnich od ujemnych, a nie ich wytwarzaniu Ładunki jednakowego znaku odpychają się, a ładunki różnych znaków przyciągają się

11. Pole elektryczne Dwa punktowe ładunki q1 i q2 znajdujące się w odległości r działają na siebie siłą:   przenikalność elektryczna (stała dielektryczna) Prawo Coulomba 0 próżni r względna Przenikalność elektryczna  ośrodka materialnego: Przestrzeń otaczająca ładunki elektryczne posiada taką właściwość, że na umieszczone w dowolnym jej punkcie inne ładunki działa siła pole Natężenie pola elektrycznegoE:stosunek siły F, działającej na dodatni ładunek próbny q0, do wartości tego ładunku E i F – wielkości wektorowe Jeżeli badane pole jest wytwarzane przez ładunek punktowy q, to zgodnie z prawem Coulomba: Pole wytworzone przez n ładunków punktowych:

12. Graficzne przedstawienie pola elektrycznego Pole elektryczne przedstawiamy za pomocą linii sił pola – są to linie, do których wektor E jest styczny w każdym punkcie; linie pola zaczynają się zawsze na ładunkach dodatnich, a kończą na ładunkach ujemnych q0 – ładunek dodatni

13. Linie sił pola elektrycznego Linie sił pola elektrycznego dookoła naładowanej płyty Linie sił pola elektrycznego dookoła dwóch prętów naładowanych jednakowo lecz z przeciwnymi znakami Fotografie przedstawiają rozkład naelektryzowanej zawiesiny z nasionek trawy znajdującej się w cieczy

14. lub iloczyn skalarny Strumień indukcji elektrycznej Def. indukcji elektrycznej D, zwanej też przesunięciem elektrycznym: D = E D i E są do siebie równoległe Def. strumienia indukcji D przez daną powierzchnię: dS – „zorientowany element powierzchni” <90° – to strumień dodatni >90° – to strumień ujemny Elementarny strumień przez element powierzchni dS: • - kąt pomiędzy wektorami D i dS Dn- składowa prostopadła do powierzchni Strumień indukcji jest równy iloczynowi powierzchni i składowej normalnej indukcji Strumień jest wielkością skalarną

15. Prawo Gaussa • Strumień D jest: • dodatni, jeżeli linie sił skierowane są wszędzie na zewnątrz – pole powstaje wewnątrz powierzchni zamkniętej • ujemny, jeżeli są skierowane do wewnątrz – pole znika wewnątrz powierzchni zamkniętej • równy zeru, jeśli ilość linii wpływających do powierzchni jest równa ilości wypływającej z powierzchni Co jest wewnątrz powierzchni zamkniętej? Prawo Gaussa: Strumień indukcji D przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy całkowitemu ładunkowi q zawartemu wewnątrz tej powierzchni Prawo Gaussa S1: D >0 S2: D <0 S3: D = 0 S4: D = 0 (suma ładunków =0)

16. Prawo Gaussa dla ładunku punktowego Obliczmy strumień indukcji przez powierzchnię kuli o promieniu R Natężenie pola elektrycznego E wywołane ładunkiem q: D = E oraz Indukcja D na powierzchni kuli (r=R): Linie sił pola przebijają powierzchnię kuli prostopadle (=0; cos=1) Strumień równy jest ładunkowi!

17. Praca sił pola elektrycznego Dodatni ładunek próbny q0 przesuwa się od punktu A do B w polu elektrycznym o natężeniuE pod wpływem sił F pola elektrycznego F = q0E Siła zewnętrzna przesuwająca ładunek w polu E Elementarna praca dW wykonywana przez siłę elektryczną F przy przesunięciu ładunku na elemencie drogi dl wynosi: dW = F dl = q0E dl Praca sił pola elektrycznego na drodze pomiędzy A i B:

18. Zachowawczość sił pola elektrycznego Praca sił na drodze AB: Można wykazać, że pole elektrostatyczne jest polem potencjalnym, czyli że siły elektryczne są siłami zachowawczymi Wartość pracy WAB nie zależy od wyboru drogi między punktami A i B Zatem, praca sił elektrycznych na drodze zamkniętej jest równa zeru:

19. Napięcie i potencjał pola elektrycznego Napięciem elektrycznym UAB między punktami A i B nazywamy stosunek pracy wykonanej przy przesunięciu ładunku z punktu A i B do wielkości tego ładunku Potencjałem danego punktu A nazywamy napięcie między punktem A i punktem nieskończenie odległym Potencjał VA jest związany z pracą przesunięcia ładunku q0 od punktu A do nieskończoności Niezależność pracy od kształtu drogi umożliwia jednoznaczne określenie napięcia UAB

20. Rozważmy pracę WAB wykonaną na drodze od punktu A do a następnie od do punktu B Zależność pomiędzy napięciem i potencjałem Praca nie zależy od wyboru drogi – musi być spełnione: WAB = WAB  WAB = q0UAB Napięcie między dwoma punktami pola elektrycznego równa się różnicy potencjałów tych punktów

21. Potencjał pola elektrycznego Energia potencjalna Ep ładunku w polu elektrycznym jest równa pracy przesunięcia tego ładunku z danego punktu do nieskończoności Energia potencjalna układu dwóch ładunków punktowych q1 i q2: Ep>0 dla ładunków jednoimiennych Ep<0 dla ładunków różnoimiennych Potencjałem V(r) w danym punkcie pola wytwarzanego przez ładunek q1nazywamy stosunek energii potencjalnej ładunku umieszczonego w tym punkcie do wartości ładunku (q2) Graficznie pole można przedstawić za pomocą powierzchni ekwipotencjalnych

22. Powierzchnia ekwipotencjalna Powierzchnia ekwipotencjalna – zbiór punktów, w których potencjał elektryczny jest jednakowy Wycinki czterech powierzchni ekwipotencjalnych Praca wykonana przy przesunięciu ładunku wzdłuż dróg I, II, I’ oraz II’: WI =WII=0, bo VA=VB=V1 oraz VA=VB=V3 WI’=WII’  0bo VA=V1; VB=V2 oraz VA=V1; VB =V2 Znajomość potencjału w dowolnym punkcie umożliwia obliczenie natężenia tego pola: dW = F dl = q0E dl /: q0 Znak minus jest związany z tym, że potencjał maleje w kierunku wektora E E = gradient potencjału V