Teor ema očekivane koristi

1. Teorema očekivane koristi Za svake dve opcije x i y i realan pozitivni broj a koji nije veći od 1: (1) u(x) >u(y) akko xy (2) u(x) = u(y) akko x ~ y (3) u( L(a, x, y) ) =au(x) + (1 - a)u(y) (4) Svaka u ' koja zadovoljava (l)-(3) je pozitivna linearna transformacija od u. Ova 4 iskaza koji opisuju funkciju korisnosti u predstavljaju teoremu očekivane koristi. Danas ćemo dokazati tu teoremu.

2. Teorema očekivane koristi Za svake dve opcije x i y i realan pozitivni broj a koji nije veći od 1: (1) u(x) >u(y) akko xy (2) u(x) = u(y) akko x ~ y (3) u( L(a, x, y) ) =au(x) + (1 - a)u(y) (4) Svaka u ' koja zadovoljava (l)-(3) je pozitivna linearna transformacija od u. Ova 4 iskaza koji opisuju funkciju korisnosti u predstavljaju teoremu očekivane koristi. Danas ćemo dokazati tu teoremu. Uslovi (1) i (2) zahtevaju da je u barem ordinalna funkcija korisnosti, (tj. za u moraju da važe uslovi koje ćemo iskazati aksiomama O1 – O8).

3. Teorema očekivane koristi Za svake dve opcije x i y i realan pozitivni broj a koji nije veći od 1: (1) u(x) >u(y) akko xy (2) u(x) = u(y) akko x ~ y (3) u( L(a, x, y) ) =au(x) + (1 - a)u(y) (4) Svaka u ' koja zadovoljava (l)-(3) je pozitivna linearna transformacija od u. Ova 4 iskaza koji opisuju funkciju korisnosti u predstavljaju teoremu očekivane koristi. Danas ćemo dokazati tu teoremu. Uslovi (1) i (2) zahtevaju da je u barem ordinalna funkcija korisnosti, (tj. za u moraju da važe uslovi koje ćemo iskazati aksiomama O1 – O8). (3) kaže da je korist lutrije jednaka njenoj očekivanoj koristi.

4. Teorema očekivane koristi Za svake dve opcije x i y i realan pozitivni broj a koji nije veći od 1: (1) u(x) >u(y) akko xy (2) u(x) = u(y) akko x ~ y (3) u( L(a, x, y) ) =au(x) + (1 - a)u(y) (4) Svaka u ' koja zadovoljava (l)-(3) je pozitivna linearna transformacija od u. Ova 4 iskaza koji opisuju funkciju korisnosti u predstavljaju teoremu očekivane koristi. Danas ćemo dokazati tu teoremu. Uslovi (1) i (2) zahtevaju da je u barem ordinalna funkcija korisnosti, (tj. za u moraju da važe uslovi koje ćemo iskazati aksiomama O1 – O8). (3) kaže da je korist lutrije jednaka njenoj očekivanoj koristi. Dodavanjem 3. i 4. uslova na prva dva osigurava se da funkcja u izražava kardinalne vrednosti.

5. Teorema očekivane koristi Prelaskom na kardinalne vrednosti postavljaju se strožiji uslovi racionalnosti:

6. Teorema očekivane koristi Prelaskom na kardinalne vrednosti postavljaju se strožiji uslovi racionalnosti: Donosioc odluke ne samo da mora (kao i kod orinalnih vrednosti) da bude u stanju da rangira po svojoj preferenciji ishode ili opcije relevantne za njegov izbor, već mora da bude u stanju da rangira i lutrije koje uključuju te opcije, i lutrije koje uključuju prvobitne lutrije, itd

7. Teorema očekivane koristi Prelaskom na kardinalne vrednosti postavljaju se strožiji uslovi racionalnosti: Donosioc odluke ne samo da mora (kao i kod orinalnih vrednosti) da bude u stanju da rangira po svojoj preferenciji ishode ili opcije relevantne za njegov izbor, već mora da bude u stanju da rangira i lutrije koje uključuju te opcije, i lutrije koje uključuju prvobitne lutrije, itd Zatim, donosioc odluke mora da procenjuje složene lutrije u skladu sa računom verovatnoće (aksioma L4 o složenim lutrijama)

8. Teorema očekivane koristi Prelaskom na kardinalne vrednosti postavljaju se strožiji uslovi racionalnosti: Donosioc odluke ne samo da mora (kao i kod orinalnih vrednosti) da bude u stanju da rangira po svojoj preferenciji ishode ili opcije relevantne za njegov izbor, već mora da bude u stanju da rangira i lutrije koje uključuju te opcije, i lutrije koje uključuju prvobitne lutrije, itd Zatim, donosioc odluke mora da procenjuje složene lutrije u skladu sa računom verovatnoće (aksioma L4 o složenim lutrijama) Uvek kada su date tri opcije poređane realcijom stroge preferencije, donosilac odluke mora da bude indiferentan između srednje opcije i neke lutrije koja uključuje prvu i treću opciju (ax L1 o kontinuitetu)

9. Teorema očekivane koristi Prelaskom na kardinalne vrednosti postavljaju se strožiji uslovi racionalnosti: Donosioc odluke ne samo da mora (kao i kod orinalnih vrednosti) da bude u stanju da rangira po svojoj preferenciji ishode ili opcije relevantne za njegov izbor, već mora da bude u stanju da rangira i lutrije koje uključuju te opcije, i lutrije koje uključuju prvobitne lutrije, itd Zatim, donosioc odluke mora da procenjuje složene lutrije u skladu sa računom verovatnoće (aksioma L4 o složenim lutrijama) Uvek kada su date tri opcije poređane realcijom stroge preferencije, donosilac odluke mora da bude indiferentan između srednje opcije i neke lutrije koja uključuje prvu i treću opciju (ax L1 o kontinuitetu) Donosilac odluke će između dve lutrije uvek izabrati onu koja ima bolji ‘dobitak’, ukoliko su u ostalim stvarima lutrije identične (L2 – ‘bolji dobitak’)

10. Teorema očekivane koristi Prelaskom na kardinalne vrednosti postavljaju se strožiji uslovi racionalnosti: Donosioc odluke ne samo da mora (kao i kod orinalnih vrednosti) da bude u stanju da rangira po svojoj preferenciji ishode ili opcije relevantne za njegov izbor, već mora da bude u stanju da rangira i lutrije koje uključuju te opcije, i lutrije koje uključuju prvobitne lutrije, itd Zatim, donosioc odluke mora da procenjuje složene lutrije u skladu sa računom verovatnoće (aksioma L4 o složenim lutrijama) Uvek kada su date tri opcije poređane realcijom stroge preferencije, donosilac odluke mora da bude indiferentan između srednje opcije i neke lutrije koja uključuje prvu i treću opciju (ax L1 o kontinuitetu) Donosilac odluke će između dve lutrije uvek izabrati onu koja ima bolji ‘dobitak’, ukoliko su u ostalim stvarima lutrije identične (L2 – ‘bolji dobitak’) Ako su dve lutrije identične u svemu sem u verovatnoći dobitka, donisilac odluke bira onu sa boljim šansama za dobitak (L3 – ‘bolja šansa’)

11. Teorema očekivane koristi Prelaskom na kardinalne vrednosti postavljaju se strožiji uslovi racionalnosti: Donosioc odluke ne samo da mora (kao i kod orinalnih vrednosti) da bude u stanju da rangira po svojoj preferenciji ishode ili opcije relevantne za njegov izbor, već mora da bude u stanju da rangira i lutrije koje uključuju te opcije, i lutrije koje uključuju prvobitne lutrije, itd Zatim, donosioc odluke mora da procenjuje složene lutrije u skladu sa računom verovatnoće (aksioma L4 o složenim lutrijama) Uvek kada su date tri opcije poređane realcijom stroge preferencije, donosilac odluke mora da bude indiferentan između srednje opcije i neke lutrije koja uključuje prvu i treću opciju (ax L1 o kontinuitetu) Donosilac odluke će između dve lutrije uvek izabrati onu koja ima bolji ‘dobitak’, ukoliko su u ostalim stvarima lutrije identične (L2 – ‘bolji dobitak’) Ako su dve lutrije identične u svemu sem u verovatnoći dobitka, donisilac odluke bira onu sa boljim šansama za dobitak (L3 – ‘bolja šansa’) Ove uslove ćemo izraziti formalno i na osnovu njih dokazati teoremu

12. Teorema očekivane koristi Najpre nam je potrebna definicija lutrija

13. Teorema očekivane koristi Najpre nam je potrebna definicija lutrija Donosilac odluke bira između datih ishoda, opcija ili dobitaka. Nazovimo ih osnovnim dobicima.

14. Teorema očekivane koristi Najpre nam je potrebna definicija lutrija Donosilac odluke bira između datih ishoda, opcija ili dobitaka. Nazovimo ih osnovnim dobicima. Pretpostavimo još da:

15. Teorema očekivane koristi Najpre nam je potrebna definicija lutrija Donosilac odluke bira između datih ishoda, opcija ili dobitaka. Nazovimo ih osnovnim dobicima. Pretpostavimo još da: • je br osnovnih dobitaka konačan i veći od jedan

16. Teorema očekivane koristi Najpre nam je potrebna definicija lutrija Donosilac odluke bira između datih ishoda, opcija ili dobitaka. Nazovimo ih osnovnim dobicima. Pretpostavimo još da: • je br osnovnih dobitaka konačan i veći od jedan • donosilac odluke nije indiferentan između svih osnovnih dobitaka

17. Teorema očekivane koristi Najpre nam je potrebna definicija lutrija Donosilac odluke bira između datih ishoda, opcija ili dobitaka. Nazovimo ih osnovnim dobicima. Pretpostavimo još da: • je br osnovnih dobitaka konačan i veći od jedan • donosilac odluke nije indiferentan između svih osnovnih dobitaka • je donosilac odluke rangirao dobitke po svojim preferencijama

18. Teorema očekivane koristi Najpre nam je potrebna definicija lutrija Donosilac odluke bira između datih ishoda, opcija ili dobitaka. Nazovimo ih osnovnim dobicima. Pretpostavimo još da: • je br osnovnih dobitaka konačan i veći od jedan • donosilac odluke nije indiferentan između svih osnovnih dobitaka • je donosilac odluke rangirao dobitke po svojim preferencijama Obeležimo najBolje rangirane opcije sa ‘B’

19. Teorema očekivane koristi Najpre nam je potrebna definicija lutrija Donosilac odluke bira između datih ishoda, opcija ili dobitaka. Nazovimo ih osnovnim dobicima. Pretpostavimo još da: • je br osnovnih dobitaka konačan i veći od jedan • donosilac odluke nije indiferentan između svih osnovnih dobitaka • je donosilac odluke rangirao dobitke po svojim preferencijama Obeležimo najBolje rangirane opcije sa ‘B’ Obeležimo najGore rangirane opcije sa ‘G’

20. Teorema očekivane koristi Najpre nam je potrebna definicija lutrija Donosilac odluke bira između datih ishoda, opcija ili dobitaka. Nazovimo ih osnovnim dobicima. Pretpostavimo još da: • je br osnovnih dobitaka konačan i veći od jedan • donosilac odluke nije indiferentan između svih osnovnih dobitaka • je donosilac odluke rangirao dobitke po svojim preferencijama Obeležimo najBolje rangirane opcije sa ‘B’ Obeležimo najGore rangirane opcije sa ‘G’ Definicija lutrije:

21. Teorema očekivane koristi Najpre nam je potrebna definicija lutrija Donosilac odluke bira između datih ishoda, opcija ili dobitaka. Nazovimo ih osnovnim dobicima. Pretpostavimo još da: • je br osnovnih dobitaka konačan i veći od jedan • donosilac odluke nije indiferentan između svih osnovnih dobitaka • je donosilac odluke rangirao dobitke po svojim preferencijama Obeležimo najBolje rangirane opcije sa ‘B’ Obeležimo najGore rangirane opcije sa ‘G’ Definicija lutrije: • Svaki osnovni dobitak je lutrija

22. Teorema očekivane koristi Najpre nam je potrebna definicija lutrija Donosilac odluke bira između datih ishoda, opcija ili dobitaka. Nazovimo ih osnovnim dobicima. Pretpostavimo još da: • je br osnovnih dobitaka konačan i veći od jedan • donosilac odluke nije indiferentan između svih osnovnih dobitaka • je donosilac odluke rangirao dobitke po svojim preferencijama Obeležimo najBolje rangirane opcije sa ‘B’ Obeležimo najGore rangirane opcije sa ‘G’ Definicija lutrije: • Svaki osnovni dobitak je lutrija • Ako su L1 i L2 lutrije, onda je i L(a, L1, L2) lutrija, gde je 0  a  1

23. Teorema očekivane koristi Najpre nam je potrebna definicija lutrija Donosilac odluke bira između datih ishoda, opcija ili dobitaka. Nazovimo ih osnovnim dobicima. Pretpostavimo još da: • je br osnovnih dobitaka konačan i veći od jedan • donosilac odluke nije indiferentan između svih osnovnih dobitaka • je donosilac odluke rangirao dobitke po svojim preferencijama Obeležimo najBolje rangirane opcije sa ‘B’ Obeležimo najGore rangirane opcije sa ‘G’ Definicija lutrije: • Svaki osnovni dobitak je lutrija • Ako su L1 i L2 lutrije, onda je i L(a, L1, L2) lutrija, gde je 0  a  1 • Ništa drugo nije lutrija Npr. L(a, B, G) označava lutriju u kojoj imamo verovatnoću a da izvučemo B (jednu od najbolje rangiranih opcija) i verovatnoću 1-a da izvučemo G (jednu od najgore rangiranih opcija

24. Teorema očekivane koristi Pitanja:

25. Teorema očekivane koristi Pitanja: 1. Zašto ne možemo pretpostaviti da postoji jedinstvena najbolja opcija (samo jedan najbolje rangirani osnovni dobitak)?

26. Teorema očekivane koristi Pitanja: 1. Zašto ne možemo pretpostaviti da postoji jedinstvena najbolja opcija (samo jedan najbolje rangirani osnovni dobitak)? 2. Zašto smo pretpostavili da mora biti više od jednog osnovnog dobitka?

27. Teorema očekivane koristi Pitanja: 1. Zašto ne možemo pretpostaviti da postoji jedinstvena najbolja opcija (samo jedan najbolje rangirani osnovni dobitak)? 2. Zašto smo pretpostavili da mora biti više od jednog osnovnog dobitka? 3. Zašto smo pretpostavili da donosilac odluke nije indiferentan među svim osnovnim dobicima?

28. Teorema očekivane koristi Pitanja: 1. Zašto ne možemo pretpostaviti da postoji jedinstvena najbolja opcija (samo jedan najbolje rangirani osnovni dobitak)? 2. Zašto smo pretpostavili da mora biti više od jednog osnovnog dobitka? 3. Zašto smo pretpostavili da donosilac odluke nije indiferentan među svim osnovnim dobicima? 4. Kada pretpostavke 3 i 4 ne bi važile, da li bi teorema očekivane koristi bila netačna?

29. Teorema očekivane koristi Pitanja: 1. Zašto ne možemo pretpostaviti da postoji jedinstvena najbolja opcija (samo jedan najbolje rangirani osnovni dobitak)? 2. Zašto smo pretpostavili da mora biti više od jednog osnovnog dobitka? 3. Zašto smo pretpostavili da donosilac odluke nije indiferentan među svim osnovnim dobicima? 4. Kada pretpostavke 3 i 4 ne bi važile, da li bi teorema očekivane koristi bila netačna? 5. Koja je šansa za B u ovim lutrijama: L(1, B, G)

30. Teorema očekivane koristi Pitanja: 1. Zašto ne možemo pretpostaviti da postoji jedinstvena najbolja opcija (samo jedan najbolje rangirani osnovni dobitak)? 2. Zašto smo pretpostavili da mora biti više od jednog osnovnog dobitka? 3. Zašto smo pretpostavili da donosilac odluke nije indiferentan među svim osnovnim dobicima? 4. Kada pretpostavke 3 i 4 ne bi važile, da li bi teorema očekivane koristi bila netačna? 5. Koja je šansa za B u ovim lutrijama: L(1, B, G) L(½, L(1, G, B), L(½, B, G) )

31. Teorema očekivane koristi Pitanja: 1. Zašto ne možemo pretpostaviti da postoji jedinstvena najbolja opcija (samo jedan najbolje rangirani osnovni dobitak)? 2. Zašto smo pretpostavili da mora biti više od jednog osnovnog dobitka? 3. Zašto smo pretpostavili da donosilac odluke nije indiferentan među svim osnovnim dobicima? 4. Kada pretpostavke 3 i 4 ne bi važile, da li bi teorema očekivane koristi bila netačna? 5. Koja je šansa za B u ovim lutrijama: L(1, B, G) L(½, L(1, G, B), L(½, B, G) ) L(a, B, B)

32. Teorema očekivane koristi Pitanja: 1. Zašto ne možemo pretpostaviti da postoji jedinstvena najbolja opcija (samo jedan najbolje rangirani osnovni dobitak)? 2. Zašto smo pretpostavili da mora biti više od jednog osnovnog dobitka? 3. Zašto smo pretpostavili da donosilac odluke nije indiferentan među svim osnovnim dobicima? 4. Kada pretpostavke 3 i 4 ne bi važile, da li bi teorema očekivane koristi bila netačna? 5. Koja je šansa za B u ovim lutrijama: L(1, B, G) L(½, L(1, G, B), L(½, B, G) ) L(a, B, B) 6. Zašto treba biti indiferentan između L(a, B, G) i L(1-a, G, B)?

33. Teorema očekivane koristi Pitanja: 1. Zašto ne možemo pretpostaviti da postoji jedinstvena najbolja opcija (samo jedan najbolje rangirani osnovni dobitak)? 2. Zašto smo pretpostavili da mora biti više od jednog osnovnog dobitka? 3. Zašto smo pretpostavili da donosilac odluke nije indiferentan među svim osnovnim dobicima? 4. Kada pretpostavke 3 i 4 ne bi važile, da li bi teorema očekivane koristi bila netačna? 5. Koja je šansa za B u ovim lutrijama: L(1, B, G) L(½, L(1, G, B), L(½, B, G) ) L(a, B, B) 6. Zašto treba biti indiferentan između L(a, B, G) i L(1-a, G, B)? 7. Kako konstruisati lutriju (u skladu sa gornjom definicijom) koja je ekvivalentna lutriji sa tri dobitka, A, B, i C, ako je verovatnoća izvlačenja A 0,5, a za B i C po 0,25?

34. Teorema očekivane koristi Pošto smo definisali lutrije, nabrojaćemo uslove racionalnosti iz kojih ćemo dokazati teoremu očekivane koristi.

35. Teorema očekivane koristi Pošto smo definisali lutrije, nabrojaćemo uslove racionalnosti iz kojih ćemo dokazati teoremu očekivane koristi. Najpre aksiome za ordinalne vrednosti O1 xy (x  y  y  x) O2 x (x  x) O3 xyz ( x  y  y  z  x  z ) plus uobičajene definicije za  i ~.

36. Teorema očekivane koristi Pošto smo definisali lutrije, nabrojaćemo uslove racionalnosti iz kojih ćemo dokazati teoremu očekivane koristi. Najpre aksiome za ordinalne vrednosti O1 xy (x  y  y  x) O2 x (x  x) O3 xyz ( x  y  y  z  x  z ) plus uobičajene definicije za  i ~. Kontinuitet: L1xyz ( x  y  y  z a (y  L(a,x,z)) ) Zamenjivost (better prizes) L2xyza (x  y  L(a,x,z)  L(a,y,z) ) xyza (x  y  L(a,z,x)  L(a,z,y) ) Monotonost (better chances) L3xyab ( (ab)  (x  y  L(a,x,y)  L(b,x,y) ) Redukcija složenih lutrija L4xyabc ( L( a,L(b,x,y),L(c,x,y) )  L(d,x,y) ) d a × b + (1 – a) × c a, b, i c su brojevi iz intervala [0, 1]

37. Teorema očekivane koristi To su bile aksome teorije odlučivanja kako smo ih do sada navodili na časovima. U dokazu teoreme očekivane koristi koristićemo drugačiju, ali ekvivalentnu aksiomatizaciju, sa većim brojem aksioma, da bi dokaz bio jednostavniji

38. Teorema očekivane koristi To su bile aksome teorije odlučivanja kako smo ih do sada navodili na časovima. U dokazu teoreme očekivane koristi koristićemo drugačiju, ali ekvivalentnu aksiomatizaciju, sa većim brojem aksioma, da bi dokaz bio jednostavniji Umesto definicije  i ~ u metajeziku, ove relacije definisaćemo aksiomama, a  će biti definisana u metajeziku. Aksiome L1 − L4 izrazićemo jakom umesto slabom relacijom preferencije

39. Teorema očekivane koristi asimetrija O1 xy (x  y   y  x) O2 xy (x  y   y ~ x) O3xy (x ~ y (y  x x  y) ) povezanost O4xy (x  y  y  x x~y) tranzitivnost O5xyz ( x  y  y  z  x  z ) O6xyz ( x  y x~ z zy ) O7xyz ( x  y  y ~ z  x  z ) O8xyz ( x ~ y  y ~ z  x ~ z )

40. Teorema očekivane koristi Kontinuitet: L1xyz ( x  y  y  z a (y  L(a,x,z)) ) Zamenjivost (better prizes) L2xyza (x  y  L(a,x,z)  L(a,y,z) ) xyza (x  y  L(a,z,x)  L(a,z,y) ) Monotonost (better chances) L3xyab ( (x  y )  (ab  L(a,x,y)  L(b,x,y) ) Redukcija složenih lutrija L4xyabc ( d a × b + (1 – a) × c L( a,L(b,x,y),L(c,x,y) )  L(d,x,y) ) a, b, i c su brojevi iz intervala [0, 1]

41. Teorema očekivane koristi Dokaz ćemo izvesti iz dva dela. Prvi deo dokazuje postojanje funkcije u koja zadovoljava malopre nabrojane uslove racionalnosti.

42. Teorema očekivane koristi Dokaz ćemo izvesti iz dva dela. Prvi deo dokazuje postojanje funkcije u koja zadovoljava malopre nabrojane uslove racionalnosti. Drugi deo pokazuje da sem funkcije čije smo postojanje utvrdili u prvom delu i njenih linearnih transformacija nijedna druga funkcija ne zadovoljava uslove racionalnosti Nazovimo prvi deo dokazom postojanja, a drugi dokazom jedinstvenosti

43. Teorema očekivane koristiprvi deo dokaza - postojanje Prisetite da imamo bar dva osnovna dobitka B i G, da donosioc odluke ni jedan osnovni dobitak ne želi više od B, nijedan manje od G, i B  G.

44. Teorema očekivane koristiprvi deo dokaza - postojanje Prisetite da imamo bar dva osnovna dobitka B i G, da donosioc odluke ni jedan osnovni dobitak ne želi više od B, nijedan manje od G, i B  G. Kako se sve lutrije grade iz osnovnih dobitaka i vrednuju u skladu sa računom verovatnoće, ne postoji lutrija poželjnija od B niti manje pošeljna od G (uporedite pitanja 4-8 u prvom sledećem skupu pitanja)

45. Teorema očekivane koristiprvi deo dokaza - postojanje Prisetite da imamo bar dva osnovna dobitka B i G, da donosioc odluke ni jedan osnovni dobitak ne želi više od B, nijednju manje od G, i B  G. Kako se sve lutrije grade iz osnovnih dobitaka i vrednuju u skladu sa računom verovatnoće, ne postoji lutrija poželjnija od B niti manje pošeljna od G (uporedite pitanja 4-8 u prvom sledećem skupu pitanja) Uzimajući 1 za vrh skale korisnosti i 0 za dno, stipuliramo da: u(B) = 1  x (x~B  u(x) = 1) u(G) = 0  x (x~G  u(x) = 0)

46. Teorema očekivane koristiprvi deo dokaza - postojanje Prisetite da imamo bar dva osnovna dobitka B i G, da donosioc odluke ni jedan osnovni dobitak ne želi više od B, nijednju manje od G, i B  G. Kako se sve lutrije grade iz osnovnih dobitaka i vrednuju u skladu sa računom verovatnoće, ne postoji lutrija poželjnija od B niti manje pošeljna od G (uporedite pitanja 4-8 u prvom sledećem skupu pitanja) Uzimajući 1 za vrh skale korisnosti i 0 za dno, stipuliramo da: u(B) = 1  x (x~B  u(x) = 1) u(G) = 0  x (x~G  u(x) = 0) Pošto smo se pobrinuli za krajnosti, moramo definisati u za one u sredini. Neka je x lutrija takva da B  x  x  G

47. Teorema očekivane koristiprvi deo dokaza - postojanje Prisetite da imamo bar dva osnovna dobitka B i G, da donosioc odluke ni jedan osnovni dobitak ne želi više od B, nijednju manje od G, i B  G. Kako se sve lutrije grade iz osnovnih dobitaka i vrednuju u skladu sa računom verovatnoće, ne postoji lutrija poželjnija od B niti manje pošeljna od G (uporedite pitanja 4-8 u prvom sledećem skupu pitanja) Uzimajući 1 za vrh skale korisnosti i 0 za dno, stipuliramo da: u(B) = 1  x (x~B  u(x) = 1) u(G) = 0  x (x~G  u(x) = 0) Pošto smo se pobrinuli za krajnosti, moramo definisati u za one u sredini. Neka je x lutrija takva da B  x  x  G Po aksiomi kontinuiteta mora postojati broj a, 0  a  1, takav da x ~ L(a, B, G)

48. Teorema očekivane koristiprvi deo dokaza - postojanje Prisetite da imamo bar dva osnovna dobitka B i G, da donosioc odluke ni jedan osnovni dobitak ne želi više od B, nijednju manje od G, i B  G. Kako se sve lutrije grade iz osnovnih dobitaka i vrednuju u skladu sa računom verovatnoće, ne postoji lutrija poželjnija od B niti manje pošeljna od G (uporedite pitanja 4-8 u prvom sledećem skupu pitanja) Uzimajući 1 za vrh skale korisnosti i 0 za dno, stipuliramo da: u(B) = 1  x (x~B  u(x) = 1) u(G) = 0  x (x~G  u(x) = 0) Pošto smo se pobrinuli za krajnosti, moramo definisati u za one u sredini. Neka je x lutrija takva da B  x  x  G Po aksiomi kontinuiteta mora postojati broj a, 0  a  1, takav da x ~ L(a, B, G) Ako je a jedinstven, onda smemo da stipuliramo da je u(x) = a. Dokažimo da jeste jedinstven.

49. Teorema očekivane koristiprvi deo dokaza - postojanje Neka ba i x ~ L(b, B, G) Ako je b  a, onda po ax L2 (bolje šanse): L(b, B, G)  L(a, B, G)

50. Teorema očekivane koristiprvi deo dokaza - postojanje Neka ba i x ~ L(b, B, G) Ako je b  a, onda po ax L2 (bolje šanse): L(b, B, G)  L(a, B, G) ali ovo je protivurečno jer su obe lutrije indiferentne sa x. Dakle, b = a.