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Approximation de Pi par la méthode de Monte Carlo

Approximation de Pi par la méthode de Monte Carlo. Idée générale On place des points au hasard dans un domaine d’aire connu. Lorsque le nombre de points placés tend vers l’infini, la proportion des points « tombés » dans un sous domaine permet d’obtenir son aire.

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Approximation de Pi par la méthode de Monte Carlo

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Presentation Transcript

  1. Approximation de Pi par la méthode de Monte Carlo • Idée générale On place des points au hasard dans un domaine d’aire connu. Lorsque le nombre de points placés tend vers l’infini, la proportion des points « tombés » dans un sous domaine permet d’obtenir son aire.

  2. En pratique, il faut cependant pouvoir • Placer des points aléatoirement dans le domaine • Compter ceux ayant atterri sur le sous domaine grâce à une formule.

  3. Situation étudiée: • Dans le repère orthonormal (O;I;J) l’aire du carré OIKJ vaut 1. • On va utiliser la méthode de MC pour approcher l’aire du quart de disque c’est-à-dire de Pi/4.

  4. Algorithme en langage naturelVARIABLEdisque: compte le nombre de points situés à l’intérieur du quart de disquen: nombre de points placés aléatoirementx :abscisse d’un point au hasard dans le carréy :ordonnée d’un point au hasard dans le carréTRAITEMENTPour i de 1 à nx prend une valeur aléatoire dans [0 ;1]y prend une valeur aléatoire dans [0 ;1] Si x²+y² <1 alors disque prend la valeur disque +1SORTIEAfficher (disque /n) • Algorithme en Scilab

  5. Visualisation des résultats avec Scilab

  6. Points forts/Points faibles de la méthode Points forts • 1. C’est beau ! • 2. C’est simple! • 3.Ca marche !

  7. Pourquoi ça marche ? • C’est la loi des grands nombres • On pose • On pose la fréquence observée de points situés dans le quart de disque. • Alors en plaçant n points aléatoirement, si n est assez grand, on a plus de 95% de chances que p soit compris dans

  8. Points forts/Points faibles de la méthode • Point faible • La méthode est très coûteuse en calcul à cause de la lenteur de la convergence: pour avoir n décimales, il faut placer 10^(2n) points ! Du coup ici, on ne voit pas beaucoup de décimales de Pi...mais on voit facilement 3,14

  9. Contenus mathématiques au programme • Repérer un point du plan • Calculer la distance entre deux points à partir de leurs coordonnées. • Réalisation d’une simulation. • Estimation d’une proportion à partir d’un échantillon.

  10. Prolongements et compléments • La méthode de Monte Carlo permet de calculer des intégrales donc des aires sous une courbe ou des volumes ou l’espérance d’une variable aléatoire

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