Aula 3 - Álgebra E Ellís Carvalho Luiz Afonso
Revisando Núcleo e Imagem... • Nu(T) = {v ∈ V / T(v) = 0} • Im(T) = {w ∈ W / w = T(v), para algum v ∈ V} • Teorema: dim Nu(T) + dimIm(T) = dim V.
Transformação Injetiva T(v) = T(u) -> v = u Uma transformação é injetiva se e somente se Nu(T) = {0}. T: ℛ³→ℛ² T(x, y, z) = (x + y, x + z)
Transformação Sobrejetiva w ∈ W -> ∃ v ∈ V / T(v) = w Uma transformação é sobrejetiva se e somente se Im(T) = W ou dimIm(T) = dim W, onde W é o contra-domínio da transformação.
Transformação Bijetiva • Uma transformação é bijetiva se ela for injetiva e sobrejetiva. • A isso, damos o nome de isomorfismo. • T é bijetiva -> dim V = dim W
Exercício A partir disso, verifique injetividade e sobrejetividade para T, S, SoT e ToS.
Inversa de uma transformação • Para uma transformação linear possuir inversa, ela deve ser bijetiva. • Logo, dim V = dim W.
Matriz de uma transformação • A matriz de uma transformação linear é uma forma de representar a transformação. • Seu uso se deve à facilidade que ela oferece, uma vez que a transformação “T(v) = u” pode ser feita pela multiplicação de matrizes: • [T]βα x [v]β = [u]α. • Onde [v]β é a representação do vetor ‘v’ na base β, [u]α o vetor ‘u’ na base α e [T]βα a matriz da transformação T de β para α.
Matriz de uma transformação α = { u1, u2, ... , um } β = { v1, v2, ... vn } u = x1.u1 + x2.u2 + ... + xm.um v = y1.v1 + y2.v2 + ... + yn.vn
Matriz de uma transformação • Como achar [T]βα? • Observe que quando v = v1 • E para esse v1, temos
Matriz de uma transformação • Como pode ter surgido T(v1) ? x1 = 1.a11 + 0.a12 + ... + 0.a1n x2 = 1.a21 + 0.a22 + ... + 0.a2n ...
Matriz de uma transformação • Dessa forma temos: • a11 = x1 • a12 = x2 • ... • a1m = xm • Analogamente podemos fazer isso com os vetores v2, v3 ... e vn
Matriz de uma transformação • E chegamos a seguinte matriz da transformação:
Matriz de uma transformação • Uma forma rápida de encontrar uma T qualquer nas bases canônicas: α = { (1,0,...,0), (0,1,...,0) , ... , (0,0,...,1) } ou {1,t,..,tm} ou etc... • Obs.: dim(α) pode ser diferente de dim(β) • Atenção: Nem todos os espaços podem ser escritos na forma canônica. Exemplo: Se o domínio de T fosse o plano x+y+z=0 do R3, esse método não poderia ser aplicado.
Matriz de uma transformação • Lembremos de 2 propriedades das transformações lineares: • λ . T(v) = T(λ.v) • T(v) + T(u) = T(v+u)
Matriz de uma transformação • Se temos: • T(x1,y1,...,z1) = (a1,b1,...,c1) • T(x2,y2,...,z2) = (a2,b2,...,c2) • T(x3,y3,...,z3) = (a3,b3,...,c3) • Atenção: (x1,y1,...,z1), (x2,y2,...,z2), (x3,y3,...,z3) ... Devem formar um gerador do domínio. Senão a transformação não será definida.
Matriz de uma transformação • Podemos fazer uma combinação linear das transformações a fim de obter: • T(1,0,..,0), T(0,1,..,0),... e T(0,0,..,1) • A maneira mais prática de fazer isso é colocar os vetores v e u “emparelhados” em uma matriz e deixá-la na forma escada:
Matriz de uma transformação • Observe que agora temos a matriz: • Então basta transpô-la e obtemos a matriz de transformação:
Matriz de uma transformação • Ainda de: • Que representa na verdade: • T(1,0,...0) = (r1, s1, ..., t1) • T(0,1,...0) = (r2, s2, ..., t2) • ... • Podemos fazer: • x.T(1,0,...0) = x.(r1, s1, ..., t1) • y.T(0,1,...0) = y.(r2, s2, ..., t2) • ... • E somar: • T(x,y,...,z) = (x.r1 + y.r2 + ..., x.s1 + y.s2, ..., ... )
Matriz de uma transformação • E dessa forma, podemos escrever facilmente a matriz de transformação linear nas bases canônicas a parti de sua representação de costume: • Ex: T(x,y,z) = (x + y – z, y, -x+2z)
Matriz de uma transformação • Questões: 3 Qual a matriz de transformação T na bases canônicas?
Matriz de uma transformação • Nu(T) = v | T(v) = 0 • Nu(T) = { (1,-3,0,0), (0,0,0,1) }
Matriz de uma transformação • u = T.v • T-1.u = T-1.T.v • v = T-1.u • Inverte-se T: T-1(x,y,z) = (x-½y+ ½ z,x- ½ y- ½ z,-x+y)
Matriz de uma transformação • S( a0+a1t+a2t² ) = ( a1+a2, a0+2a1+4a2 ) • α e β são as bases canônicas do P2 e R².
Matriz de uma TL composta • Exemplo:
Matriz de uma TL composta • Im( SoT ) = { (3,0,1,0), (1,-1,0,1),(4,-1,1,1), (1,-4,-1,4) } = { (3,0,1,0), (0,3,1,-3) } • Im( ToS ) = { (4,2,0), (0,3,0), (-4,4,0) } = • { (1,0,0), (0,1,0) }
Exercício
Algumas “teóricas”: Falso: contra-exemplo: T(x,y) = (x,y,0) S(x,y,z) = (y,z) SoT(x,y) = (y,0) (claramente não-isomorfismo) Falso: contra-exemplo: T(a,b,c,d,e,f,g) = (a,b,c,d,e,f) S(a,b,c,d,e,f) = (a,b,c,d,e,f,0) SoT(a,b,c,d,e,f,g) = (a,b,c,d,e,f,0) Se a transformação tem uma inversa, essa inversa tem uma inversa também que é a própria transformação. Como uma transformação tem inversa se e somente se for um isomorfismo, a inversa dessa transformação é isomorfismo.
