Tangentes y Áreas

1. Tangentes y Áreas Cálculo IV Prof. Antonio Syers

2. Tangentes Nuestro interés ahora, es encontrar la recta tangente y el área para curvas paramétrizadas en el plano. Supongamos que tenemos una curva C que se puede parametrizar por: y que además, eliminando el parámetro t, podemos escribir como y = F(x). Entonces, sustituyendo la paramétrización en la última ecuación tenemos: g(t) = F(f(t))

3. Tangentes... y si f , F y g son diferenciables con respecto a t, tenemos que: Luego, si f´(t)  0, se tiene que Esto es,

4. Tangentes... De la ecuación anterior, se puede observar que la curva tiene tangente horizontal cuando dy/dt  0, siempre que dx/dt  0, y tiene una tangente vertical si dx/dt  0, siempre que dy/dt  0. Por otra parte, sabemos que la segunda derivada se obtiene de derivar la primera derivada, esto es:

5. Tangentes... Ejemplo Una curva C está definida por las ecuaciones paramétricas a) Mostrar que C tiene dos tangentes en el punto (3,0) b) Encuentre los puntos de C donde la tangente es horizontal y donde sea vertical c) Determine la concavidad de la curva.

6. Tangentes... Solución. a) Observe que el punto de la curva es el (3,0), esto indica que la curva se corta a ella misma en el punto (3,0). Luego, La pendiente de las rectas tangente cuando es

7. Tangentes... c) Para calcular la concavidad, calculemos entonces es cóncava hacia arriba si t > 0, y cóncava hacia abajo si t < 0.

8. Área Sabemos que el área bajo la curva y = f(x) desde a hasta b, está dada por: Luego, si la curva está dada por las ecuaciones paramétricas Con   t   , entonces el área está dada por:

9. área... Ejemplo Encontrar el área bajo uno de los ciclos de Solución.