TEST d’ADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE

TEST d’ADEQUATIONA UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect :est-il bien équilibré ?

1. Expérimentation On lance le dé un certain nombre de fois… 200 fois • On note les résultats obtenus : 29/10/2014 2

Remarques On sait que le modèle théorique associé à un dé équilibré est la loi d’équirépartition où la probabilité de chaque événement élémentaire est 1/6  0,17 Sur un échantillon, on observe évidemment toujours un petit écart entre les fréquences obtenues et ce modèle. • Expérimentation

2. Définir un critère qui permet de décider si le dé est pipé ou non • On mesure l’écart entre la distribution des fréquences observées et la loi de probabilité :d ² = ( f1– 1/6)² + ( f2– 1/6)² + ( f3 – 1/6)² + ( f4 – 1/6)² + (f5 – 1/6)² + ( f6 – 1/6)². Dans notre exemple, d ²obs 0,005 68. • Expérimentation • Définir un critère

« Astuce pratique » : On calcule d ² ou nd ² (avec n le nombre de lancers)ou 1 000d ² pour obtenir une valeur « lisible » : on note 1 000 d ²obs la valeur calculée. Dans notre expérience, on a 1 000 d ²obs 5,68. • Expérimentation • Définir un critère

Remarques Si les valeurs observées sont éloignées des valeurs théoriques, d²obssera « grand » et, s’il est « trop grand » on considérera qu’il n’y a pas adéquation entre les données et la loi équirépartie : l’expérience permettra alors de rejeter l’hypothèse que le dé est équilibré. • Expérimentation • Définir un critère

Question : A partir de quelle valeur dira-t-on qued ²obsest trop grand pour que l’on puisseimputer cet écart à une fluctuationd’échantillonnage ordinaire ? Simulation.xls Il s’agit de déterminer un seuil tel que : ØSi on observe que ce seuil est dépassé par le d²obs, on décidera de rejeter l’hypothèse que le dé est équilibré. ØSinon, on ne pourra pas rejeter l’hypothèse que le dé est équilibré. • Expérimentation • Définir un critère

Déterminer le seuil : une méthode expérimentale SIMULATION RANDOM ALEA() ???? • Expérimentation • Définir un critère

Concrètement, simulons… Avec un dé bien équilibré,on fait une simulation de 200 lancers,pour obtenir une valeur « normale » du d². En recommençant N fois (N > 100) cette simulation, on obtient un échantillon de N valeurs de d² (plus N est grand, plus l’échantillon est fiable). On détermine alors le 9ème décile ( D9 ) de la série des N valeurs (seules 10% des simulations ont donné une valeur supérieure). simuler de2.xls • Expérimentation • Définir un critère

Résultats de la simulation • On a simulé au moins 100 séries de 200 lancers avec un dé bien équilibré. • Pour chaque série, on a noté la valeur du 1 000d² . • On a donc une liste d’au moins 100 valeurs de 1 000d² obtenues avec un dé équilibré. • Expérimentation • Définir un critère

Dans cet échantillon de valeurs de 1 000 d ²,le 9ème décile est 8,105. Cela signifie que, dans cet échantillon fabriqué avec un dé équilibré,seulement 10 % des valeurs sont supérieures à 8,105 et90 % des valeurs sont inférieures à 8,105. On décide de prendre comme seuil de décision cette valeur 8,105. • Expérimentation • Définir un critère

3. Utiliser le critère pour conclure • Dans l’expérience réalisée avec notre dé suspect,on avait trouvé 1 000 d ²obs 5,68. • CONCLUSION DU TEST:Comme 5,68 < 8,105, on ne peut pas rejeter l’hypothèse que ce dé est équilibré. • Expérimentation • Définir un critère • Conclusion

4. En pratique : que retenir ? Pour tester si on a une situation d’équirépartition: On fait une expérience de n répétitions et on note les résultats. On calcule d²0BS (somme des carrés des distances entre les observations et le modèle théorique) ou nd²OBS ou 1000d²OBS. On compare au critère fourni par une simulation (9ème décile). On conclut… en rejetant ou pas l’hypothèse d’équirépartition. • Expérimentation • Définir un critère • Conclusion • A retenir 29/10/2014 13

Limites de la méthode… • On ne prouve pas que le dé est équilibré (on se contente de tester une hypothèse). • Avec cette méthode, on risque de rejeter l’hypothèse que le dé est équilibré à tort dans 10 % des cas. • Pour diminuer ce risque d’erreur à5 %, il faudrait prendre le 95ème centile de la série des d². Mais alors, on augmente le seuil, et donc le risque d’accepter le dé, alors qu’il est pipé… simuler de2.xls • Expérimentation • Définir un critère • Conclusion • A retenir

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