Corporate Finance

Corporate Finance Kap 10 Risk and return

Usikkerhet • Vi har hittil budsjettert kontantstrømmer fram i tid som om de var kontraktsfestet og sikre. • Vanligvis hersker det usikkerhet både om kostnader, inntekter og varighet på prosjektet. • Denne usikkerheten (risiko) skal vi nå forsøke å ta hensyn til i våre analyser. • Vi må da lære oss noen nye begreper.

Beslutninger under usikkerhet • Beslutningsfatter (person eller gruppe) har ansvar for å ta endelig beslutning, dvs. valg av alternativ, enten på vegne av seg selv eller andre. • Beslutningsalternativer. Det må foreligge minst to mulige gjennomførbare alternativer. Beslutningsfatter må velge ut fra mengden av mulige alternativer. • Tilstander. En kombinasjon av ikke-kontrollerbare faktorer relevante for beslutningssituasjonen. Beslutningsfatter kan altså ikke påvirke hvilken tilstand som vil inntreffe, men vet hvilke tilstander som kan inntreffe. • Sannsynligheter. Objektive eller subjektive vurderinger av hvor sannsynlige de enkelte tilstandene er. Vurderingene kan endres ved ny informasjon. • Konsekvenser. Gitt et bestemt beslutningsalternativ og en bestemt tilstand, antas konsekvensene entydig bestemt. Alle konsekvenser er uttrykt i samme måleenhet, og kan dermed lett sammenlignes. • Preferanser. Det forutsettes at beslutningsfatter kan rangere de ulike konsekvensene, eventuelt angi at han er indifferent mellom par av konsekvenser. • Kriterier. Et kriterium tilordner en numerisk verdi til et beslutningsalternativ, ut fra de mulige konsekvenser beslutningsalternativet kan medføre, og eventuelt ut fra sannsynligheter for disse konsekvensene.

Konsekvenser Konsekvensen for alternativ 1 ved tilstand j for periode 0.

Usikkerhetsdimensjonen • Vi har tidligere forutsatt sikkerhet, dvs. bare én mulig tilstand. • Konsekvensene for et alternativ har vært kontantstrømmen på de ulike tidspunkt. • Denne vektoren av tall har vi gjort om til ett tall, ved bruk av nåverdi som beslutningskriterium. • Ved usikkerhet tilføres en ny dimensjon, de ulike mulige tilstandene. • For hvert alternativ får vi istedenfor en vektor av tall nå en hel matrise: hver mulig tilstand har sin unike kontantstrøm. • Hvordan kan vi gjøre om en to-dimensjonal matrise av tall til kun ett tall? (Dvs. ett tall for hvert alternativ.) • En metode er å redusere usikkerhetsdimensjonen til forventningsverdien – de ulike tilstandene erstattes med forventet verdi. • Da kan vi bruke nåverdiberegninger for å gjøre om forventet kontantstrøm til ett tall. Så rangerer vi alternativene basert på nåverdiene. • Men hvilken rente skal vi nå bruke i nåverdiberegningene? • Vi bruker risikofri rente hvis vi i tillegg beregner andre mål for risiko. • Vi bruker risikojustert rente hvis vi ikke tar ytterligere hensyn til risiko. • Hvordan beregner vi i så fall risikojustert rente?

Tar eksplisitt hensyn til risiko • På samme måte som vi kan bruke nyttefunksjoner til å beregne en tidspreferanserate, dvs. avveiing mellom konsum i ulike tidsperioder, kan vi bruke nyttefunksjoner til å beregne avveiing mellom ulike usikre konsekvenser. • Vi kan for eksempel erstatte flere usikre utfall med en sikkerhetsekvivalent verdi. • Alternativt kan vi beregne forventet verdi og i tillegg et mål på risiko, som standardavvik. • Om vi tar eksplisitt hensyn til risiko, skal vi bruke risikofri rente i nåverdiberegningene.

Forventning og varians I dette eksemplet er det to mulig tilstander, i hver periode. Vi har følgende muligheter: s1 t=0 t=1 p1 Uavhengighet over tid. Hvilken tilstand som vil inntreffe på et tidspunkt er uavhengig av hvilken tilstand som inntraff forrige periode. s1 p2 s2 p1 p2 s1 s2 p1 p2 s2 Avhengighet over tid. Tilstanden som inntreffer neste periode avhenger av tilstanden denne periode. t=1 t=0 s1 s1 p1 p2 s2 s2

Uavhengighet over tid t=1 t=0 121 0,5 -100 0,5 66 0,5 Forventet nåverdi kan beregnes på to alternative måter. (har brukt 10% rente). Det spiller ingen rolle om det er avhengighet eller uavhengighet over tid. Beregne forventet kontantstrøm.Så neddiskontere denne for å beregne forventet nåverdi. 0,5 121 0,5 -50 0,5 66 Beregne nåverdien i hver tilstand.Så beregne forventningen til nåverdiene.

Forventet nåverdi Forventet nåverdi kan beregnes på to alternative måter. Nåverdiene i hver tilstand beregnes (leddet i hakeparentes). Disse veies med sannsynlighetene i hver tilstand og summeres til forventet nåverdi. Forventet kontantstrøm i hver periode beregnes. Denne forventede kontantstrømmen neddiskonteres til forventet nåverdi.

Varians av nåverdien Variansen av nåverdien beregnes som følger: Generelt gjelder at standardavviket er lik kvadratroten av variansen. En kan alternativt beregne variansen til nåverdien slik: Hvis det er fullstendig uavhengighet over tid er kovariansen null, dvs. siste ledd faller bort i den alternative formuleringen.

Varians til kontantstrømmen Variansen til kontantstrømmen i periode t er lik den kvadrerte differansen mellom kontantstrømmen i tilstand j og forventet kontantstrøm i perioden, multiplisert med sannsynligheten for tilstand j, dette produktet er så summert for alle tilstandene i perioden. Forventet kontantstrøm i periode t er lik summen av produktene av sannsynlighetene og kontantstrømmene i hver tilstand i perioden. Variansen til kontantstrømmen kan også beregnes som den veide sum av kvadrerte kontantstrømmer minus kvadrert forventet kontantstrøm.

Varians nåverdi ved uavhengighet Hvis uavhengigheten over tid er total, kan en altså beregne variansen til nåverdien slik: Dvs. variansen av nåverdien er kun den neddiskonterte sum av variansen til kontantstrømmen, men hvor neddiskonteringen skjer «dobbelt». Hvis uavhengigheten over tid er total, kan en alternativt beregne variansen til nåverdien slik: Dvs. variansen til nåverdien beregnes som den veide sum av kvadrerte nåverdier, minus den kvadrerte forventede nåverdi.

Forventning og varians til nåverdien ved avhengighet over tid Beregner nåverdiene i hver tilstand: Hvis tilstand 1 inntreffer, så er kontantstrømmen (-100, 121), ellers (-50,66). Forventet nåverdi beregnes ved å veie nåverdiene i hver tilstand med sannsynlighetene, og så summere over alle tilstander. Beregne variansen til nåverdien ved å veie kvadrerte nåverdier i hver tilstand med sannsynlighetene, og så summere over alle tilstander. Trekk så fra kvadrert forventet nåverdi.

Forventning og varians til nåverdien ved uavhengighetover tid Forventet kontantstrøm i periode t: Forventet nåverdi er sum neddiskontert forventet kontantstrøm: Variansen til kontantstrømmen er den veide sum av kvadrerte kontantstrømmer minus kvadrert forventet kontantstrøm: Variansen til nåverdien hvis det er fullstendig uavhengighet over tid:

Forventning og varians til nåverdien ved uavhengighet over tid (alternativ) Beregner nåverdiene i hver tilstand: Forventet nåverdi beregnes ved å veie nåverdiene i hver tilstand med sannsynlighetene, og så summere over alle tilstander. Beregne variansen til nåverdien ved å veie kvadrerte nåverdier i hver tilstand med sannsynlighetene, og så summere over alle tilstander. Trekk så fra kvadrert forventet nåverdi.

Avveiing mellom forventning og risiko Vi trenger en nyttefunksjon som foretar avveining mellom forventet verdi og risiko for entydig å kunne angi om alternativ A foretrekkes framfor andre alternativer. Forventet verdi Foretrekker ikke A Alternativ A Indifferenskurven viser kombinasjoner av forventning og risiko som gir samme nytte. Ved risikoaversjon er kurven konveks. Foretrekker A. Større forventet verdi, mindre risiko. Uklart hva som foretrekkes Risiko, målt ved varians eller standardavvik Ved positiv nytte foretrekker vi mer framfor mindre, dvs. størst mulig forventet verdi. Ved risikoaversjon foretrekker vi mindre risiko framfor mer, dvs. minst mulig risiko.

Avveiing mellom forventning og risiko Preferanseretning. Høyere nyttenivå. Forventet verdi Indifferenskurven viser kombinasjoner av forventning og risiko som gir samme nytte. Ved risikoaversjon er kurven konveks. Ved risikonøytralitet er indifferenskurvene vannrette. I så fall ignoreres risiko, en vurderer bare forventet verdi. Risiko, målt ved varians eller standardavvik

Rangering basert på forventning og varians Forventet verdi Hvis vi bruker forventning og varians som beslutningskriterium (velger det med høyest forventning hvis samme risiko, eller det med lavest risiko hvis samme forventning), må en av to betingelser være oppfylt for at det skal gi samme beslutning som maksimering av forventet nytte: Bedre ? Alternativ A Dårligere ? Risiko, målt ved varians eller standardavvik Om sannsynligheter: Alle prosjektenes nåverdier er normalfordelt.(Uansett preferanser, dog risikoaversjon.) Om preferanser: Beslutningsfatter har en kvadratisk nyttefunksjon.Eks. U(x) = x – cx2, c > 0. (Uansett sannsynlighetsfordeling)

Nyttefunksjoner Nytten av en konsekvens (et utfall) X beregnes vha. nyttefunksjonen U(X). En kvadratisk nyttefunksjon har formen: Nytteverdi En nyttefunksjon med avtagende marginalnytte impliserer risikoaversjon En lineær nyttefunksjon impliserer risikonøytralitet En nyttefunksjon med stigende marginalnytte impliserer risikopreferanser Konsekvens Vi kan bruke nyttefunksjoner til å beregne sikkerhetsekvivalenter. Da kan vi gjøre om usikkerhetsdimensjonen til en sikker kontantstrøm, som vi neddiskonterer med risikofri rente. Dermed har vi gjort om en matrise til ett tall.

Sikkerhetsekvivalenter og nåverdi Bruk nyttefunksjonen: Forventet nytte E{U(xt)} i en periode er forventningen av nytten i hver tilstand i perioden: Nytten av sikkerhetsekvivalenten er lik forventet nytte E{U(xt)} Nåverdi sikkerhetsekvivalent: Neddiskontere sikkerhetsekvivalentene med risikofri rente:

Sikkerhetsekvivalent nåverdi • En framgangsmåte som vil lede til nyttemaksimering er altså å beregne sikkerhetsekvivalenten til et prosjekts kontantstrøm i hver periode, og så neddiskontere denne «sikre» kontantstrømmen med den risikofrie renten. • En kan så rangere alternativene etter disse sikkerhetsekvivalente nåverdiene. • Merk at skalaen på nyttenivået kan velges fritt, det betyr at en ikke automatisk kan anta at positive sikkerhetsekvivalente nåverdier indikerer lønnsomme prosjekter, eller at negative sikkerhetsekvivalente nåverdier indikerer ulønnsomme prosjekter. • Isteden kan en beregne nyttenivået av «nullalternativet», og bruke dette som referanse. • Alternativt kan en justere skalaen for nyttefunksjonen, slik at «nullalternativet» har nytten 0. Dermed vil en kunne bruke sikkerhetsekvivalente nåverdier på vanlig vis.

Risikojustert rente Den risikojusterte renten må være slik at neddiskontering av de fremtidige kontantstrømmer gir samme forventede nåverdi som sikkerhetsekvivalent nåverdi, for at vi fortsatt skal få samme beslutninger som ved nyttemaksimering. Da må følgende sammenheng gjelde:

Risikojustert rente La forholdet mellom sikkerhetsekvivalent og forventet verdi i periode t være at. Vi får da: Hvis rs>rf vil at synke med t. Dvs. risikoen antas å øke med tiden. Hvis den risikojusterte renten skal være konstant over tid, forutsettes det implisitt at risikoen utvikler seg etter et helt bestemt mønster over tid, et mønster som neppe er framtredende i praksis. En anbefalt framgangsmåte er derfor å la renten kun ta hånd om tidsaspektet. En justerer da for prisstigning ved å deflatere kontantstrømmen, og justering som følge av usikkerhet skjer ved enten å beregne sikkerhetsekvivalent kontantstrøm; eller beregne nåverdier av de forventede kontantstrømmene etter risikofri rente, og så foreta avveiinger av forventning mot risiko, målt for eksempel med varians.

Nyttemodeller • Vi forsøker å ta hensyn til aksjonærenes nytte. • Vi søker en positiv modell som beskriver menneskers faktiske nyttevurderinger. • Basert på de faktiske nyttevurderingene forsøker vi å bygge en normativ modell, som gir råd om hvordan beslutninger bør fattes. • Beslutningene fattes av bedriftene, på aksjonærenes vegne, helst på samme måte som aksjonærene selv ville ha gjort det.

Rasjonelle aktører • Beslutningsfatter kan foreta valg ved å rangere alternativene, basert på et spesifisert kriterium. • Rangeringene er transitive: Hvis A > B og B > C så er A > C. • Alternativene blir kun vurdert ut fra de konsekvensene som inngår i beslutningskriteriet. Andre forhold er uvesentlige. • Beslutningsfatter er i stand til for hvert usikkert alternativ å angi et sikkert beløp som gir samme nytte som det usikre alternativet.

Konstruksjon av nyttefunksjoner • Vi velger skala for nyttenivå mellom 0 og 1. • Laveste nyttenivå 0 tilordnes dårligste konsekvens (For eksempel -2000). • Høyeste nyttenivå 1 tilordnes beste konsekvens (For eksempel 5000). • Beslutningsfatter må så angi det maksimale beløpet han er villig til å betale for å delta i et lotteri der han vinner 5000 med sannsynlighet p og taper -2000 med sannsynlighet (1-p). • Dette beløpet tilsvarer lotteriets sikkerhetsekvivalent. • Ved å gjenta prosedyren for andre verdier av p, kan en utlede en detaljert nyttefunksjon.

Eksempel på nyttefunksjon For en gitt p må beslutningstaker angi sin sikkerhetsekvivalent til dette lotteriet. Hvis p = 0,8 må beslutningstaker angi det maksimale beløpet han er villig å betale for å kjøpe seg inn i lotteriet: Om beslutningstaker angir det maksimale beløpet til 2000, så har det beløpet en nytte på 0,8. Vi fortsetter så med andre verdier på p, og vil etter hvert kunne plotte en detaljert nyttefunksjon. Om beslutningstaker krever å få 500 når p = 0,4 vet vi for eksempel at -500 har nytten 0,4.

Eksempel på nyttefunksjon Alternativt kan vi be beslutningstaker angi laveste sannsynlighet p som gjør at han vil delta i lotteriet uten å betale innsats: Om beslutningstaker angir for eksempel p = 0,5 så har vi tre punkt på nyttefunksjonen: Tar vi så utgangspunkt i en kvadratisk nyttefunksjon, kan vi beregne de tre parameterne:

Plot nyttefunksjon

Forventet nytte • Ved forventet nytte tar vi hensyn til risiko. • Nyttefunksjonen U() over usikre utfall X må være slik at nytten til et alternativ a: E{U(a)}, er lik den forventede nytte av konsekvensene: • Sikkerhetsekvivalenten er den sikre verdien som gir samme nytte som nytten av det usikre alternativet:

Eksempel forventet nytte Tre alternativer (A, B og C), og to mulige tilstander (1, 2). Følgende konsekvenser: Alternativ B har størst forventet nytte (og størst sikkerhetsekvivalent), og bør velges.

SannsynlighetsfordelingerForventning og varians • Ved usikkerhet må vi egentlig sammenligne sannsynlighetsfordelingene til de enkelte alternativene. • En metode kalt stokastisk dominans gjør nettopp dette. • Vi skal nøye oss med å beskrive sannsynlighetsfordelingene med forventning og varians, eller standardavvik. • Om sannsynlighetsfordelingen er symmetrisk, så er faktisk fordelingen komplett beskrevet ved forventningen og variansen. • Om sannsynlighetsfordelingen er skjev, må en i tillegg benytte mål som angir skjevfordelingen.

Risiko En sannsynlighetsfordeling som er toppet og smal (mindre spredning) har mindre risiko, både positiv og negativ, i forhold til en sannsynlighetsfordeling som er flat og bred. Forventet verdi Negativ risiko Positiv risiko En investor ønsker selvsagt å unngå dårlige resultat, dvs. den negative risikoen. Men samtidig ønsker han å oppnå størst mulig resultat, dvs. han er på utkikk etter den positive risikoen.

Avkastning, forventning og risiko

Empirisk forventning og risiko • Om vi har historiske data, kan dette noen ganger benyttes for å estimere ukjente framtidige forventede verdier. • Vi har da ikke sannsynligheter, men relative hyppigheter. • Formelen for risiko mister en frihetsgrad etter å ha beregnet forventet verdi. Ofte brukes symbolet  for forventning, og symbolet  for standardavvik.

Empiriske data Her har vi årlig avkastning for de siste 8 år, for eksempel fra et børsnotert selskap. Dette kan i enkelte sammenhenger benyttes som indikasjon på fremtidige avkastninger. Gjennomsnittlig historisk avkastning (forventning) er da et estimat på forventet framtidig avkastning, og estimert historisk standardavvik blir et estimat på framtidig risiko. Merk: Varians har benevning «enhet i andre», mens standardavvik har samme benevning som forventningen.

Corporate Finance