KMT/FPV – Fyzika pro přírodní vědy

1. KMT/FPV – Fyzika pro přírodní vědy 3. přednáška, 12. 11. 2013 Jiří Kohout Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy, Fakulta pedagogická, Západočeská univerzita v Plzni

2. Obsah přednášky • Newtonovy pohybové zákony • Typy silových interakcí • Hybnost a zákon zachování hybnosti • Inerciální a neinerciální vztažné soustavy • Setrvačné síly

3. Newtonovy pohybové zákony 3 základní principy dynamiky (část mechaniky zabývající se příčinami pohybu, základní veličiny hmotnost a síla) Ačkoliv vypadají na první pohled jednoduše až nezajímavě, tvoří základ klasické mechaniky a umožňují řešit zásadní fyzikální úlohy! 1. NPZ – zákon setrvačnosti 2. NPZ – zákon síly 3. NPZ – zákon akce a reakce Sílu chápeme jako míru vzájemného působení (interakce) dvou těles. Je to vektorová veličina mající pohybové a deformační účinky (obecně mění polohu, ale i rozměry a tvar těles)

4. Zákon setrvačnosti Tělesa setrvává ve stavu klidu nebo rovnoměrného přímočarého pohybu, není-li vnějšími silami nuceno tento stav změnit Toto tvrzení vůbec není samozřejmé, dříve se věřilo, že na samotné udržení pohybu je třeba určitá síla (viz třeba zastavení kuličky hozené po podlaze po uražení určité dráhy…)! Galilei: Za zastavení kuličky může třecí síla, tu můžeme libovolně zmenšovat (viz různé dráhy kuličky na různých materiálech podlahy), pokud ji dokážeme zcela potlačit, kulička se bude pohybovat pořád stejně a urazí nekonečnou dráhu → pokud bude výsledná síla nulová, pohybový stav tělesa se nemění Hmotnost chápeme jako míru setrvačnosti tělesa (čím větší hmotnost, tím větší síla potřebná na danou změnu pohybového stavu, např. na zastavení…)

5. Těleso, na něž působí síla, se pohybuje se zrychlením, jež je přímo úměrné působící síle F a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa m. Matematická formulace 1. a 2. NPZ (první mluví o situaci, kdy síla nepůsobí, 2. o situaci, kdy ano): F = m*a = m*d2r/dt2 (viz minulá přednáška) = dp/dt (viz zavedení veličiny hybnost dále) Pozor, pouze třetí z uvedených vztahů platí zcela obecně, první dva se dají užít pouze v okamžiku, kdy se hmotnost tělesa nemění (to neplatí třeba u rakety vypouštějící palivo apod.)!! Zákon síly

6. a) síly skutečnéb)síly setrvačné (zdánlivé) – jen v neinerciálních soustavách (viz dále) Ad a) Dělí se na gravitační – univerzální interakce, zásadní význam pro velké vzdálenosti objektů (F ~m*M/r2) elektromagnetické – jen mezi nabitými tělesy (F ~q*Q/r2) silné (jaderné) – extrémně silné, ale jen na velmi krátké vzdálenosti, drží pohromadě atomové jádro slabé – projevují se u elementárních částic Elektromagnetické + slabé = teorie elektroslabé interakce (Glashow, Salam, Weinberg, Nobelova cena 1979) Typy silových interakcí

7. Moderní fyzika se snaží vysvětlit všechny typy interakcí z jednoho úhlu pohledu – tzv. Teorie všeho (cíl teorie strun apod.) Typ interakce dosah [m] relativní síla gravitační ∞ 10-38 elektromagnetická ∞ 10-2 silná 10-15 1 slabá 10-18 10-13 Typy silových interakcí 2

8. Zákon síly nám dává návod, jak sestavit tzv. pohybovou rovnici tělesa (zpravidla jde o složitou diferenciální rovnici, její řešení nám však dává závislost r(t), vzorce z minulé přednášky poté umožní spočítat v(t) a a(t) a tím plně popsat příslušný pohyb) Příklad: Kmitání pružiny v jednom rozměru – síla je do velikosti přímo úměrná výchylce y (tedy F = - k*y, kde k je tzv. tuhost pružiny, minus kvůli snaze vrátit do rovnovážné polohy). Polohu pružiny popisujeme jedinou souřadnicí y, po dosazení do pohybové rovnice máme: m*a = F → m*d2y/dt2 = - k*y → m*d2y/dt2+k*y = 0 Pohybová rovnice F y F = k*y

9. Pohybová rovnice 2 Jde o diferenciální rovnici druhého řádu, její řešení je matematicky náročné. Pokud jej však zvládneme, získáme závislost výchylky z rovnovážné polohy y na čase: y(t)= A*sin(ω*t + φ), kde ω = √k/m (úhlová frekvence kmitání) a konstanty A (maximální výchylka) a φ (fáze kmitání) jsou dány počátečním stavem. Následně derivací získáváme časové závislosti rychlosti v(t) a zrychlení a(t) v(t) = dy/dt = d(A*sin(ω*t + φ))/dt =ω* A*cos(ω*t + φ) a(t) = dv/dt = d(ω*A*cos(ω*t + φ))/dt =-ω2* A*sin(ω*t + φ) = -ω2*y Závěr: „Jen“ pomocí 2.NPZ, ošklivé diferenciální rovnice a věcí z minulé přednášky jsme dokázali kompletně popsat kmitání pružiny pro případ, kdy síla je přímo úměrná výchylce…

10. Zákon akce a reakce Každá akce způsobuje vždy stejnou reakci opačného směru čili vzájemná působení těles jsou stejně veliká a opačného směru. Důležité je, že obě působí na jiná tělesa, proto se nemohou vyrušit Příklad: Jakou sílou F působí lano na těleso o hmotnosti M (soustava je v klidu)? Řešení: Na těleso m působí tíhová síla FG = m*g. Díky tomu, že je v rovnováze, musí působit stejně velkou sílou opačného směru na lano. Podle zákona akce a reakce pak působí lano stejnou silou na toto těleso a stejná síla tudíž musí působit i na těleso o hmotnost M! M F m FG F = FG !

11. Hybnost, zákon zachování hybnosti Hybnost – vektorová veličina daná součinem hmotnosti a rychlosti (p = m*v). Značení p, jednotka kg*(m*s-1) = kg*m*s-1 Zásadním důsledkem 2 a 3. NPZ je zákon zachování hybnosti (ZZH): V mechanicky izolované soustavě se celková hybnost zachovává Vzhledem k tomu, že hybnost je vektorová veličina, musíme i zákon zachování chápat vektorově! Význam ZZH uvidíme na konkrétních příkladech.

12. Zákon zachování hybnosti – příklad 1 Příklad 1: Na zamrzlém rybníku stojí vedle sebe dva bruslaři o hmotnostech m1 = 40 kg a m2 = 80 kg. Poté, co první z nich odstrčil druhého, získal druhý bruslař rychlost v2 = 2 m*s-1. Jaká je rychlost v1 prvního bruslaře po odstrčení? ŘEŠENÍ: Výsledná vnější síla působící na bruslaře je nulová (tíhová síla je kompenzována reakcí ledu). Jde tedy o mechanicky izolovanou soustavu. Před odstrčením byla celková hybnost nulová (oba byly v klidu). Po odstrčení musí být celková hybnost opět nulová (ZZH !). Toho lze docílit jedině tak, že se oba budou pohybovat proti sobě a velikosti hybností budou stejné! (vektory se pak odečtou). Platí tedy: p1 = p2→ m1*v1 = m2*v2→ v1 = (m2*v2)/m1 =(80*2)/40 = 4 m*s-1. Rychlost prvního bruslaře po odstrčení je tedy v1 = 4 m*s-1.

13. Zákon zachování hybnosti – příklad 2 Příklad 2 (princip balistického kyvadla): Do truhlíku od hmotnosti M = 3 kg, který je v klidu na závěsu dané délky, vletí náboj o hmotnost m = 30 g a rychlosti v = 300 m*s-1. Náboj v truhlíku uvízne. Určete rychlost vc, se kterou se soustava začne pohybovat. ŘEŠENÍ: Opět jde o mechanicky izolovanou soustavu. Před nárazem byla celková hybnost dána hybností náboje(truhlík byl v klidu) a pro její velikost platilo p1 = m*v. Po nárazu je hybnost dána součtem obou hmotností a výslednou rychlostí, platí pro ni tedy vztah p2 = (M+m)*vc. Podle ZZH musí být hybnost před a po nárazu shodná (směr je shodný, stačí uvažovat velikosti). Proto platí: p1 = p2 → m*v = (M+m)*vc→ vc = m*v / (M+m) = 0,03*300/(3+0,03) ≈ 1 m*s-1. Výsledná rychlost jevc ≈ 1 m*s-1

14. Inerciální a neinerciální vztažné soustavy Podle 2. NPZ souvisí zrychlení bezprostředně se silou (platí F = m*a). Pokud se tudíž nějaká soustava pohybuje zrychleně, automaticky v ní působí síla, která je vyvolána pouze tímto zrychlením (nikoliv tedy přímým silovým působením jiného tělesa či fyzikálního pole, ale pouze vlastností soustavy!!) Takovým silám vyvolaným vlastností soustavy říkáme setrvačné (zdánlivé) síly a soustavám, v nichž tyto setrvačné síly působí, poté soustavy neinerciální. Naopak soustavy, u nichž se setrvačné síly neobjevují (protože se nepohybují zrychleně), poté říkáme soustavy inerciální. Pouze v těchto soustavách bez setrvačných sil platí Newtonovy zákony!! Vypadá to celkem jednoduše, ale…

15. Inerciální a neinerciální vztažné soustavy 2 Zádrhel je v tom, že pohyb je vždy relativní a pokud mluvíme o zrychleném pohybu nějaké soustavy, musíme říct, vůči jaké jiné soustavě tento pohyb bereme!! Třeba soustava spojená s automobilem jedoucím rovnoměrně po rovné silnici je vůči soustavě spojené se Zemí inerciální (žádné zrychlení), ale vůči soustavě spojené se Sluncem je již neinerciální (protože vůči ní se pohybuje přibližně po kružnici → objevuje se normálové zrychlení). Závěr: Žádná 100 % inerciální soustava neexistuje (protože to byl musel existovat absolutní pohyb a ten není). Pro určité konkrétní aplikace je však možné určitou významnou soustavu (jednoznačně nejčastěji soustavu spojenou se Zemí) pokládat za inerciální a (ne)inercialitu ostatních soustav posuzovat vůči ní!

16. Inerciální a neinerciální vztažné soustavy 3 Co tedy je a co není inerciální soustava?? Vůči soustavě spojené se Zemí je inerciální třeba: soustava spojená s touto učebnou (je v klidu), soustava spojená s rovnoměrně jedoucím autem (je v rovnoměrném přímočarém pohybu) či soustava spojená s rovnoměrně letícím letadlem Neinerciální je naopak vůči této soustavě soustava spojená se zrychlujícím autem, soustava spojená s rozjíždějícím se výtahem či soustava spojená s otáčejícím se řetízkovým kolotočem Při některých úvahách však musíme i soustavu spojenou se Zemí díky rotaci Země pokládat za neinerciální (např. zdůvodnení tzv. Coriolisovy síly –viz dále)

17. Galileův princip relativity Všechny inerciální soustavy jsou rovnocenné, zákony mechaniky v nich mají stejný tvar. Důsledek: Žádným mechanickým pokusem nelze rozlišit, zda je vagon v klidu či se pohybuje rovnoměrně přímočaře, všechny experimenty budou vycházet naprosto stejně! Galileův princip relativity (a s ním související Galileiho transformace) připouští neomezený růst rychlosti, jsou tedy ve sporu s teorií relativity → nutno nahradit Einsteinovým principem relativity (jemu odpovídají tzv. Lorentzovy transformace), jenž je jedním ze dvou základních principů speciální teorie relativity (druhým je tvrzení, že rychlost světla je ve vakuu ve všech soustavách stejná…)

18. Setrvačné síly V neinerciálních soustavách existují zdánlivé setrvačné síly, které jsou dány pouze vlastností soustavy, nikoliv přímým silovým působením. To však nemění nic na tom, že tyto síly mohou mít na člověka zásadní vliv a je třeba s nimi počítat. Rozlišujeme setrvačné síly v přímočaře zrychleně se pohybujících soustavách a v rotujících soustavách. a) Setrvačná síla - přímočarý zrychlený pohyb Působí vždy proti směru pohybu, její velikost je dána vztahem F = m*a (2.NPZ, a je zrychlení dané neinerciální soustavy vůči uvažované soustavě inerciální). Tato síla způsobuje, že při brzdění autase pohybujeme směrem dopředu, při rozjíždění naopak směrem dozadu!

19. Setrvačné síly 2 Příklad – nahoru se rozjíždějící výtah • Na těleso působí setrvačná síla v opačném směru, než je zrychlení výtahu. • Výsledná síla: F = FG + FS = m*a + m*g • Pokud si v takovém rozjíždějícím se výtahu stoupneme na váhu, ukáže nám vyšší hodnotu (protože měří sílu, kterou na ni tlačíme a ta se díky setrvačné síle zvětšila…)

20. Setrvačné síly 3 b) Setrvačné síly - otáčející se vztažné soustavy V otáčejících se vztažných soustavách se objevují hned tři další setrvačné síly: • Odstředivá síla • Coriolisova síla • Eulerova síla Ad i) Z minulé přednášky víme, že při pohybu po kružnici máme normálové zrychlení an = v2/r = ω2*r. Jemu odpovídá v souladu s 2. NPZ odstředivá síla, jejíž velikost je Fo = m*an = m*v2/r = m*ω2*r.

21. Setrvačné síly 4 Tato odstředivá síla působí vždy směrem od osy otáčení, uplatňuje se například při průjezdu auta zatáčkou či při otáčení se na centrifuze, kdy kompenzuje tíhovou sílu. Příklad: Jakou minimální úhlovou rychlostí se musí otáčet centrifuga o poloměru r = 10 m, aby z ní cestující v nejvyšším bodě trajektorie nevypadli? Řešení: Odstředivá síla Fo musí být alespoň stejně velká jako sílová tíhová FG (jejich směr je opačný). Platí: Fo=FG→ m*ω2*r = m*g → ω2=g/r → ω =√g/r =√10/10 = 1 rad*s-1.Frekvence rotace musí být tedy alespoň f = ω/2π = 1/2π Hz, perioda poté T= 1/f = 2π s = 6,28 s. Fo FG r Fo≥ FG

22. Setrvačné síly 5 ii) Coriolisova síla F = 2*m*[v ×ω], pro velikost F = 2*m*v*ω*sin φ, kde φ je úhel mezi ωa v. Uplatňuje se tedy v otáčejících se systémech u těles pohybujících se tak, že úhel mezi vektorem jejich rychlosti a vektorem úhlové rychlosti rotace soustavy je nenulový Díky vertikální složce Coriolisovy síly jsou tělesa pohybující se na východ odchylovány směrem nahoru, směrem na západ odchylovány směrem dolů (velikost síly je však poměrně malá) ω v φ

23. Setrvačné síly 6 Důsledky Coriolisovy síly: Význam pro rychlé pohyby hmotných těles (balistické rakety, letadla) nebo pro dlouho trvající pohyby (oceánské vzdušné proudy, pasáty – význam v meteorologii). Síla způsobuje výraznější vymílání pravých břehů řek tekoucích na severní polokouli z jihu na sever (sibiřské veletoky Ob, Jenisej, Lena), na jižní polokouli obráceně! iii) Eulerova síla – uplatní se pouze u zrychleného otáčivého pohybu soustavy, pokud je úhlové zrychlení konstantní, vymizí (F = -m*ε×r). Není příliš významná v praxi. ω v φ

24. Shrnutí hodiny • Rozumět všem 3 Newtonovým pohybovým zákonům a vědět, že jejich důsledkem je zákon zachování hybnosti • Umět aplikovat zákon zachování hybnosti v jednoduchých příkladech (viz slajdy 11 a 12) • Vědět, jaké typy silových interakcí existují a znát jejich základní vlastnosti (dosah, relativní síla) • Umět posoudit, která vztažná soustava je inerciální a která nikoliv vůči soustavě spojené se Zemí • Být schopen určit směr a velikost setrvačné síly v jednoduchých případech posuvného pohybu (rozjíždění/brzdění automobilu, zrychlený pohyb výtahu) • Vědět, jaké setrvačné síly působí v otáčejících se vztažných soustavách, být schopen říct, na čem a jak závisí velikost odstředivé síly • Příští přednáška – 19. 11. 2013 • Téma: Práce, výkon, energie • Děkuji vám za pozornost!!