Chapter 8 高度平衡二元搜尋樹

Chapter 8 高度平衡二元搜尋樹 8.1 何謂高度平衡二元搜尋樹 8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 8.3 高度平衡二元搜尋樹的刪除

8.1 何謂高度平衡二元搜尋樹 • 何謂高度平衡二元樹(height balanced binary tree)？ • 空樹(empty tree)是高度平衡二元樹 • 假使T不是空的二元樹，TL和TR分別是此二元樹的左子樹和右子樹，若符合下列二個條件，則稱T為高度平衡二元樹，也稱為AVL-Tree。 • TL和TR亦是高度平衡二元樹， • |hL-hR|≦1，其中hL及hR分別是TL和TR的高度； • hL-hR為平衡因子(balanced factor，BF)，在AVL-Tree中，每一節點的平衡因子為-1、0或1

8.1 何謂高度平衡二元搜尋樹 • 一棵二元樹的平衡因子

8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 • 高度平衡二元搜尋樹在加入或刪除後，可能會造成不平衡，此時可利用LL，RR，LR，RL 等四種不同的調整方式，使其符合AVL-tree 的定義。 • 1. LL：加入的新節點N 在節點p 的左邊的左邊。 • 2. RR：加入的新節點N 在節點p 的右邊的右邊。 • 3. LR：加入的新節點N 在節點p 的左邊的右邊。 • 4. RL：加入的新節點N 在節點p 的右邊的左邊。

8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 • LL型：加入新節點於節點s的左子樹之左子樹 2 0 50 50 40 加入30 調整 1 0 0 40 50 40 30 0 不是一棵AVL-tree 30

8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 例二： 1 2 50 50 40 0 0 0 1 0 0 加入20 調整 60 60 50 40 40 30 0 0 1 0 0 0 0 45 45 60 30 30 20 45 0 20

8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 • RR型：加入新節點於節點s的右子樹之右子樹 • 此RR型與LL型大同小異，如加入前的AVL-tree為： 0 0 -2 加入70 調整 60 50 50 0 0 0 -1 70 50 60 60 0 70 不是一棵AVL-tree

8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 例二： -1 -2 60 50 50 加入80 調整 0 0 0 0 0 -1 70 50 60 60 40 40 0 0 0 0 0 0 -1 80 40 55 70 70 55 55 0 80

8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 • LR型：加入新節點於節點s的左子樹之右子樹 2 50 45 50 加入45 調整 -1 40 40 50 40 0 45

8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 例二： 2 50 50 -1 0 加入42 60 40 60 40 0 1 30 35 30 35 0 42

8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 45 調整 50 40 60 30 42

8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 • RL型：加入新節點於節點s的右子樹之左子樹 -2 加入56 調整 56 50 50 1 60 60 60 60 0 56

8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 例二： -1 -2 加入52 56 調整 50 50 0 0 0 0 0 1 60 50 60 60 40 40 0 0 0 0 0 1 0 70 40 52 70 70 56 56 0 52

8.3 高度平衡二元搜尋樹的刪除 • 高度平衡二元搜尋樹的刪除方法與二元搜尋樹相同，當刪除的動作完成後，必需再計算平衡因子，並做適當的調整。

8.3 高度平衡二元搜尋樹的刪除 • 假設存在一棵AVL-tree如左下圖，若欲刪除50，因為它為一樹葉節點，故直接刪除之，成為右下圖，刪除後再進行調整 2 -1 調整加入50 30 20 30 0 0 1 20 50 10 30 20 0 0 0 10 25 10 25 25

8.3 高度平衡二元搜尋樹的刪除 • 從樹根尋找pivot點（遇到第一個BF值的絕對值大於1的節點） • 由pivot節點的BF值大於等於0時往左子樹、小於0則往右子樹找下一個節點，來決定調整的型態。

8.3 高度平衡二元搜尋樹的刪除 • 調整規則如下： • 當pivot.BF >= 0 • pivot.llink.BF >= 0 LL型 • pivot.llink.BF < 0 LR型 • 當pivot.BF < 0 • pivot.rlink.BF >= 0 RL型 • pivot.rlink.BF < 0 RR型

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