Ch 4: 선형모형과 행렬대수 (Linear Model and Matrix algebra)

Ch 4: 선형모형과 행렬대수(Linear Model and Matrix algebra) • 여러 방정식들을 간결하게 표현하기 위해서 행렬식을 이용함. • 행렬대수는 선형방정식에만 적용이 가능. • 경제 모형설정에 있어서 선형 방정식들이 많이 이용됨. (예) cobb-douglas 생산 함수 비선형이지만, 양 변에 로그를 취하면

행렬(matrix)과 벡터(vector) • 행렬이란 숫자나 변수, 계수 따위를 직사각형으로 배열한 것임. • 쉬운 예로 보면, 가로의 길이를 행(row), 세로의 길이를 렬(column)으로 부름. 즉, 행렬 A는 row=2, column=2. A는 2 by 2 matrix.

2 goods market의 예. [Note] 행렬은 정사각형일수도 있지만, 직사각형일 수 도 있음. 두 개의 상품이 있는 2개의 방정식을 쓰면, 이것을 행렬 형태로 쓰면

(계속) • A*P=d의 꼴이 됨. 여기서 A는 2 x 2 정방 행렬 (square matrix)인 반면, P와 d는 2 x 1 행렬이다. [note] A의 열(column)과 P의 행(row)가 같아야만 A*P의 계산이 가능하다. (나중에 추가 설명 나옴)

열 벡터, 행 벡터 특히나 열(column)이 하나인 행렬을 열 벡터 (column vector)라고 부름. 생긴 모양은 즉, A는 n by 1 column vector임. 반면에, 행이 하나인 행렬은 행 벡터 (row vector)라고 부름 A는 1 x n.

행렬 연산/ 스칼라 곱 행렬의 더하기와 빼기는 각 행렬들의 행과 열이 당근 같아야 된다. 스칼라(scalar)란 1 by 1 행렬, 즉 숫자다. 스칼라*행렬: 행렬의 각 원소에 스칼라를 그냥 곱해주면 됨.

행렬의 곱 • 행렬 A가 m by n이고 행렬 B가 p by q인 경우, 두 행렬이 곱해지려면 n=p이고 n=p일 때 두 행렬의 곱 AB 는 m by q가 됨 먼저 곱해지는가를 확인하고 계산하시오. (안 곱해지는데 억지로 풀려고 하면 열만 받는다) (예)

Example 1 (예) 수요와 공급함수가 다음과 같다. 위의 식을 X= 의 변수 순으로 놓고, 행렬 형태로 써 보시오. (일단 변수는 왼쪽, 상수는 오른쪽으로 놓으시오) A와 d는 어떤 모양일까? (A는 3 by 3 행렬, d는 3 by 1)

Example 2 (국민소득 모형) Consider (Q) Y, T, C의 변수 순으로 행렬식으로 만드시오. 즉, AX=d의 형태는? 그리고 AX를 계산해 보시오.

풀어보고 맞추어 보기. 3개의 방정식을 의 형태로 써 보면, A와 X는 곱셈이 가능하다. AX를 써보시오. 여기서 AX는 3 by 1이 됨을 실수하지 말 것.

전치 행렬(transpose of matrix) 행렬의 행과 열을 바꾸어주는 것임. A의 전치 행렬을 A’이라고 씀. (예 1) 전치 행렬은 (예 2) 열 벡터 A가 n by 1이면 AA’는 어떤 모양의 행렬이 될까? 또한 A’A는 어떤 모양의 행렬이 될까?

예제 (Q) u=(1 2)’와 v=(3 4)’이 주어졌다. (힌트) u와 v는 각각 2 x 1 열 벡터임. (1) uv’=? (2) u’v=? 위의 두 개는 답이 완전 딴 판이니 조심하시오. (이거 헷갈리면 안 됨) 아울러 uv는 곱해지지 않음.

선형 종속 (Linear Dependence) • 벡터들의 집합에서 어느 한 벡터가 나머지 벡터들의 선형 결합으로 쓸 수 있다면 이런 벡터 집합은 선형 종속된 것임. • 선형 결합이란? 벡터 z가 z= ax+by의 꼴이 되는 경우를 말하는 것임. 즉, 이러한 a와 b를 찾을 수 없다면 벡터들의 집합은 당근 선형 독립 되었다고 부른다. (예) 열 벡터들 a=(1 2)’ b=(3 5)’ c=(1 3)’은 선형 종속 관계인가요? c=4*a-b로 쓸 수 있으므로 선형 종속.

벡터와 관련한 용어들 소개 • 벡터 공간 (vector space):독립인 벡터들의 선형 결합에 의해 만들어지는 벡터들 전체. (예) 두 개의 재화 가격 x와 y는 2차원의 벡터 공간을 생성(span)한다.---2차원. 그리고 x와 y를 basis라고 부름. 두 개의 가격 벡터가 각각 양의 실수 집합 에 속하면, 이로부터 생성되는 2차원 공간은 가 된다. n 개의 가격으로 이루어진 공간은 따라서

벡터들간의 거리(거리를 잴 수 있다면) 거리를 다음과 같이 정의하자(유클리드 (Euclide) 거리) (ex) Let vectors a and b take the form as 둘 간의 거리는 (예) a=(2,4), b=(1,2)이면 d(a,b)는 얼마일까? [주의] 거리는 스칼라 값이다.

몇 가지 정리들 • d(a,a)=0 • 서로 다른 벡터 a,b에 대해d(a,b)=d(b,a)>0 • 삼각 부등식 a,b,c가 각각 다를 때 d(a,c) d(a,b) + d(b,c) 직각 삼각형일 때만 등식이 되는 건 당연.

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