1. Scattering in MeccanicaQuantistica

2. Sommario • Trattazioneindipendentedal tempo dello scattering • Sviluppo in ondeparziali • Teoremaottico • Regolad’oro e scattering • Esempio: potenzialedi Yukawa • Scattering elasticoedanelastico Fabrizio Bianchi

3. FormuleUtili FormulediEulero Ortonormalita’ dei Polinomidi Legendre Fabrizio Bianchi

4. Scattering in MQ • Diversi modi di descrivere i processi di collisione/decadimento: • Modoindipendentedal tempo • Descrizione in termini di stati di scattering, analoghi a quelli stazionari • Soluzione dell’equazione di Schroedinger, sviluppo in onde parziali • Mododipendentedal tempo • Descrizione in termini di evoluzione temporale • Applicazione della regola d’oro Fabrizio Bianchi

5. TrattazioneIndipendentedal Tempo (1) • Diffusionediunaparticellada un potenzialedi range finito. • A grandedistanzaglistatiasintoticisarannostatidiparticellalibera. • Fascioincidente ha direzione e momentobendefiniti: ondapianaprogressivalungol’asse z: eikz • Scattering elastico: cambiamentodidirezionedellaparticellaincidenteconservandol’energia. • Fasciodiffuso non ha unadirezioneparticolare, ma conservail modulo del momento del fascioincidente. Puo’ essererappresentatodaun’ondasfericauscentedalcentrodidiffusione: eikr/r • Soluzionedell’equazionediSchroedingersara’ unacombinazionelinearedell’ondaincidente e quelladiffusa: Fabrizio Bianchi

6. TrattazioneIndipendentedal Tempo (2) • f(q) Ampiezzadi Scattering, [L] • Probabilita’ per unita’ di tempo che la particelladiffondanell’elementodisuperficiedS=r2dW e’ datodalflusso per dS (ossia|Y|2per la velocita’ v per dS): • Dividendo per v (flussoondaincidente) si ha la sezioned’urtodifferenziale: Fabrizio Bianchi

7. Sviluppo in OndeParziali (1) • Soluzionegeneraledell’equazionediSchroedinger in potenzialecentrale, richiedendosimmetriaassialeattornoall’asse z (direzioneparticelleincidenti): • Plsonoipolinomidi Legendre. Le funzioniradialiRlsonosoluzionidell’eq. radiale: • Per kr>>1, hanno la forma asintotica: Fabrizio Bianchi

8. Sviluppo in OndeParziali (2) • Lo sviluppodella slide 6 corrisponde ad analizzare lo statodi scattering in autostali del momentoangolare L. Possiamoscrivere: • Un ondapiana, nellimiteasintoticosipuo’ scrivere come: • D’altro canto dall’espressionediY della slide 4: Fabrizio Bianchi

9. Sviluppo in OndeParziali (3) • Quindi: • Ponendo Al=iledl • Da cui: Fabrizio Bianchi

10. Sviluppo in OndeParziali (4) • L’ampiezzadi scattering e’ completamentedeterminatadaglisfasamentidl, a lorovoltadeterminatidalpotenziale. • Il processodi scattering e’ descrittoda un insieme (in principio infinito) diampiezzeparzialiognunacorrispondente ad un particolarevaloredi l. L’ampiezzal-esima e’ data da: • La sezioned’urtototale : • diventa, sfruttando la relazionediortonormalita’ deipolinomidi Legendre,: Fabrizio Bianchi

11. Sviluppo in OndeParziali (5) Poiche’: Fabrizio Bianchi

12. Regolad’Oro e Scattering (1) Probabilita’ di transizione per unita’ di tempo: Stati iniziale e finale: Onde piane Fabrizio Bianchi

13. Regolad’Oro e Scattering (2) • Caso di diffusione elastica da un potenziale fisso • Sezioned’urtodifferenziale: • Eventualmente: Generalizzazione • Numeratore • Prob. di trans./Unita' di ang. solido, Energia, ..., Unita' di tempo • Es. Onde piane con direzione entro dW a (q,f) Fabrizio Bianchi

14. Regolad’Oro e Scattering (3) Probabilita’ ditransizione verso un gruppodistati del continuo: Fabrizio Bianchi

15. Regolad’Oro e Scattering (4) Esempio: scattering elastico: Fabrizio Bianchi

16. Regolad’Oro e Scattering (5) Fabrizio Bianchi

17. Esempio: Potenzialedi Yukawa (1) Fabrizio Bianchi

18. Esempio: Potenzialedi Yukawa (2) Fabrizio Bianchi

19. Esempio: Potenzialedi Yukawa (3) Fabrizio Bianchi

20. Scattering fraParticelle • Esempio considerato: interazione particella – potenziale • Esempi piu’ realistici: interazione particella – particella • Regole generali per collisioni non relativistiche: • Conservazione/Non conservazione energia cinetica totale • Scattering elastico/anelastico • Conservazione quantita’ di moto totale • Conservazionemom. angolaretotale: • Scattering: Stati iniziale e finale non hanno di solito mom. angolare definito • Decadimenti: Stati iniziale e finale hanno mom. angolare definito Fabrizio Bianchi

21. Scattering ElasticovsAnelastico • Per collisioni e decadimenti in approssimazione non relativistica • Scattering elastico: • Lo stato interno di proiettile e bersaglio restano invariati nella collisione • Conservazionedellamassa • Conservazionedell’energiatotale (cinetica) • Conservazione della quantita’ di moto totale • Scattering anelastico: • Lo stato interno di proiettile e/o bersaglio cambia nella collisione • Conservazionedellamassa • Conservazionedell’energiatotale (cinetica+potenziale) • Conservazione della quantita’ di moto totale Fabrizio Bianchi