Programaci ó n Lineal

1. Programación Lineal Matemáticas CCSS II Ana Pola IES Avempace

2. Inecuaciones lineales • Toda recta ax + by + c = 0 divide al plano en tres regiones • El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c = 0 • El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c > 0 • El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c < 0 • A la parte del plano que es solución de una inecuación se le llama región factible de la inecuación

3. Inecuaciones lineales. Interpretación geométrica • Cuando deben satisfacerse simultáneamente más de una inecuación estamos ante un sistema de inecuaciones lineales. • El conjunto de soluciones del sistema se puede obtener por la intersección de las diferentes regiones factibles de las inecuaciones. • A dicha región se le llama región factible del sistema.

4. Un problema de máximos • Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de frutas. Produce dos tipos de cajas: la de tipo A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1kg de frutas; la de tipo B contiene 2 kg de chocolate, 1,5 kg de almendras y 1 kg de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 13 € y 13,50 €, respectivamente. Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo para obtener la mayor cantidad de dinero por su venta?

5. Un problema de máximos. Planteamiento. x = nº de cajas de tipo A y= nº de cajas de tipo B Tenemos maximizar los ingresos obtenidos por las ventas I(x, y) = 13 x + 13,50 y Esta función se llama función objetivo Y las restricciones vienen dadas por las inecuaciones Los puntos que cumplen todaslas restricciones se llamansoluciones factibles

6. Un problema de mínimos • Un grupo local posee dos emisoras de radio, una de FM y otra de AM. La emisora de FM emite diariamente 12 horas de música rock, 6 horas de música clásica y 5 horas de información general. La emisora de AM emite diariamente5 horas de música rock, 8 horas de música clásica y 10 horas de información general. Cada día que emite la emisora de FM le cuesta al grupo 5000 €, y cada día que emite la emisora de AM le cuesta 4000 €. Sabiendo que tiene enlatado para emitir 120 horas de música rock, 180 horas de música clásica y 100 horas de información general, cuántos días debería emitir con ese material cada una de las dos emisoras para que el coste sea mínimo, teniendo en cuenta que entre las dos emisoras han de emitir al menos una semana?

7. Un problema de mínimos. Planteamiento. x = nº de días en FM y= nº de días en AM Tenemos minimizar los costes por los días de emisión C(x, y) = 5000 x + 4000 y Esta función se llama función objetivo Y las restricciones vienen dadas por las inecuaciones Los puntos que cumplen todaslas restricciones se llamansoluciones factibles

8. Obtención de soluciones • Dada una función lineal y una región R convexa y acotada: • La función f tiene un valor máximo y mínimo en R. • Esos valores extremos se alcanzan en un vértice o en un lado de dicha región.

9. Método gráfico. • Representamos la región factible • Se dibujan las rectas de niveltodas ellas paralelas a la función objetivo • Se observa el valor de k que proporciona la solución. Región factible Solución gráfica

10. Método analítico • Representamos la región factible • Calculamos los vértices de la región factible • Evaluamos la función objetivo en cada uno de sus vérticesObviamente, I(D) = 0 • El ingreso máximo se produce en el punto B, es decir, se deberán producir 55 cajas del tipo A y 30 del tipo B.

11. Problema de mínimos • Solución gráfica • Solución analítica • Evaluamos la función objetivo en cada uno de sus vértices • C(A) = 5000·0 + 4000·7 = 28000 € • C(B) = 5000·0 + 4000·10 = 40000 € • C(C) = 5000·7,37 + 4000·6,32 = 62130 € • C(D) = 5000·10 + 4000·0 = 50000 € • C(E) = 5000·7 + 4000·0 = 35000 € • El coste mínimo se produce en el punto A. Se deberá emitir 7 días en AM y ningún día en FM.

12. ¿Todos los problemas de programación lineal tienen solución?

13. Problema de maximización Solución de arista:infinitas soluciones No hay máximo Solución única

14. Problema de minimización Solución de arista:infinitas soluciones No hay mínimo Solución única

15. Planteamiento general con dos variables • Un problema de PL consiste en optimizaruna función lineal de la forma f(x, y) = ax + by + c que llamaremos función objetivo, sujeta a unas restricciones • Solución posible: es cualquier par de valores (x1, y1) que cumpla todas las restricciones. Al conjunto de todas las soluciones posibles de un problema lineal se le llama región factible. • Óptimo: es un par de valores (x1, y1), si existe, que hace máxima o mínima la función objetivo. • Un problema de PL puede: • Tener solución única • Tener infinitas soluciones • No tener solución.