 Raza cercului este distan ţ a de la O la un punct de pe cerc.

Exterioară • Fie O un punct în plan şi r un număr real pozitiv, mulţimea punctelor din plan, situate la distanţa r faţă de O se numeşte cerc de centru O şi rază r (punctul O centrul cercului). • Notaţie: C(o,r) Tangentă  Raza cercului este distanţa de la O la un punct de pe cerc.  Segmentul determinat de două puncte ale unui cerc se numeşte coarda.  Coarda care conţine centrul cercului se numeşte diametru.  Capetele diametrului se numesc puncte diametral opuse.  Cercurile care au raze egale se numesc cercuri congruente. Secantă Unghi Triunghi Poligon regulat Formule

.Q A O .P B Exterioară • Fiind dat C(O,r) mulţimea punctelor P din plan pentru care OP<r se numeşte interiorul cercului.Int C(O,r) ={P/OP<r} • Fiind dat C(O,r) mulţimea punctelor Q din plan pentru care OQ>r se numeşte exteriorul cecului cercului.Ext C(O,r) ={Q/OQ>r} Tangentă Secantă • Un unghi cu vârful în centrul cercului se numeşte unghi la centru. • Dacǎ A şi B sunt douǎ puncte distincte ale unui cerc cu centrul în O, atunci intersecţia acestuia cu interiorul unghiului la centru AOB, reunite cu punctele A şi B, se numeşte arcul mic AB. • Punctele A şi B se numesc capetele (extremitaţile) arcului; coarda [AB] corespunde arcului AB şi reciproc. • Mulţimea celorlalte puncte ale cercului reunitǎ cu punctele A şi B se numeşte arcul mare AB. • Oricare trei puncte distincte ale unui cerc sunt necoliniare. • Dacǎ cele două capete ale unui arc, sunt extremităţile unui diametru, atunci arcele de cerc se numesc semicerc. Unghi Triunghi Poligon regulat Formule

 Dacǎ distanţa de la centrul unui cerc la o dreapta d este mai mare decât raza cercului, atunci dreapta nu are puncte comune cu cercul şi se numeşte exterioară. Secantă Tangentă r > OA d  C(O,r)= 

 Dacǎ distanţa de la centrul unui cerc la o dreapta d este egală cu raza cercului, atunci dreapta are un punct comun cu cercul şi se numeşte tangentă. Secantă Tangentă r = OA d  CO,r)={A}

Dacǎ distanţa de la centrul unui cerc la o dreapta d este mai mică decât raza cercului atunci dreapta are două puncte comune cu cercul şi se numeşte secantă. r < OC  d  C(O,r)={A,B} Tangentă Exterioară

Fie cercurile C`(O`, r`), C(O, r) şi d = OO’(distanţa dintre centrele cercurilor). • Dacǎ OO’> r+ r’ cercurile nu au puncte comune şi se numesc cercuri exterioare. • Dacǎ OO’<|r- r’| cercurile nu au puncte comune şi se numesc cercuri interioare.

 Fie cercurile C`(O`, r`), C(O, r) şi d = O`O (distanţa dintre centrele cercurilor) Dacǎ | r` - r|< OO’< r` + r" cercurile au două puncte comune şi se numesc cercuri secante.

A O O’ A r’ O B r A  Fie cercurile C`(O`, r`), C(O, r) şi d = OO’ (distanţa dintre centrele cercurilor) Dacǎ OO’ = r` + r cercurile au un punct comun şi se numesc cercuri tangente exterioare. Dacǎ OO’ = |r` - r| cercurile au un punct comun şi se numesc cercuri tangente interioare. Cercuri concentrice – au acelaşi centru Dacǎ d = r` + r" cercurile au un punct comun şi se numesc cercuri tangente exterior.

Un unghi cu vârful în centrul cercului se numeşte unghi la centru. • m(AOB )=m(AB) • Unghiul BAC se numeşte unghi înscris în cerc, dacǎ punctele B, A, C aparţin C(O,r).

!Masura unui unghi înscris în cerc este jumatate din masura arcului cuprins între laturile sale. • Toate unghi, care au varful pe un arc de cerc şi ale caror laturi contin capetele arcelor sunt congruente. • ! Masura unui unghi cu varf pe cerc avand unadin laturi secanta, iar cealalta tangenta este egala cu jumatate din masura arcului inclus in interiorul unghi.

Un unghi al carui varf este un punct din interiorul unui cerc, altul decat centrul cercului, se numeste unghi cu varful în interiorul cercului. Masura unui unghi cu varful în interiorul cercului este egala cu semisuma masurilor arcelor cuprinse între laturile sale. C M D A C P B A B D Unghi cu varful in interiorul cercului Unghi cu varful in exteriorul cercului Un unghi al carui varf este un punct din exteriorul unui cerc, iar laturile lui sunt secante sau tangente (sau o secanta şi o tangenta )se numeste unghi cu varful în exteriorul acelui cerc.  Masura unui unghi cu varful în exteriorul cercului este egala cu jumatate din valoarea absoluta a diferentei arcelor cuprinse cuprinse între laturile lui.

Teorema 1: În acelaşi cerc sau în cercuri congruente , la arce congruente corespund coarde congruente. Teorema reciprocă T1 : În acelaşi cerc sau în cercuri congruente, la coarde congruente corespund arce congruente. Teorema 2 : Perpendiculara din centrul unui cerc pe o coardă a lui Imparte această coardă şi arcele corespunzătoare în părţi congruente. Teorema 3 : În acelaşi cerc sau în cercuri congruente, coardele egal depărtate (echidistante) faţă de centru sunt congruente. Teorema 4 : În acelaşi cerc sau în cercuri congruente, orice douaă coarde congruente sunt egal depărtate de centru. Teorema 5 : Arcele cuprinse între douaă coarde paralele sunt congruente. Teorema: Lungimea unei coarde, care nu conţine centrul cercului, este mai mica decat 2r. Teorema: Intr-un cerc, diametrul este cea mai mare coarda. Teorema : Dacǎ trei puncte sunt necoliniare, atunci ele determina un cerc şi numai unul. Coarde şi arce

« Proprietăţile ciocului de cioară !» Fie A un punct exterior unui cerc de centru O, AT şi AT’ tangentele din A la cerc ( Tşi T’ pe cerc) . Demonstraţi propoziţiile : 1.Tangentele [AT] şi [AT’] sunt congruente. 2.[AO este bisectoarea unghiului TAT’ 3.[OA este bisectoarea unghiului TOT’ 4.OA este mediatoarea segmentului[TT’]

A A= A= .O C B ! Un triunghi circumscris unui cerc are laturile tangente la cerc şi centrul O se afla la intersectia bisectoarelor unghi triunghiului. ! Triunghiul inscris in cerc are varfurile situate pe cerc, iar laturile sale sunt coarde in cerc. Dacǎ A, B, C sunt trei puncte distincte ale unui cerc, atunci centrul cercului este intersecţia mediatoarelor laturilor triunghiului ABC.

Patru sau mai multe puncte sunt conciclice Dacǎ exista un cerc caruia sa-i apartina. • Dacǎ un patrulater este inscris in cerc, atunci diagonalele sale formeaza unghi congruente cu doua laturi opuse ale patrulaterului. • ! In patrulaterul inscris intr-un cerc, unghile opuse sunt suplementare. • ! Un patrulater convex este inscriptibil, Dacǎ şi numai Dacǎ unghi sale opuse sunt suplementare. • ! Un patrulater convex este inscriptibil, Dacǎ şi numai Dacǎ unghile formate de o diagonale cu doua laturi opuse ale patrulaterului sunt congruente.

Lungimea arcului de cerc lAB= A = Aria unui sector A R O u0 B Lungimea cercului L=2R Aria dicului A= R2 , R-Q

Poligoane regulate • Un poligon este regulat Dacǎ este convex, are toate laturile congruente şi toate unghiurile congruente. • Centrul O al cercului in care este inscris poligonul regulat se numeste centrul poligonului. • distanţa de la centrul unui poligon regulat la oricare dintre laturile sale se numeste apotema poligonului. • Latura poligonului inscris in cerc • Apotema poligonului regulat • Aria poligonului regulat

A= A= A= L =R a = a = L = R a = F E R O A D M B C Hexagon regulat Triunghi echilateral Pătrat L=R

Test de evaluare • Pe cercul cu centrul în O se iau punctele A,B,C. Dacă m( AOB)=40 atunci m( ACB) este: a) 40 ; b) 20 ; c) 80. • Un diametru şi o coardă ale unui cerc au un capăt comun. Dacă lungimea diametrului este de 40 cm şi lungimea coardei de 24 cm, atunci distanţa de la centru la coardă este: a) 16; b) 12; c) 15. • Fie [AB] diametrul în cercul de centru O. Coarda [CD] intersectează diametrul [AB] în punctul E, astfel încât m( CEB)=300 AE=6cm, EB=2cm. Distanţa de la O la CD este egală cu: a) 1; b) 2; c) 0,5. • Dimensiunile unui dreptunghi sunt direct proporţionale cu 4 şi 3, iar perimetrul este 56cm. Lungimea razei cercului circumscris dreptunghiului este : a) 10 ; b) 20 ; c) 15. • Latura unui pătrat înscris într-un cerc este 8cm. Aria triunghiului echilateral circumscris acestui cerc este : a) 192 ; b) 192 ; c) 48 • Raza cercului înscris într-un triunghi isoscel ABC, ştiind că AB=AC=10 cm; BC=12 cm este egală cu: a) 3; b) 4; c). • Raza cercului circumscris triunghiului isoscel ABC, ştiind că AB=AC=10 cm; BC=12 cm este egală cu: a) 6,25; b) 6; c) 25. • Fie trapezul isoscel ABCD cu baza AB paralelă cu baza CD şi m( A)=45 , AB=6cm, CD=2cm. Raza cercului circumscris trapezului este: a) b) 2c) • Două cercuri tangente exterioare au razele 5cm, respectiv 3 cm. Tangenta lor comună TT’ întâlneşte linia centrelor în S. Dacă O este centrul cercului mare atunci lungimea segmentului [OS] este : a) 10 ; b) 15 ; c) 20.

Construiţi numai cu ajutorul compasului: Printre cele mai simple construcţii cu rigla şi compasul se numără şi determinarea centrului unui cerc dat.  Încearcă să-l determini numai cu compasul. Te încumeţi ?  Napoleon I vă propune o altă problemă: Folosind numai compasul să se împartă în patru părţi congruente circumferinţa unui cerc al cărui centru este precizat. Cum puteţi transforma vaza din figura alăturată, a cărui desen este compus numai din arce de cerc, într-un pătrat?

Cine oare şi când a desenat un cerc? Să fi fost un artist anonim, care într-un moment de odihnă şi singurătate a adus soarele, sau poate luna de-afară printr-o singură trăsătură pe pereţii peşterii? Sau zeii în mărinimia lor de câte o dată, să-i fi arătat vreunui muritor această figură minunată? Ori poate un truditor, care după îndelungi ani de opinteli, într-o clipă de genialitate şi-a imaginat, că roata i-ar putea uşura viaţa? Cine mai poate şti? Doar dacă zăbovim o clipă şi încercăm să ascultăm şoaptele fiicei lui Zeus şi a Mnemosynei, blânda Clio, îl auzim pe Proclus comentând elementele lui Euclid:”…Cercul este prima, cea mai simplă şi cea mai perfectă figură” Dintre toate poligoanele şi curbele închise, având un perimetru (lungime) dat(ă), acel(a) care cuprinde în interiorul său suprafaţa cea mai mare este cercul?

Vrând să-i recompenseze, satrapul Hieron i-a chemat la el pe cei trei dregători care au reuşit să determine proprietăţile funciare asupra teritoriilor Cartaginei. - Drept mulţumire pentru munca voastră, iată trei frânghii lungi de mătase, toate de aceeaşi lungime. Veţi primi fiecare în dar câte un domeniu de forma pe care o doriţi şi pe care puteţi sa-l înconjuraţi cu frânghia de mătase primită. Însă pe cel mai ambiţios dintre voi, cel care a ales cea mai mare suprafaţă, îl voi face sfetnicul meu. Spune legenda că primul şi-a ales un domeniu în formă de pătrat, al doilea în formă de hexagon… - Voi doi supuşii mei mergeţi să mai învăţaţi! Doar tu Periferius, elev al lui Arhimede, meriţi să-mi fii sfetnic. Tu ai ales cea mai mare suprafaţă posibilă…

Ottescu ,Constantin;Cuculescu,Ion; Laurentiu ,N.,Gaiu, Matematica-manual pentru clasa a VII-a,Editura Didactica si Pedagocica , Bucuresti, 1990. Dancila,Ioan, Matematica gimnaziului intre profesor si elev, Editura Aramis,2001; Bibliografie

 Raza cercului este distan ţ a de la O la un punct de pe cerc.