Kvanttimekaniikka : Luento 11

1. Kvanttimekaniikka: Luento 11 MartikainenJani-Petri

2. Viimeksi • Kaksitilamalli Tänään • Periodinen hila • Energiavyöt, vyönleveys, energia-aukko • Mitätästäeteenpäin? Mitätärkeitäasioitajäipois…

3. Periodinen hila • Kiinteässäaineessaatomituseinjärjestyvätjaksolliseen rakenteeseen. • Mikätämärakenne (voi olla monta) on riippuuatomienvälisistävuorovaikutuksista • Ytimetelektronejapainavampia… eivätliikuniinherkästi • Elektronitvoivatsiisnähdäpotentiaalin, jonkaperiodisuusheijasteleeatomienjärjestymistä

4. Blochinteoreemajatilat • OletetaanHamiltoninoperaattoriperiodisessapotentiaalissa • Ominaistilat? • Siirto-operaattorille • Jasenominaistilatovatmuotoa (helppolasku) • Missä • Ominaisarvotovattaas

5. Blochinteoreemajatilat • So what? • D ja H kommutoivat: • Janäinollenmyösenergiaoperaattorin H ominaistilatovatmuotoa • Onkomuutenainaperiodinen? • Vastaus: Ei ole.

6. Blochinteoreemajatilat • FunktioitakutsutaanBlochinaaltofunktioiksi • jasitä, että ne ovatmuotoa • kutsutaanBlochinteoreemaksi. • Suurettakutsutaanmuutenkvasi-liikemääräksi • Se on sukuatasoaallonvastaavallesuureelle, mutta u(x) muuttaatulkintaajonkinverran • Minkäyhtälön u(x) toteuttaa? (sijoitusSchrödingerinyhtälöön …taululla)

7. Blochinteoreemajatilat • Koskayhtälössäesiintyy k olisiitseasiassaparempimerkitä k-riippuvuusmyösfunktioihin u…ts. • Saammeuudenratkaisunkullakink:narvolla. • Ratkaisujavoi olla montasamaantapaankuinSchödingerinyhtälöllä…sehän on raja k0.

8. Blochinteoreema • Esim. Kronig-Penney laskareissa(jakirjassa) • Paloittainvakiopotentiaali…samanlaistakuinaikaisemmin • Muttamitenreunaehdotmuuttuvat? • Lisäksijasenderivaattajatkuvia x=a:ssa

9. Kahdenhilapisteen hila • Yksinkertainenminimimalli, jollavoimmehahmottaajoitainperusideoita • AikaisemmatBlochintilatovat se “oikea” tapa, jokatoimiiaina. Perustilajaensimmäinenviritystila?

10. Kahdenhilapisteen hila • Oletetaannytjokuperiodinenpotentiaali, jossamontutovatsopivansyviä…esim. • Tässähilapisteidenvälinenetäisyys on d • Approksimoidaanmonttujaharmonisillaoskillaattoreilla siisoskillaattoreille

11. Kahdenhilapisteen hila • Kummassakinmontussaalintila on lähelläharmonisenoskillaattoringaussistaperustilaa…hyvinlokalisoitunutmonttuun! • Jos mitäänmuutaeiolisi, perustilaolisi se missäenergia per hilapisteolisi • Valitaanavaruutemmekannaksiaaltofunktiot, jotkaovatmonttujenominaistiloja. Yleinenaaltofunktiosuperpositiovasemmastajaoikeastaaaltofunktiosta • Kantafunkiotsiisesim. harmonisenoskillaattorinperustilojaerihilapisteissä

12. Kahdenhilapisteen hila • Tällätilallaenergia Miksitässä on tiettyjärki? Tuoviimeinenintegraalivoi olla sotkuinen

13. Kahdenhilapisteen hila • Näyttäneetutultaviimeluennolta • Jos naapurien “overlap” häviäätäysin Omega=0 jameillä on kaksitoisistaanriippumatontaharmonistaoskillaattoria. • Ominaisarvotjatilat:

14. Kahdenhilapisteen hila • Meillä on siiskaksitoisiaanlähelläolevaatilaa • Näissätiloissanaapuriaaltofunkioissa on vaihe-eroja

15. Kahdenhilapisteen hila • Tämäjoukkotilojajoidenhilapisteissäolevat “orbitaalit” näyttävätmahdollisiavaihetekijöitälukuunottamattasamaltamuodostavatenergiavyön. • Samanvyöntilojenvälilläenergiaerojajoidenskaalakertoovyönleveydestä (bandwidth) • Tässäesimerkissä bandwidth oli

16. Kahdenhilapisteen hila • Tunnemmenytkaksialinta…Entäpäseuraavatominaistilat? • Laitetaanmolempiinmonttuihinkantafunktioksiharmonisenoskillaattorinensimmäinenviritystila. • Viritystilanenergiakummassakinmontussa • Kun kytkentämonttujenvälillänolla, meillä on siis • Energiaeroalimpiintiloihin. Tämäkertooongelmammeenergia-aukosta (bandgap) • Tarkkabandgaptokikorjaantuutoiseenarvoon, kun laskuatarkennetaan.

17. Kahdenhilapisteen hila • Samallatavallavoimmeesittäätilansuperpositionavasemmastaoikeastaviritystilasta • Toisaaltakytkentänaapureidenkeskenmuuttuu, koskakanta muuttui Kummallaalhaisempienergia?

18. Kahdenhilapisteen hila • Tämänpohjaltatajuaajollaintasollakäsitteet: • Energyband=energiavyö • Bandgap=energia=aukko • Bandwidth=energiavyönleveys • Ehkäymmärtääjotainmikämuuttuu, kun Blochinyhtälönratkaisuissasiirtytäänyhdeltävyöltätoiselle • Vaatimusu:nperiodisuudestasamallaperiodillakuinpotentiaali: muutenkahtaerilaistaorbitaaliaolisivoinutsotkea • Tämänlaskun idea on samakuin ns. Tight binding malleissa • Niissäoletetaanhyvinlokalisoituneetorbitaalitjaesim. lähinaapuritunnelointihilapisteidenvälille.

19. Kaistarakenne: tight binding esimerkki Optinen hila a’laHampurinryhmä

20. Kaistarakenne: so what? • Vaikuttaamateriaalinominaisuuksiin • Johde, eriste, puolijohde

21. Kaistarakenne:so what • Dispersioidenrakennevaikuttaa Fermi-pinnanmuotoon • Samoineksitaatioidenrakenne Fermi-pinnanlähelläriippuukaistarakenteesta…ja se vaikuttaaominaisuuksiin • Vaikeaaymmärtääaineenominaisuuksiailmanymmärrystäkaistarakenteesta • Vaikuttaamyösesim. suprajohtavuudenmahdollisuuteen • For fun… http://www.youtube.com/watch?v=VyOtIsnG71U

22. Kaistarakenneerimateriaaleilla • PitäälaskeaBlochintilat…yleensänumeerinentehtävä Yök!

23. Kaistarakenne

24. Sammakkolevitoi

25. Grafeeni • Yksikerrosgrafiittia: eli2D rakenne • Puolijohdevaimetalli? http://demonstrations.wolfram.com/GrapheneBrillouinZoneAndElectronicEnergyDispersion/

26. Grafeenivalmistus • Yksi tapa (lahjoitettuTukholman Nobel museoon)

27. Grafeeni • Terästävahvempaa • Johtaasähköäkupariaparemmin • Joustavampaakuinkumi • Kvasihiukkaset: massattomiaDiracinfermioneja

28. Quo vadiskvanttimekaanikko? • Dimensioitaenemmänkuin 1 • Kulmaliikemääräja spin • Vedynominaistilat • Vuorovaikutuksethiukkastenvälille • Kvanttistatistiikka, kun hiukkasiaenemmänkuinyksi: bosonitjafermionit • Toinenkvantisointielikenttienkvanttiteoria

29. Kysymyksiä? • Tänäänkeskusteltiinkvanttimekaniikastaperiodisessapotentiaalissa • Viimeinenluento: kertausta, kysymyksiä…