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Presentation Transcript

  1. Fuzzy-Logik Eine Einführung in unscharfe Logik Nils Becker, November 2012

  2. Inhalt • Idee • Unscharfe Mengen • Entscheidungsfindung • Fuzzifizierung • Regeln • Inferenzoperationen • Defuzzifizierung • Abschluss

  3. Idee • 1965: Theorie der unscharfen Mengen, Prof. Lotfi Zadeh, Berkeley • Idee: • Klassische Mengenlehre bildet menschliche Sprache schlecht ab • „Temperatur ist relativ hoch“

  4. Beispiel: Große MenschenUnscharfe Mengen 1,58m 1,75m 1,80m 1,81m 1,85m 1,95m

  5. Beispiel: Große Menschen – klassische MengenlehreUnscharfe Mengen nicht große Menschen große Menschen 1,58m 1,75m 1,80m 1,81m 1,85m 1,95m >1,80m

  6. Beispiel: Große Menschen – unscharfe MengenlehreUnscharfe Mengen eher groß μ kaumgroß 1 0,35 0,85 1 1 1 0,5 0 1,58m 1,75m 1,80m 1,82m 1,85m 1,95m

  7. DefinitionUnscharfe Mengen • Zugehörigkeitsgrad μ:(Elemente gehören zu gewissem Grad zur Menge • μteuer(Porsche 911) = 0.99 = 99% • μteuer(VW Polo)= 0.10 = 10% • Zugehörigkeitsfunktion: Definiert Zugehörigkeitsgrad μ 1 0,5 0 G

  8. Darstellungsformen (1)Unscharfe Mengen Grund-menge • Geordnete Paare • Grafisch (Kurvenform) μ μ(xi) 1 0,5 A 0 xi G

  9. Darstellungsformen (2)Unscharfe Mengen A B μA(xi) μB(xi) μ 1 0,5 xi 0 G

  10. Darstellungsformen (3) – Venn-DiagrammUnscharfe Mengen μ(x) = 1 G μ(x) > 0 & μ(x) < 1

  11. Darstellungsformen (3) – Venn-DiagrammUnscharfe Mengen Xi mit μA(Xi) = 1 & μB(Xi) > 0 μA(x) = 1 μB(x) = 1 G μA(x) > 0 & μA (x) < 1 μB(x) > 0 & μB (x) < 1

  12. Unscharfe Mengen - Mengenoperationen Vereinigung Beispiel

  13. Unscharfe Mengen - MengenoperationenSchnittmenge Beispiel

  14. Unscharfe Mengen - MengenoperationenKomplement Wichtig: schließt auch mit = 0 ein Beispiel

  15. Unscharfe Mengen - MengenoperationenEigenschaften • Distributivgesetze sind erfüllt, d.h. es gilt: • Theorem von De Morgan ist erfüllt: Beweise u.a.: „Einführung in die Fuzzy-Logik“, Dirk H. Traeger, 1994, S.18ff

  16. Unscharfe Mengen – Logische OperatorenUnd-Operator • Minimum-Operator (=== Schnittmenge) = min( • Produkt-Operator = • Summe größer 1 = max(0;

  17. Unscharfe Mengen – Logische OperatorenUnd-Operator (Beispiel)

  18. Unscharfe Mengen – Logische OperatorenOder-Operator • Maximum-Operator (=== Vereinigung) = max( • Summe - Produkt = • Summe (max. 1) = min(1;

  19. Unscharfe Mengen – Logische OperatorenOder-Operator (Beispiel)

  20. Unscharfe Mengen – Kompensatorische OperatorenGamma-Operator UND γ=0 Keine Kompensation ODER γ=1 VolleKompensation 170km/h 230km/h 130km/h

  21. Fuzzy-Logik

  22. Fuzzy-LogikÜbersicht Input Fuzzifizierung Regeln erstellen Inferenz Defuzzifizierung Output

  23. Fuzzy-Logik: FuzzifizierungEin-und Ausgangsvariablen Beispiel: Automatisches Bremssystem • Eingangsvariablen • Geschwindigkeit (km/h) • Abstand (m) • Ausgangsvariable • Bremsdruck (bar)

  24. Fuzzy-Logik: FuzzifizierungLinguistische Variable: Geschwindigkeit • Wertebereich: 0 – 240km/h • Linguistische Terme/Fuzzy Sets: • Sehr niedrig • Niedrig • Mittel • Hoch • Sehr hoch

  25. Fuzzy-Logik: FuzzifizierungFuzzy-Sets: Geschwindigkeit

  26. Fuzzy-Logik: FuzzifizierungLinguistische Variable: Abstand • Wertebereich: 0 – 300m • Linguistische Terme/Fuzzy Sets: • klein • mittel • groß

  27. Fuzzy-Logik: FuzzifizierungFuzzy-Sets: Abstand

  28. Fuzzy-Logik: FuzzifizierungLinguistische Variable: Bremsdruck • Wertebereich: 0 – 3bar • Linguistische Terme/Fuzzy Sets: • Sehr schwach • Schwach • Mittel • Stark • Sehr stark

  29. Fuzzy-Logik: FuzzifizierungFuzzy-Sets: Bremsdruck

  30. Fuzzy-LogikRegeln erstellen • WENN Geschwindigkeit „sehr niedrig“ ODER Abstand „groß“ DANN bremse „sehr schwach“ • WENN Geschwindigkeit „hoch“ UND Abstand „mittel“ DANN bremse „stark“ • …

  31. Fuzzy-Logik: Regeln erstellenRegelmatrix

  32. Fuzzy-LogikRegel auswählen • Beispiel: • Geschwindigkeit: 90km/h • Abstand: 100m 90km/h 100m

  33. Fuzzy-Logik: Regeln erstellenRegelmatrix 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 13

  34. Fuzzy-LogikInferenz: Max/Min-Inferenz • Regel 5: • Regel 8: • Regel 13: 25 67

  35. Fuzzy-Logik: EinschubInferenzmethoden • Max/Min-Inferenz • ODER = Minimum; UND = Maximum • Max/Prod-Inferenz: • ODER = Summe – Produkt; UND = Produkt

  36. Fuzzy-LogikDefuzzifizierung: Flächenschwerpunkt Flächenschwerpunkt = (2; 0,24) Bremsdruck: 2 bar

  37. Fuzzy-LogikDefuzzifizierung: Flächenschwerpunkt • Fläche • Flächenschwerpunkt (xi, yi) sind die Koordinaten welche das Polygon beschreiben

  38. Fuzzy-Logik: DefuzzifizierungsalternativeDefuzzifizierung: Singleton

  39. Fuzzy-Logik: DefuzzifizierungsalternativeDefuzzifizierung: Singleton am Beispiel Bremsdruck: 2,2 bar

  40. Fuzzy-LogikDefuzzifizierungsmethoden • Flächenschwerpunkt • Rechenaufwendig • häufig gutes Ergebnis • Singleton • sehr einfach • häufig ausreichendes Ergebnis

  41. Hilfsmittel, Anwendung, Literatur

  42. Tools • jFuzzyLogic • Verwendet FCL • Eclipse-Plugin • Bibliotheks-funktion • Viele andereTools sind veraltet

  43. Anwendung • Bildverarbeitung: Bildstabilisierung • Steuerung/Überwachung von Industrieanlagen • Robotik • Expertensysteme

  44. Vor- und Nachteile

  45. Literatur und Websites • Einführung in die Fuzzy-Logik, Traeger • Neuronale Netze & Fuzzy-Logik, Seraphin • Fuzzy Logic, Müller, http://www.gerhardmueller.de/docs/FuzzyLogic/FuzzyLogic.html • Grundlagen der Fuzzy-Logik, Reinarz, http://reinarz.org/dirk/fuzzykugel/fuzzy.html • Diese Präsentation: http://nilsbecker.net/thm/fuzzy.pdf (bald verfügbar)

  46. Vielen Dank für die Aufmerksamkeit

  47. Bildquellen Foto Zadeh: http://www.cs.tu-dortmund.de/nps/Medienpool/Home/Lotfi_A__Zadeh_2004_.jpg HighTech Fuzzy Logic: http://www.ujf.biz/texte/HT_FuzzL3.JPG Stickman: http://sustainablecoastlineshawaii.files.wordpress.com/2012/02/stickman.gif Schwarzes Auto: http://www.mazda.de/assets/master/cars/cx-5/exterior/colours/1/car-black-mica.png Rotes Auto: http://imgs.mi9.com/uploads/car/445/red-cool-car-of-choice_422_6920.jpg Weisses Auto: http://grabbaggraphics.com/wp-content/uploads/2012/05/White-Car-Psd.png Precision vsSignificance: http://radio.feld.cvut.cz/matlab/toolbox/fuzzy/signific.gif Bremssystem: http://auto.701pages.com/article_gallery/281.jpg Reiskocher: http://3.bp.blogspot.com/_SmrT6OptGzU/TRqnj76fQrI/AAAAAAAAA94/dM_PCx0678M/s1600/sanyo-35-cup-fuzzy-logic-rice-cooker.jpg Roboter: http://www.decodedscience.com/robots-for-autism-therapy-koalas-fuzzy-logic/996