Il fascino dell’attrattore

1. ATTRAZIONE FRATTALE Il fascino dell’attrattore A cura di: Argentini, Cirocchi, Di Girolamo, Fagiani, Lunardini, Palenga, Romani,Tissi. LICEO SCIENTIFICO “R. DONATELLI” Con la collaborazione della prof.ssa Mara Massarucci

2. Che cos’è un frattale? "Figura geometrica o oggetto naturale con una parte della sua forma o struttura che si ripete a scala differente, con forma estremamente irregolare interrotta e frammentata a qualsiasi scala e con elementi distinti di molte dimensioni differenti". Benoit Mandelbrot (les objects fractales,1989)

3. le curve frattali pur essendo continue non ammettono una unica tangente in un punto presi due punti della curva, anche se vicini tra loro, la loro distanza è sempre infinita. • Che cos’è un frattale? Autosimilitudine: cioè ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizzerà ancora un insieme ricco di particolari e complesso come il precedente. Da tale proprietà scaturiscono due caratteristiche:

4. Sia T una trasformazione insieme-insieme, generata da una trasformazione geometrica . Se  è una contrazione, allora esiste una unica figura ATTRATTORE tale che F F F = T( F ) Inoltre, fissata comunque una figura start F0, la successione delle figure iterate F0 start F n+1=T(Fn) n=0,1,2… costituisce una “approssimazione” della figura , che migliora ad ogni passo. Teorema di Caccioppoli

5. Verifica del teorema  A partire da quattro differenti moduli geometrici (start) e applicando n volte le stesse iterazioni, costruiremo quattro frattali. • Ad ogni passo successivo le figure ottenute dovrebbero, secondo il teorema di Caccioppoli, apparire sempre più simili, fino a poterle considerare uguali. La figura finale costituisce l’ATTRATTORE, comune in tutti e quattro i casi.

6. Verifica del teorema PASSO 1 Procedure trasforma x1:=round(0.799*x -0.048*y+0.08*l); y1:=round(0.048*x +0.799*y -0.01*l); ... putpixel (puntox(X1),puntoy(Y1),2); ... Avvio programma Applicando tre semplici trasformazioni ad un punto (start) possiamo dar vita al primo frattale, in questo caso una felce.

7. Verifica del teorema PASSO 2 Procedure trasforma x1:=round(0.799*x -0.048*y+0.08*l); y1:=round(0.048*x +0.799*y -0.01*l); ... circle(puntox(X1),puntoy(Y1),r); ... Avvio programma Modifichiamo il programma semplicemente cambiando lo start in un cerchio.

8. Verifica del teorema PASSO 3 Procedure trasforma x1:=round(0.799*x -0.048*y+0.08*l); y1:=round(0.048*x +0.799*y -0.01*l); ... triangle (puntox(X1),puntoy(Y1),r); ... Avvio programma Cambiamo ulteriormente lo start in un triangolo.

9. Verifica del teorema PASSO 4 Procedure trasforma x1:=round(0.799*x -0.048*y+0.08*l); y1:=round(0.048*x +0.799*y -0.01*l); ... square (puntox(X1),puntoy(Y1),r); ... Avvio programma Questa volta poniamo come start un quadrato.

10. Verifica del teorema CONCLUSIONI Procedure trasforma x1:=round(0.799*x -0.048*y+0.08*l); ... putpixel (puntox3(X1),puntoy3(Y1),2); circle (puntox2(X1),puntoy2(Y1),r1); ... Per riepilogare abbiamo voluto realizzare questo programma che, in una stessa schermata, mostra come da quattro start, attraverso le stesse trasformazioni, si arriva allo stesso ATTRATTORE! Avvio programma

11. Starring: Alessandro “silver” Argentini Alessandro “ciwy” Cirocchi Andrea “glamour” Di Girolamo Ramona Fagiani Daniele “lu” Lunardini Francesco “nido” Palenga Francesco Maria “attila” Romani Carlo “trix” Tissi Regia di Mara Massarucci E DITEMI SE QUESTO NON E’ UN ATTRATTORE FATALE