Semântica de uma fórmula da lógica da 1 a ordem via modelo de Herbrand

Semântica de uma fórmula da lógicada 1a ordem via modelo de Herbrand • Notação: • const(F), func(F), pred(F), var(F) conjuntos de símbolos de constantes, funções, predicados e variáveis (respectivamente) de uma fórmula F da lógica da 1a ordem • Universo de Herbrand de F: • Uh(F) = const(F) {f(...,c,...) | f  func(F)  c  const(F)}. • Base de Herband de F: • Bh(F) = Uh(F)  {p(…,g,…) |p  pred(F)  g  Uh(F)}. • Modelo de Herbrand de F: • Mh(F) = {q  Bh(F) | F |= q}. • Modelo de Herbrand mínimo de F: • mh é mínimo sse:  miMh(F) mi mh • Menor modelo mínimo de Herbrand de F: • mm é o menor modelo mínimo sse: mi mi Mh(F)  mm mi • Conjunto de proposicionalizações de F: • ground(F) = {F |  substituição de var(F) por Uh(F)}

Negação por falha, raciocínio não monotônico e semântica declarativa de programas lógicos Jacques Robin CIn-UFPE

Modelo de Herbrand: exemplo • F: (maria = mae(joao)  (X anc2(pai(X),X))  (Y anc2(mae(Y),Y))  (A,D anc2(A,pai(D))  anc2(A,D))  (E,F anc2(A,pai(D))  anc2(A,D)) • Universo de Herbrand Uh(F): {maria, joao, mae(maria), mae(joao), mae(mae(maria)), mae(mae(joao)), ... } • Base de Herband Bh(F): {maria = joao, maria = mae(maria), maria = mae(joao), joao = mae(maria), joao = mae(joao), ... anc(maria, maria), anc(maria,joao), anc(joao,maria), anc(joao,joao), anc(maria,mae(maria)), anc(mae(maria),maria)), anc(maria,mae(joao)), ... } • Modelo de Herbrand mínimo mh(F): {maria = mae(joao), anc(maria,joao)}

Semântica declarativa de um programa lógico via formula da lógica da 1a ordem • Programa P: ancestor(A,D) :- parent(A,D). ancestor(A,D) :- parent(P,D), ancestor(A,P). • Semântica ingênua semIng(P): (A,D parent(A,D)  ancestor(A,D))  (A,D,P parent(P,D) ancestor(A,P) ancestor(A,D)) • Consultas C: ?- ancestor(jacques,jacques) no • No entanto, em lógica clássica da 1a ordem: semIng(P) | C • semIng não reflete semântica sobre hipótese do mundo fechado • Complementação de Clark comp(P): fórmula da lógica clássica da 1a ordem capturando semântica de P sobre hipótese do mundo fechado • Modelo de P = mh(comp(P))

Semântica declarativa de um programa lógico sobre hipótese do mundo fechado • Construção de comp(P): • Para cada predicado definido por n regras C:- P1. ,..., C:-Pn. • substituir conjunção de implicações de semIng(P) por equivalência entre • C, nas quais as variáveis U1,...,Uk foram substituídas por novas variáveis V1,...Vk, e • uma disjunção de n conjunções, cada uma da forma  ...,Ui,... ...  Vi = Ui... Pm(...,Ui,...). • Para cada predicado q(...,Wl,...) sem definição como conclusão de nenhuma cláusula mas aparecendo em premissa de regra(s) definindo outro predicados • acrescentar fórmula Wl q(...,Wl,...) • Exemplo: • P = {ancestor(A,D) :- parent(A,D). ancestor(A,D) :- parent(P,D), ancestor(A,P).} • comp(P) = (Va,Vd ancestor(Va,Vd)  ((A,D Va = A  Vd = D  parent(A,D))  (A,D,P Va = A  Vd = D  Vp = P  parent(P,D) ancestor(A,P)))) P,C parent(P.C) • Em lógica da 1a ordem: comp(P) |= ancestor(jacques,jacques)

Negação por falha em programação em lógica • Programas lógicos normais ou gerais autorizam operador not de negação por falha nas premissas das regras e nas consultas. • Crucial notar que: • not não é autorizado nem em fatos, nem em conclusão de regras • Semanticamente, not é distinto da negação clássica  da lógica • Enquanto uma premissa ou consulta Sde uma BC em lógica é verdade sse: BC |= S • Uma premissa ou consulta not S de um programa lógico normal P é verdade sse: P | S • Negação por falha funciona com hipótese do mundo fechado • Resolução SLD de Prolog estendida na resolução SLDNF

Raciocínio com negação por falha: inerentemente não monotônico • Adição de novos fatos em uma BC em Prolog com negação por falha pode diminuir, no lugar de aumentar, o número de fatos deriváveis • BC1: woman(X) :- human(X), not man(X). female(X) :- woman(X). human(roberta). ?- female(roberta). yes. • BC2 = BC1 + man(roberta). ?- female(roberta). no.

Negação por falha e raciocínio por default • A não monotonicidade da negação por falha permite usá-la para implementar raciocínio por default • ave(piupiu). papaLeguas(bipbip). ave(X) :- papaLeguas(X). voa1(X) :- ave(X), not papaLeguas(X). voa2(X) :- not papaLeguas(X), ave(X). • ?- voa1(X). X = piupiu. yes ; no ?- voa2(X). no. • No entanto, Prolog ISO não segue uma semântica lógica declarativa para a negação por falha

Negação por falhae terminação • man(X) :- human(X), not woman(X). woman(X) :- human(X), not man(X). female(X) :- woman(X). human(roberta). • ?- man(roberta). • .......... • Problema devido a recursão através da negação • O conhecimento acima é fácil modelar pela re-introdução das restrições de integridade: false :- man(X), woman(X). woman(X) :- human(X). man(X) :- man(X). female(X) :- woman(X). human(roberta).

P: edge(a,b). edge(c,d). edge(d,c). reachable(a). reachable(X) :- edge(Y,X), reachable(Y). sink(X) :- not edge(X,Y). ?- reachable(c) ............... ?- sink(b). yes ?- sink(X). no comp(P): edge(a,b)  edge(c,d)  edge(d,c)  (Vx reachable(Vx)  (Vx = a  Vx = X  Y (edge(Y,X)  reachable(Y))))  ((Vu sink(Vu)  (Vu = U V edge(V,U))) Limitação 1: comp(P) | reachable(c). comp(P) | reachable(d). reachable(c)  (c=a  Y(edge(Y,c)  reachable(Y))  Y edge(Y,c)  reachable(Y)  reachable(d) Limitação 2: comp(P) | sink(b) sink(b)  (b=U V edge(V,U))  V edge(V,U)  b=U a c b d Limitações da semânticade complementação

female + woman - + human man - Semânticas declarativas para programas lógicos normais • Semântica de complementação de Clark válida apenas para programas lógicos definidos, sem negação • Programa lógico estratificado: sem ciclo de dependências entre predicados através de negação • Programa lógico consistente: sem ciclo com número par de dependências entre predicados através de negação • Apenas programas lógicos normais estratificados possuem um único modelo mínimo de Herbrand definindo sua semântica • Programas lógicos normais mais gerais requerem outras semânticas • Extensões de Prolog ISO usam principalmente duas de tais semânticas: • Semântica de modelos estáveis (ou de conjunto de respostas) • Semântica bem fundamentada

Semântica de programas lógicos normaisvia modelos estáveis • Objetivo de um modelo estável: definir conjunto de crenças consistentes para um agente racional • Rd(P,M) redução definida Rd de um programa lógico normal P com respeito a um modelo (ou hipótese) M: • proposicionalização ground(P) menos: • as regras de P tendo como premissa a negação de um elemento de M • as premissas negadas das regras restantes • Justificativa da redução: • Na hipótese que L é verdade, regras com not L em premissa não mudam o que pode ser deduzido e pode ser tirada sem mudar semântica de P • Na hipótese que L é falso, premissas com not L não mudam o que pode ser deduzido e pode ser tirada sem mudar semântica de P • Resulta em um programa lógico definido pelo quais podem ser usada as semânticas de Herbrand e de Clark • M é um modelo estável de um programa lógico normal P sse: • M = mm(Rd(P,M)) • Se é o menor modelo de Herbrand da redução de P com respeito a ele mesmo

Modelos estáveis de programas lógicos normais: exemplo • Programa P: man(X) :- human(X), not woman(X). woman(X) :- human(X), not man(X). female(X) :- woman(X). human(roberta). • Proposicionalização ground(P). man(roberta) :- human(roberta), not woman(roberta). woman(roberta) :- human(roberta), not man(roberta). female(roberta) :- woman(roberta). human(roberta). • Redução Rd(P, {human(roberta),man(roberta)}): man(roberta) :- human(roberta). female(roberta) :- woman(roberta). human(roberta). • P tem 2 modelos estáveis mínimos: M1 = {human(roberta),man(roberta)} M2 = {human(roberta),woman(roberta),female(roberta)}

Modelos estáveis de programas lógicos normais: propriedades e limitações • Um programa lógico normal P é: • Categórico se possui um único modelo estável • Inconsistente se possui nenhum • P é consistente e sem ciclos de dependência inteiramente positivo P tem pelo menos um modelo estável • Limitações dos modelos estáveis: • dedução exponencial no tamanho da base fato • alguns programas normais sem nenhum modelo estável • Exemplo: • P= {a., b :- a. c :- not c}. • Rd(P,{a,b}) = P que não tem menor modelo mínimo de Herbrand já que não é estratificado

Programação por conjuntos de respostas • Máquinas de inferência que usam: • Programação em lógica, freqüentemente com várias extensões, como linguagem de representação do conhecimento • Proposicionalização e provadores de teoremas proposicionais para derivar modelos estáveis • Respostas as consultas diretamente lidas destes modelos

Lógica ternária: Interpretação ternária de Herbrand de uma fórmula F da lógica da 1a ordem I(F) = (I+,I-) onde I+: fatos supostos verdades da base de Herbrand de F, Bh(F) I-: fatos supostos falsos da base de Herbrand de F, Bh(F) I(F) total se I+  I- = Bh(F) I(F) consistente se I+  I- =  Ordem informacional entre interpretações ternárias: I  J sse I+  J+ e I-  J- Modelo de Herbrand ternário:M3(F) = ({q  Bh(F) | F |= q}, {r  Bh(F) | F |= r}). Interpretações ternárias de Herbrand

Semântica bem fundamentada de programas lógicos normais • R3(P,I) redução ternária R3 de um programa lógico normal P com respeito a uma interpretação de Herbrand ternária I: • proposicionalização de P com cada premissa negada substituída pelo seu valor em I • M = WFM(P) é um modelo bem fundamentado de P sse: M = M3(R3(P,M))

Semântica bem fundamentada de programas lógicos normais: exemplo • Programa P: man(X) :- human(X), not woman(X). woman(X) :- human(X), not man(X). female(X) :- woman(X). human(roberta). • Proposicionalização ground(P): man(roberta) :- human(roberta), not woman(roberta). woman(roberta) :- human(roberta), not man(roberta). female(roberta) :- woman(roberta). human(roberta). • Redução R3(P, ({human(roberta)}, {})): man(roberta) :- human(roberta), u. woman(roberta) :- human(roberta), u. female(roberta) :- woman(roberta). human(roberta). • M = ({human(roberto)},{}) = M3(R3(P, M)) = WFM(P)

Semântica bem fundada: vantagens e limitações • Vantagens do modelo bem fundado: • Dedução linear no tamanho da base de fato • Todo programa normal tem um modelo bem fundado • Exemplo: • P= {a., b :- a. c :- not c}. • R3(P,({a,b},{})) = {a., b:- c., u :- not u}. • M3(R3(P,({a,b},{}))) = ({a,b},{}) = WFM(P). • Limitações do modelo bem fundado: • Em alguns casos, deixa indefinidas valores que são deduzíveis a partir dos modelos estáveis • Exemplo: • P: {p :- not q., q :- not p., r :- p., r :- q}. • SM1(P) = {p, r}, SM2(P) = {q, r} • WFM(P) = {{},{}}

Relações entre as várias semânticasde um programa lógico normal • Se P possui um único modelo estável SM(P) então: • seu modelo bem fundado WFM(P) é total, e WFM(P) = SM(P) • Se P é estratificado então: • S possui um único modelo estável SM(P) • S possui um modelo bem fundado total WFM(P) • SM(P) = WFM(P) = mm(comp(P)).

Semântica de uma fórmula da lógica da 1 a ordem via modelo de Herbrand