Phénomènes atypiques de propagation d’ondes ultrasonores

Phénomènes atypiques de propagation d’ondes ultrasonores Bruno Morvan – Fédération Acoustique du Nord OuestLaboratoire Ondes et Milieux Complexes - Université du Havre Section Régionale du Grand Nord Ouest

Propagation d’une onde ultrasonore dans un milieu élastique • Quelques rappels………… On associe à un paquet d’ondes les grandeurs suivantes • une fréquence ou pulsation • Une longueur d’onde • Un nombre d’onde • Des vitesses de phase , de groupe

L’onde ultrasonore résulte de la propagation d’un ébranlement mécanique Dans un solide élastique, contraintes et déformations sont reliées par les constantes élastiques Analogie avec la constante de raideur d’un ressort qui relie l’élongation à la force appliquée: (En notation matricielle c1111=c11) y z x • L’équation de propagation s’écrit sous forme vectorielle : dans le cas général les trois composantes du déplacement sont couplées !! Si le milieu est isotrope, on peut découpler les composantes longitudinales et transversales. Deux modules d’élasticités c11 et c44 suffisent alors à décrire son comportement mécanique. Propagation d’une onde ultrasonore dans un milieu élastique

Y X La constante élastique c44 et la masse volumique r peuvent dépendre de x (exemple empilement de 2 matériaux différents)  k Propagation d’une onde ultrasonore dans un milieu élastique isotrope : Ondes transversales Ondes transversales polarisées perpendiculairement à la direction de propagation x. Elles vérifient l’équation de propagation Si on écrit la solution uy du déplacement de l’onde plane monochromatique sous la forme : On trouve la relation de dispersion suivante Et la vitesse des ondes transversales s’écrit (indépendant de la fréquence)

Propagation d’une onde ultrasonore dans un milieu élastique isotrope :Ondes longitudinales Y Ondes longitudinales polarisées selon la direction de propagation x. Elles vérifient l’équation de propagation Si on écrit la solution ux du déplacement de l’onde plane monochromatique sous la forme : X  On trouve la relation de dispersion suivante Et la vitesse des ondes longitudinales s’écrit k (indépendant de la fréquence)

Propagation d’une onde ultrasonore dans un milieu élastique Si les longueurs d’onde sont très supérieures à la distance interatomique alors le milieu est continu et non dispersif. Fréquence de coupure Ordre de grandeur Les distances interatomiques sont de quelques dixièmes de nm. Avec a=0.5nm et V0=5000m/s la fréquence de coupure est de 3200GHz. Le domaine de fréquence que nous considérons dans cet exposé se situe au tout début de la courbe de dispersion (au plus 10GHz). Pour l’onde le solide apparaît comme continu. Ondes non dispersives Courbes de dispersion

ky w1  kx kx w2 w3 ky k Propagation d’une onde ultrasonore dans un milieu élastique Les pentes des courbes de dispersion représentent la vitesse de groupe: c’est la vitesse de propagation du paquet d’onde. Si il n’y a pas d’atténuation, c’est également la vitesse de transport de l’énergie localisée dans le paquet d’onde. Pour un milieu non dispersif la vitesse de phase est égale à la vitesse de groupe. Milieu homogène et non dispersif: Cas 1 D: w Cas 2 D: w3 w2 w1 • Les valeurs |k|sont situées sur des cercles isofréquences. • La vitesse de groupe est normale à ces cercles.

Ondes guidées et dispersion Dans un milieu élastique borné, les interférences conduisant à un caractère dispersif sont d’origine géométrique et sont produites par des phénomènes de réflexions multiples. Exemples d’ondes guidées : Les ondes de plaque (appelées aussi ondes de Lamb, du nom de celui qui les découvrit en 1917), affectent toute l’épaisseur d’une plaque lorsque cette épaisseur est de l’ordre de quelques longueurs d’onde ; Il existe deux types de mode de Lamb possibles : Ces ondes sont des combinaisons d’ondes transverses et longitudinales

Vide Solide isotrope Vide A2 1 S2 0.8 S1 A1 Fréquence F (MHz) 0.6 0.4 S0 A0 0.2 0 0 1000 2000 3000 Nombre d’onde k (1/m) Ondes guidées et dispersion • La vitesse de propagation de ces ondes (cas d’une plaque dans le vide) est obtenue en écrivant les conditions de frontières vide/solide. • Ceci conduit pour les modes symétriques à l’équation de dispersion suivante: E • On observe la présence dans les équations d’un facteur FE qui est le produit fréquence*épaisseur. • Il apparaît ainsi un nouveau phénomène : la vitesse de phase des ondes de plaque dépend de la fréquence.

Ondes guidées et dispersion On s’intéresse à l’onde S1 qui présente une courbe de dispersion particulière ….. 1 0.8 S1 Fréquence F (MHz) 0.6 0.4 0.2 0 0 1000 2000 3000 Nombre d’onde k (1/m)

1 0.8 S1 Frequence F (MHz) 0.6 0.4 0.2 0 0 1000 2000 3000 Nombre d’onde k (1/m) Ondes guidées et dispersion

Ondes guidées et dispersion 1 0.8 S1 Frequence F (MHz) 0.6 0.4 0.2 0 0 1000 2000 Nombre d’onde k (1/m)

Ondes guidées et dispersion Vitesse de phase et longueur d’onde infinies !! 1 0.8 S1 Frequence F (MHz) 0.6 0.4 0.2 0 0 1000 2000 Nombre d’onde k (1/m)

Signal temporel Une application de l’onde à vitesse de groupe nulle 1 S1 0.8 Frequence F (MHz) 0.6 0.4 0.2 0 0 1000 2000 3000 Nombre d’onde k (1/m) La vibration locale d’une plaque excitée par impulsion laser est dominée par la résonance ZGV (zero group velocity), celle-ci décroît très lentement en fonction du temps. Durée 4ms pour un signal de fréquence de l’ordre de 6MHz !!

Les variations d’épaisseur d’une plaque d’aluminium corrodée sont déterminées avec une grande précision grâce à la mesure de cette fréquence ZGV. Une application de l’onde à vitesse de groupe nulle Très grande précision sur la mesure de la fréquence de la résonance liée à l’onde S1 (ZGV) • La position en fréquence de la résonance du mode S1 à vitesse de groupe nulle est fonction de l’épaisseur de la plaque.

Nous verrons par la suite comment des ondes pour lesquelles les vitesses de groupe et de phase sont opposées peuvent contribuer à obtenir la réfraction négative ……. Sir Horace Lamb : 1849-1934 • LAMB : “Il est difficile d’imaginer que la notion de vitesse négative de groupe n’aura pas d’application physique importante ”

d y x Et si on considère un empilement périodique de matériaux différents??

Onde ultrasonore et milieu périodique Onde incidente Ondes transmises Ondes réfléchies 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f (MHz) Exemple : une onde longitudinale incidente sur un empilement 8 motifs aluminium et eau. Apparition de bandes interdites Coefficient de réflexion

Onde ultrasonore et milieu périodique D’où viennent ces bandes interdites et quelles sont leur influence sur les courbes de dispersion ? Il faut faire appel à la description faite par Gaston Floquet (1883) des ondes se propageant dans un milieu périodique Son célèbre théorème nous dit que les solutions de l’équation de propagation des ondes dans un milieu périodique sont elles aussi périodiques.

Onde ultrasonore et milieu périodique d y • La fonction F étant périodique, on peut la décomposer en série de Fourier x • On obtient les solutions appelées ondes de Floquet, dont le déplacement s’écrit: Théorème de Bloch-Floquet • Solution de la forme avec le théorème de Floquet qui impose

Onde ultrasonore et milieu périodique Théorème de Bloch-Floquet d Un système d’équations linéaires est obtenu en substituant la solution du déplacement des ondes de Floquetdans l’équation de propagation. L’équation caractéristique du système nous donne la relation de dispersion qui relie la pulsation  et le nombre d’onde k de l’onde de Floquet. y x c11 d x r x

Onde ultrasonore et milieu périodique • Reprenons la courbe de dispersion d’une onde élastique longitudinale ou bien transversale dans un milieu homogène non-dispersif.  Onde se propageant suivant les x>0 Onde se propageant suivant les x<0 k Théorème de Bloch : Si le système est périodique, les valeurs du vecteur d'onde doivent l'être aussi

Onde ultrasonore et milieu périodique Translation de Reprenons la courbe de dispersion d’une onde élastique longitudinale ou bien transversale dans un milieu homogène non-dispersif  k Théorème de Bloch : Si le système est périodique, les valeurs du vecteur d'onde doivent l'être aussi

Onde ultrasonore et milieu périodique  k En réalité, ce n’est pas tout à fait ce qu’on obtient lorsqu’on résout l’équation caractéristique du système :

Onde ultrasonore et milieu périodique  k En réalité, ce n’est pas tout à fait ce qu’on obtient lorsqu’on résout l’équation caractéristique du système : 1ère zone de Brillouin Le croisement des courbes de dispersion introduit un couplage des ondes.

Onde ultrasonore et milieu périodique On passe continûment d’une branche correspondante à une onde se propageant suivant les x>0 à celle d’une onde se propageant suivant les x<0 . Couplage de deux ondes contra-propagatives!  k Onde se propageant suivant les x>0 Onde se propageant suivant les x<0 Cette structure composée d'un empilement multicouche est également appelée « miroir de Bragg ».

Onde ultrasonore et milieu périodique Lord Rayleigh (1842-1919) La structure périodique à une dimension est la forme la plus simple d’un cristal phononique. C'est Lord Rayleigh en 1887 qui a le premier montré que l'on pouvait ainsi produire un gap ou bande interdite. On peut généraliser à des milieux à 2 ou trois dimensions

Onde ultrasonore et milieu périodique  k ky kx M G X • Repliement des courbes de dispersion Réseau direct Réseau réciproque Courbes de dispersion d 1 D k x 2 D Réalisation expérimentale: tubes de duraluminium dans une matrice époxy.(Vasseur et al., J. Phys.: Condens. Matter, 10, 6051, 1998)

Onde ultrasonore et milieu périodique • Ondes à vitesses de groupe et de phase opposées et conséquence des lois de la réfraction. Loi de Snell-Descartes Avec k1>0 et k2>0 w ω= ω1 Les flèches indiquent le sens des rayons q1 w2 Sens de propagation Vg>0 w1 q2 k Cristal phononique Vg>0 et vf>0

Onde ultrasonore et milieu périodique • Ondes à vitesses de groupe et de phase opposées et conséquence sur les lois de la réfraction. Loi de snell-Descartes Vg>0 et vf<0 Avec k1>0 et k2<0 w ω= ω2 Les flèches indiquent le sens des rayons q1 w2 Sens de propagation Vg>0 w1 q2 k Cristal phononique

Onde ultrasonore et milieu périodique p=180µm E=4.54mm A0 =8mm 0.4 S0 Frequency F (MHz) A1 0.35 0.3 0 100 200 300 400 Wavenumber k (1/m) • On peut réaliser également des guides d’ondes périodiques…….

Les applications Onde telle que vg<0 et vf>0 w Superlentillecape d’invisibilité…………. Bande interdite GuidesFiltresMiroirs acoustiques Démultiplexage…………. k

Bandes interdites et filtrage Comme souvent l’artiste précède le scientifique…….. Sculpture de Eusebrio Sempere 1995 (Juan March Fondation à Madrid) Forte atténuation du son autour de la fréquence 1.67 kHz dans la direction X. Réseau 2D de cylindres d’acier dans l’air r=1.45cm a=10cm f=0.066 r a

Bandes interdites et filtrage • On diminue les dimensions du cristal et on augmente la fréquence….. Bande interdite entre 203 et 226 MHz Coefficient de transmission avec et sans cristal phononique.

Bandes interdites et guidage L’existence de bandes interdites avec des très forts contrastes d’impédance permet de réaliser des guides d’onde acoustiques très confinés.

Bandes interdites et multiplexage/démultiplexage Signal fréquence F1 Signal fréquence F1+Signal fréquence F2+Signal fréquence F1+……. Signal fréquence F1 Signal fréquence F1 ……..

Bandes interdites et multiplexage/démultiplexage • Deux guides d’ondes sont couplés par des cavités dans un Cristal Phononique composé de cylindres d’acier de diamètre 2.5mm dans de l’eau.

Ensuite, on créé une bande interdite dans ce guide • Enfin on couple deux guides Bandes interdites et multiplexage/démultiplexage • Tout d’abord, on fabrique un guide d’onde

Bandes interdites et multiplexage/démultiplexage Onde plane à la fréquence F=290kHz • À une fréquence F=290kHZ, l’onde guidée est déviée du port 1 au port 3. Une opération de démultiplexage est donc réalisée.

Réfraction négative dans un fluide Onde telle que vg>0 et vf<0 Le réseau phononique immergé dans l’eau est constitué de cylindres d’acier de diamètre 1.02mm assemblés en un réseau triangulaire de constante de réseau 1.27mm.

Image source Réfraction négative et superlentille • Utilisation de la réfraction négative pour réaliser une « lentille parfaite ». Au-delà du cristal phononique, on retrouve l’image de la source avec une résolution de 0.5l. Ce type de lentille autorise des résolutions inférieures à la limite de diffraction (de l’ordre de l/2) !!! Source linéique de fréquence 0.55MHz

Réfraction négative dans un solide Bloc d’aluminium dans lequel sont percés des trous de diamètre 3.2mm espacés d’une distance a=3.9mm Le diagramme de bande du cristal phononique fait apparaître une bande de fréquence pour laquelle on peut observer de la réfraction négative

Réfraction négative dans un solide Transducteur ondes transversales de fréquence centrale 500 kHz q

Réfraction négative dans un solide

Cape d’invisibilité

Cape d’invisibilité Coque dont la densité (qui est tensorielle!) et le module de compressibilité sont définis de telle sorte qu’une onde acoustique incidente traverse l’objet sans être diffusée. Ce méta-matériau possède entre autres des propriétés de réfraction négative.

MERCI DE VOTRE ATTENTION……

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