1 / 8

2.1 HUKUM PENGGANDAAN Teorema: [Hukum penggandaan]

BAB 2. KOMBINATORIKA. 2.1 HUKUM PENGGANDAAN Teorema: [Hukum penggandaan]

holleb
Télécharger la présentation

2.1 HUKUM PENGGANDAAN Teorema: [Hukum penggandaan]

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB 2. KOMBINATORIKA • 2.1 HUKUM PENGGANDAAN • Teorema: [Hukum penggandaan] • Jika operasi pertama dapat dilakukan dengan n1 cara dan setiap cara dapat dilanjutkan dengan operasi kedua yang dapat dilakukan dengan n2 cara, dan seterusnya sampai sederetan k buah operasi, maka operasi tersebut dapat dikerjakan secara bersama-sama dengan • n1 ×n2 ×n3 × … ×nk cara ………. Operasi-2 Operasi-k Operasi-1 n1 cara n2 cara nk cara n1 ×n2 ×n3 × … ×nk cara • Contoh: • 1. Misalkan dalam suatu ujian disediakan 5 soal tipe Benar Salah. Ada berapa cara kelima soal tersebut dapat dijawab. • 2. Disediakan tiga angka, yaitu 4, 5 dan 6. Tentukan berapa banyak bilangan puluhan yang dapat dibentuk, jika setiap angka hanya boleh digunakan satu kali.

  2. 2.2 HUKUM PENJUMLAHAN • Teorema: [Hukum penjumlahan] • Jika suatu operasi dapat diselesaikan dengan k alternatif, alternatif pertama dapat dilakukan dengan n1 cara ,alternatif kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, dan seterusnya sampai alternatif ke-k dengan nk cara, maka operasi tersebut dapat dikerjakan dengan • n1 + n2 + n3 + … + nk cara Operasi ………. Alternatif-1 Alternatif-k Alternatif-2 n1 cara n2 cara nk cara n1 + n2 + n3 + … + nk cara • Contoh: Misalkan dalam suatu ujian disediakan 3 soal tipe Benar-Salah. Dari 3 soal cukup dikerjakan 2 soal saja. Ada berapa cara kedua soal tersebut dapat dijawab? • 2.3 PERMUTASI • Definisi: [Permutasi] • Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan objek yang dipilih sebagian atau seluruhnya. • Catatan: • 1. Urutan diperhatikan dalam permutasi. • 2. Permutasi merupakan bentuk khusus dari hukum • penggandaan

  3. Teorema: • Jika ada n benda yang berbeda, maka banyaknya susunan yang berbeda (permutasi) dari n benda tersebut adalah • P(n,n) = n! = n× (n-1) × (n-2) × … × 2× 1. ………. Tempat-2 Tempat-n Tempat-1 1 cara n cara n-1 cara n× (n-1) × (n-2) × …× 2 × 1 cara • Catatan: • 1.P(n,n) dibaca permutasi tingkat n dari n. • 2. 0! = 1. • Teorema: • Jika benda sejenis tidak dibedakan, banyaknya permutasi dari n benda, dengan n1 benda memiliki jenis pertama, n2benda memiliki jenis kedua, dan seterusnya hingga nkbenda memiliki jenis ke k adalah • dengan n1+ n2 + … + nk= n. • Teorema: • Banyaknya permutasi dari n benda yang berbeda, jika diambil r benda sekaligusadalah • Catatan: P(n,r) dibaca permutasi tingkat r dari n.

  4. Bukti: ………. Tempat-2 Tempat-r Tempat-1 n -r + 1 cara n cara n-1 cara n× (n-1) × (n-2) × … × (n-r+1) cara • Contoh: • 1. Terdapat 3 buah buku matematika, 4 buah buku fisika dan 5 buah buku kimia. Buku-buku tersebut akan disusun memanjang dalam suatu rak buku. Tentukan banyak cara yang mungkin: • a. jika semua buku dibedakan, • b. jika semua buku harus dikelompokkan dan dibedakan, • c. jika semua buku harus dikelompokkan dan dibedakan, tetapi kelompok buku matematika harus diletakkan paling awal, • d. jika buku yang sama tidak dibedakan (buku matematika dan fisika semua berbeda, sedangkan buku kimia terdiri dari 3 buku Kimia I dan dua buku Kimia II). • 2. Empat orang siswa akan membentuk suatu grup musik • dengan alat musik: gitar, piano, drum dan keyboard. Ada • berapa formasi grup musik yang dapat dibentuk: • a. jika setiap siswa dapat memainkan keempat alat musik tersebut, • b. jika siswa A hanya dapat bermain piano atau gitar, • sedangkan ketiga temannya dapat memainkan semua • alat musik, • c. jika siswa A dan B hanya dapat bermain piano atau gitar, sedangkan kedua temannya dapat memainkan semua alat musik.

  5. 2.4 PERMUTASI MELINGKAR • Definisi: [Permutasi melingkar] • Permutasi melingkar adalah susunan melingkar yang dapat dibuat dari sekumpulan objek yang diambil seluruhnya atau sebagian. • Catatan: • 1. Permutasi melingkar hanya mempertimbangkan perbedaan posisi relatif suatu objek dengan objek di sebelah kanan dan kirinya. • 2. Permutasi melingkar susunan berikut ABC, BCA dan CAB adalah sama. C B A C B A A B C • 3. Jika ximelambangkan benda ke-i, maka n permutasi • berikut • x1x2 x3 … xn-2xn-1xn • x2x3x4 … xn-1xn x1 • x3x4x5 … xn x1x2 •  • xn x1x2 … xn-3xn-2xn-1 • dianggap sebagai satu permutasi melingkar saja.

  6. Teorema: • Banyaknya permutasi melingkar dari n benda yang berbeda adalah • Contoh: Terdapat 15 balok yang terdiri atas: 6 balok putih, 4 balok merah, 3 balok biru dan 2 balok hitam. Balok-balok tersebut akan disusun melingkar. Tentukan banyaknya cara: • a.jika semua balok dibedakan. • b. jika balok sewarna dibedakan dan harus dikelompokkan. • c. jika balok sewarna dibedakan dan harus dikelompokkan, serta kelompok putih harus bersebelahan dengan kelompok merah. • 2.5 KOMBINASI • Definisi: [Kombinasi] • Kombinasi adalah kelompok yang dapat dibentuk dari sekumpulan objek yang dipilih sebagian atau seluruhnya. • Catatan: urutan tidak diperhatikan dalam kombinasi • Teorema: • Banyaknya kombinasi dari n benda yang berbeda jika dipilih sebanyak r benda adalah:

  7. Teorema: • Banyaknya cara membagi n benda yang berbeda ke dalam k buah sel, di mana sel pertama mempunyai kapasitas n1 benda, sel kedua mempunyai kapasitas n2 benda, dan seterusnya sampai sel ke-k mempunyai kapasitas nkbenda, serta urutan benda dalam tiap sel tidak diperhatikan adalah : di mana n1 + n2 +…+ nk= n. n benda Bukti: Sel-1 Kapasitas n1 Sel-2 Kapasitas n2 Sel-k Kapasitas nk ………. cara cara cara cara • Teorema: • Jika ada n benda akan disebar ke k buahtempat, maka ada sebanyak kn cara penyebarannya. • Catatan: Pada teorema di atas tidak terdapat batasan untuk kapasitas tempat.

  8. Contoh: • 1. Dalam ujian Matematika, mahasiswa diharuskan menjawab dan memilih 10 dari 12 soal yang diberikan. Tentukan: • a.banyaknya pilihan berbeda yang mungkin. • b.banyaknya pilihan berbeda yang mungkin jika 3 soal pertama harus dijawab. • c.banyaknya pilihan berbeda yang mungkin jika paling sedikit 3 dari 5 soal pertama harus dijawab. 2. Ada 3 guru dan 12 siswa yang akan pergi bertamasya dengan menggunakan 3 mobil. Mobil pertama, kedua dan ketiga masing-masing berkapasitas 4, 6 dan 5 orang. Tentukan banyaknya cara untuk: a.mengalokasikan ke 15 orang tersebut ke dalam mobil. b.mengalokasikan ke 15 orang tersebut ke dalam mobil, jika di setiap mobil harus ada guru. c.mengalokasikan ke 15 orang tersebut ke dalam mobil, jika siswa A dan B harus berada dalam satu mobil. 3. Tiga buah kelereng akan disebar ke dua kotak. a. Tentukan banyaknya penyebaran yang mungkin. b. Tentukan banyaknya penyebaran yang mungkin, jika setiap kotak harus terisi paling sedikit 1 kelereng. 4. Empat orang guru akan ditempatkan pada 2 sekolah. a. Tentukan ada berapa cara penempatan. b. Tentukan ada berapa cara penempatan, jika setiap sekolah minimal mendapat 1 guru. c. Tentukan ada berapa cara penempatan, jika masing- masing sekolah mendapat 2 guru.

More Related