1 / 19

SISTEM PERSAMAAN LINIER

SISTEM PERSAMAAN LINIER. DOSEN PEMBIMBING GISOESILO ABUDI. SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL). Bentuk umum :. dimana x 1 , x 2 , . . . , x n variabel tak diketahui, a ij , b i , i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.

iago
Télécharger la présentation

SISTEM PERSAMAAN LINIER

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. SISTEM PERSAMAAN LINIER DOSEN PEMBIMBING GISOESILO ABUDI

  2. SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL) Bentukumum : dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. TUNGGAL Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN BANYAK SPL Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN

  3. ILUSTRASI GRAFIK • SPL 2 persamaan 2 variabel: • Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini. kedua garis berhimpitan kedua garis sejajar kedua garis berpotongan

  4. PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS SPL BENTUK MATRIKS STRATEGI MENYELESAIKAN SPL: mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang lebih sederhana.

  5. TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN PENYELESAIAN SPL • SPL • Mengalikan suatu persamaan • dengan konstanta tak nol. • 2. Menukar posisi dua • persamaan sebarang. • 3. Menambahkan kelipatan suatu • persamaan ke persamaan • lainnya. • MATRIKS • Mengalikan suatu baris • dengan konstanta tak nol. • 2. Menukar posisi dua baris • sebarang. • 3. Menambahkan kelipatan suatu • baris ke baris lainnya. Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk seder- hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris

  6. kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii). kalikan pers (i) dengan (-2), kemu- dian tambahkan ke pers (ii). kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii). kalikan pers (i) dengan (-3), kemu- dian tambahkan ke pers (iii). kalikan baris (ii) dengan (1/2). kalikan pers (ii) dengan (1/2). CONTOH …………(i) …………(ii) …………(iii) DIKETAHUI

  7. kalikan pers (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke pers (iii). kalikan brs (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke brs (iii). kalikan pers (iii) dengan (-2). kalikan brs (iii) dengan (-2). kalikan baris (ii) dengan (1/2). kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i). kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i). kalikan pers (ii) dengan (1/2). LANJUTAN CONTOH

  8. kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i). kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i). Lanjutan CONTOH kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii) kalikan brs (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (ii) Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan METODA ELIMINASI GAUSS.

  9. BENTUK ECHELON-BARIS Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut: maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi. Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb: 1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1. 2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah. 3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading 1 baris berikut. 4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.

  10. Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut bentuk echelon-baris. CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi: CONTOH bentuk echelon-baris:

  11. Bentuk umum echelon-baris dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.

  12. Bentuk umum echelon-baris tereduksi dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.

  13. Penyelesaian SPL melalui bentuk echelon-baris Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb: Tentukan penyelesaian masing-masing SPL di atas.

  14. METODA GAUSS-JORDAN Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah matriks ke dalam bentuk echelon-baris tereduksi. CONTOH: Diberikan SPL berikut. Bentuk matriks SPL ini adalah:

  15. -2B1 + B2B2 5B2+B3 B3 B4 B4+4B2 B3 ⇄ B4 B3B3/3 -3B3+B2B2 2B2+B1B1

  16. Akhirnya diperoleh: Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperoleh penyelesaian: dimana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian.

  17. METODA SUBSTITUSI MUNDUR Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut: Bentuk ini ekuivalen dengan: LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh: LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh

  18. LANJUTAN SUBSTITUSI MUNDUR LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh: LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-jaan substitusi selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:

  19. Eliminasi Gaussian Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan substitusi mundur. CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut: Dengan menggunakan OBE diperoleh bentuk echelon-baris berikut:

More Related