1. Kvadratne funkcije BegzadaKišić

2. Kvadratne funkcije su funkcije oblika y=ax2+bx+c, gdje su a,b,c realni brojevi i a≠0 • Definisane su za sve realne vrijednosti x • Prvo ćemo ispitivati funkcije oblika y=ax2 , b=0 i c=0 • Funkcije imaju dvostruku nulu x=0

3. za a=1 imamo y=x2

4. za a=2 imamo y=2x2

5. za a=½ imamo y= ½x2

6. za a=-1 imamo y=-x2

7. za a=-2 imamo y=-2x2

8. za a=- ¼imamo y=- ¼x2

9. zaključak • Grafik funkcije y=ax2 je parabola sa tjemenom u tački T(0,0) • Za a>0 funkcija u tjemenu ima minimum parabola je otvorena prema gore • Za a<0 funkcija u tjemenu ima maksimum parabola je otvorena prema dolje • Funkcija ima znak parametra a • Tok funkcije mijenja se u tjemenu

10. Sada ćemo ispitivati funkcije oblika y=ax2+c , b=0 • Vrijednosti funkcije su za c veće ili manje od vrijednosti funkcije y=ax2

11. za a=1 i c=-5 imamo y=x2-5

12. za a=1 i c=3 imamo y=x2+3

13. za a=-1 i c=6 imamo y=-x2+6

14. za a=-1 i c=-2 imamo y=-x2-2

15. zaključak • Parametar c pomjera grafik funkcije y=ax2 , prema gore ako je c>0 a prema dolje kad je c<0 • Tjeme parabole se pomjera duž ose y i ima koordinate T(0,c) • Za a>0 i c>0 funkcija je uvijek pozitivna • Za a<0 i c<0 funkcija je uvijek negativna • Funkcija mijenja znak, grafik siječe osu x, kad su parametri a i c suprotnog predznaka

16. Posmatrajmo funkcije oblika y=a(x-x0)2, a≠0 • Ove funkcije imaju dvostruku nulu x= x0, a to će biti tačka u kojoj grafik dodiruje osu x • Za x ≠ x0 funkcija ima znak parametra a

17. za a=1 i x0=4 imamo y=(x-4)2

18. za a=1 i x0=-3 imamo y=(x+3)2

19. za a=-1 i x0=3 imamo y=-(x-3)2

20. za a=-1 i x0=-2 imamo funkciju y=-(x+2)2

21. zaključak • Parametar x0 pomjera parabolu duž ose x • Tjeme parabole se takođe pomjera duž ose x i ima koordinate T(x0,0) • Funkcija ne mijenja znak , on zavisi samo od parametra a

22. Posmatrajmo funkcije oblika y=a(x-x0)2+y0, a≠0 • Parametar y0 će grafik funkcije y=a(x-x0)2, a≠0 pomjerati prema gore kad je y0>0, a prema dole za y0<0

23. y=(x-3)2,y=(x-3)2+2,y=(x-3)2-3

24. y=-(x+2)2,y=-(x+2)2+1,y=-(x+2)2-3

25. zaključak • Tjeme parabole ima koordinate T(x0, y0) • Funkcija nema nula i ne mijenja znak kad su a i y0 istog predznaka • Funkcija ima dvije realne i različite nule kad su a i y0 suprotnog predznaka i u tim tačkama mijenja znak

26. Neka je data funkcija y=ax2+bx+c, a≠0 • Da bismo skicirali njen grafik (parabolu) potrebne su nam karakteristične tačke: - Nule funkcije tražimo iz uslova y=0 - Tačku u kojoj grafik siječe osu y tražimo iz uslova x=0 - Tjeme možemo odrediti ako funkciju svedemo na oblik y=a(x-x0)2+y0

28. Koordinate tjemena možemo odrediti i na drugi način • Kako je parabola simetrična u odnosu na pravu koja prolazi kroz tjeme paralelno osi y apscisa tjemena xT je aritmetička sredina nula tj.

29. Dakle tjeme funkcije y=ax2+bx+c je • Primjer 1. y=2x2-8x+6 a=2, b=-8, c=6 • Nule: 2x2-8x+6=0, D=16 x1=1, x2=3 (1,0) i (3,0) • Presjek sa osom y: x=0,y=6 (0,6) • Tjeme: T(2,-2)

30. y=2x2-8x+6

31. Osobine kvadratne funkcije y=2x2-8x+6 određujemo sa grafika • Funkcija je definisana za sve realne brojeve • Grafik je parabola otvorena prema gore, funkcija ima minimum ymin=yT=-2 • Funkcija opada za xє(-∞,2), a raste za xє(2,+∞) • Funkcija ima realne i različite nule i u njima mijenja znak: y>0 za xє(-∞,1) i xє(3,+∞) y<0 za xє(1,3) • Vrijednosti funkcije (kodomen) su yє[-2, ∞)

32. Zadaci po grupama • GRUPA I • Odredi karakteristične tačke funkcije y=2x2-4x-6, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

33. GRUPA II • Odredi karakteristične tačke funkcije y=-x2+4x-3, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

34. GRUPA III • Odredi karakteristične tačke funkcije y=-3x2+6x-5, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

35. GRUPA IV • Odredi karakteristične tačke funkcije y=x2-6x+9, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

36. GRUPA V • Odredi karakteristične tačke funkcije y=-2x2+6x, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

37. GRUPA VI • Odredi karakteristične tačke funkcije y=x2+4x+5, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

38. Rješenje grupe I

39. Rješenje grupe II

40. Rješenje grupe III

41. Rješenje grupe IV

42. Rješenje grupe V

43. Rješenje grupe VI

44. a>o funkcija ima minumum ymin=yT f-ja opada za x<xT, a raste za x>xT za D>0 funkcija mijenja znak u nulama y>0 za xє(-∞, x1 )υ(x2,+∞) y<0 za xє(x1,x2) za D=0 funkcija ima dvostruku nulu za D<0 y>0 za svako x a<0 funkcija ima maksimum ymax=yT f-ja raste za x<xT, a opada za x>xT za D>0 funkcija mijenja znak u nulama y<0 za xє(-∞, x1 )υ(x2,+∞) y>0 za xє(x1,x2) za D=0 funkcija ima dvostruku nulu za D<0 y<0 za svako x Osobine kvadratne funkcije y=ax2+bx+c, a≠0

45. HVALA NA PAŽNJI!