Distribucio bidimensional

1. Distribuciobidimensional Variables bidimensionals Núvol de punts Covariància Correlació. Coeficient de correlació La recta de regressió

2. Variables Bidimensionals Quans’estudiensimultaneamentduescaracterístiquesd’unamateixapoblació, se diu que tenim una variable estadística bidimensionalla qual es representa pelparell (X,Y) On, X e Y son variables unidimensionals.

3. Tabulació de la variable bidimensional La tabulaciód’aquestes variables es fa en lo que s’anomenataula de doble entrada, quan es tractad’una variable quantitativa. En aquesta taula tenim: Elsvalors de la variable X, amb les seuesfreqüencies Elsvalors de la variable Y, amb les seuesfrqüencies Les freqüenciesabsolutes conjuntes del parell (X,Y)

4. Distribucionsmarginals • D’aquesta taula es podemtraure el que s’anomendistribucionsmarginals, que son les distribucionsunidimensionals X e Y

5. Diagrama de dispersió o núvol de punts • El núvol de punts es un diagrama gràfic que permet vore les regularitats que hi ha en les dades observades. • Es posa la variable X al eix horizontal i la variable Y al eix vertical, i es dibuixen tants punts com vegades es donen juntes ambdues variables, apareixent el següent gràfic:

6. Covàriancia (variància conjunta) • S’anomena covàriancia d’una variable bidimensional a la mitjana aritmètica dels productes de les desviacions de cadascuna de les variables respecte de les mitjanes respectives. Tè l’expressió:

7. La covariància indica el sentit de la relació entre les dos variables: • Si es positiva, indica una correlació directa • Si es negativa indica una correlació indirecta • Si es 0 indica que no hi ha relació entre les variables.

8. Exemple Les notes de 12 alumnes d’una clase en matemàtiques i físiques son: Calcula la covariància

9. Càlcul de la covariància Desprès de tabular les dades calculem les mitjanes aritmètiques

10. Exercici Els valors de dues variables X e Y es distribueixen segons la següent taula: Calcula la covariància

11. En primer lloc, transformem la taula de doble entrada en taula simple i calculem les mitjanes marginals:

12. Exercici

15. Correlació • S’anomena correlació la “relació o dependència que hi ha entre les dues variables que intervenen en una distribució bidimensional. • La correlació ve determinada per la covariància. Aquesta com hem vist abans indica el sentit de la relació entre les dos variables: • Si es positiva, indica una correlació directa • Si es negativa indica una correlació indirecta • Si es 0 indica que no hi ha relació entre les variables.

16. Tipus de correlació • Aquestarelaciópot ser: • Lineal o curvilíniasegons si el núvol de punts es condensa al voltantd’unalinea recta o d’unacorba • Directa o positiva quan es creixent. En cas contrari es diuinversa o negativa. La correlació es nul.laquan no hi ha relació entre ambdues variables, en aquest cas, elspunts es trobenescampats • Funcional, quanelspuntss’ajusten a una funció. En cas contrari es pot parlar de dèbilo fortasegons la tendencia que tinguen elspuntsd’ajustar-se a una funció

18. El coeficient de correlació • EL coeficient de correlació de pearsonés un paràmetre que serveix per a mesurar el grau de relació lineal que hi ha entre les dues variables unidimensionals que formen partd’una variable bidimensional. Es calcula fent:

19. Propietats del coeficient de correlació • El coeficient de correlació es un valor compreso entre -1 i 1 • Quan el seu valor és • próxim a -1, la seua correlació es inversa i forta • próxim a 1, la seua correlació es directa i forta • próxim a 0, la correlació és dèbil • -1, i 1, hi ha dependència funcional

21. Exemple Les notes de 12 alumnes d’una clase en matemàtiques i físiques son: Calcula el coeficient de correlació

22. Com el coeficient de correlació es positiu, hi ha correlació directa.I com el coeficient d ecorrelació es proper de 1, hi ha correlació forta

23. Exercici Els valors de dues variables X e Y es distribueixen segons la següent taula: Calcula el coeficient de correlació

24. Coeficient de correlació Com el coeficient de correlació es negatiu, la correlació es inversa. Ademés, com el coeficient de correlació està propoet de 0, la correlació és dèbil, es a dir, hi ha poca relació entre les dues variables.

25. Exercici

28. Exercici

31. La recta de regressió • Quan entre les dues variables hi ha una forta correlació, el núvol de punts es condensa al voltant d’una recta anomenada recta de regressió.

32. Hi ha dues rectes de regressió, dependent de quina variable és pre com variable dependient. • Ambdues rectes es tallen en el punt anomenat centre de gravetat o de masses • Si Y es la variable dependent, tenim: • Si X es la variable dependent, tenim:

33. Exemple Les notes de 12 alumnes d’una clase en matemàtiques i físiques son: Calcula la recta de regressió

34. Calculem les mitjanes, les variàncies i la covarància A partir d’aquestes dades calculem les rectes de regressió:

35. Finalment dibuixem: