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MATHÉMATIQUES DISCRÈTES Chapitre 4 (sec 4-5)

MATHÉMATIQUES DISCRÈTES Chapitre 4 (sec 4-5). François Meunier DMI. Pourquoi les Probabilités?. Dans plusieurs situations nous ne pouvons savoir avec exactitude si une proposition est vraie ou fausse.

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MATHÉMATIQUES DISCRÈTES Chapitre 4 (sec 4-5)

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  1. MATHÉMATIQUESDISCRÈTES Chapitre 4 (sec 4-5) François Meunier DMI

  2. Pourquoi les Probabilités? • Dans plusieurs situations nous ne pouvons savoir avec exactitude si une proposition est vraie ou fausse. • En théorie des probabilités nous pouvons raisonner sur des propositions avec un degré d’incertitude. • Les probabilités sont utilent pour pondérer des informations (évidence), diagnostiquer les problèmes, et analyser des situations où tous les détails ne sont pas connus. • Applications en informatique: Réseautique, algorithmes aléatoires, algorithmes génétiques …

  3. Expérimentation & Espace d’échantillonnage • Quand nous effectuons une expérimentation comme: lancer un cinq ¢, lancer un dé, sélectionner deux étudiants aléatoirement à partir d’une classe de 20 pour faire la promotion des programmes du DMI, un ensemble de toutes les possibilités de combinaisons de 2 étudiants est un espace d’Échantillonnage ou un espace de probabilité. • Espace d’échantillonage = Domaine d’une Variable aléatoire

  4. Evénements (observations) • Un événementE est n’importe quels sous-ensembles de résultats de l’ensemble fondamental S… • En fait: E S • Ex: L’événement “moins que 25 étudiants viennent au prochain cours de PIF1005” est représenté par l’ensemble {1, 2, …, 24} de valeurs de la variable V = (# d’étudiants dans le prochain cours). • V peut prendre une valeur entre 1 et 24

  5. Probabilité • La probabilitép = Pr[E]  [0,1] d’un événement E est un nombre réel représentant le degré de certitude que E survienne. • Si Pr[E] = 1, alors E surviendra sûrement, • Si Pr[E] = 0, alors E ne surviendra pas, • Si Pr[E] = ½, alors E a autant de chance de survenir que non (incertitudemaximale). • Comment interpréter d’autres valeurs de p?

  6. Quatre Définitions (Probabilité) • Quatre approches pour exprimer les probabilités : • Fréquentiste, Bayesien, Laplacien, Axiomatique • Chacune des approches a ses forces et faiblesses. • Mais, peuvent dans la majorité des cas interagir entre elles.

  7. Probabilité: Laplacien • Supposons d’abord que chacune des observations provenant de l’espace d’échantillonnage sont équiprobables. • Donc, la probabilité d’un événement E est donnée par, Pr[E] = |E|/|S|. • Problèmes: Besoin de définir la notion de probabilité d’occurrence équiprobable, et dépend de l’existence d’un espace fini S dans lequel toutes les observations dans S sont équiprobables.

  8. Exemple • Quelle est la probabilité qu’une main de 5 cartes de Poker contienne exactement un as? • Il existe 4 (1 as/ sorte) façons de spécifier un as. • Quand un as est pigé il reste alors C(48,4) façons de choisir les cartes non-as • Donc il existe 4*C(48,4) mains avec exactement un as. • Étant donné qu’il peut y avoir C(52,5) mains de probabilité d’occurrences équiprobables • Alors: 4*C(48,4)/C(52,5) = .30

  9. Exemple • Quelle est la probabilité qu’une main de Poker de 5 cartes contienne 3 as et 2 valets? (4,3) = 4 façons de piger 3 as (4,2) = 6 façons de piger 2 valets Alors 64/(52,5) = .000009234

  10. Distribution de Probabilité • Quand il existe n observations possibles x1, x2, x3, … xn et chaque observation est assignée à une probabilité p(s), avec p(s) un nombre réel positif entre 0 et 1 et la somme des p(s) donne 1, Alors: La fonction p associée à l’ensemble de tous les événements de l’espace des échantillons S est appelée une fonction de distribution de probabilité.

  11. Probabilités: Événements mutuellement complémentaires • Avec E un événement dans un espace d’échatillonnage S. • Alors, E représente un événement complémentaire, sachant que la valeur réelle de VE. • Théorême: Pr[E] = 1 − Pr[E] • La défénition Laplacienne des probabilités nous permet de prouver, avec Pr[E] = |E|/|S| = (|S|−|E|)/|S| = 1 − |E|/|S| = 1 − Pr[E].

  12. Probabilité vs. Cote (odds) • Une cote (odds) n’est pas la même chose que la probabilité • Mais sont liés. • Les cotes (odds) en faveur d’un événement E signifie que la probabilité relative de E comparée avec sont complément E. • O(E) :≡ Pr(E)/Pr(E). • Ex: si p(E) = 0.6 alors p(E) = 0.4 et O(E) = 0.6/0.4 =1.5. • La cote (odd) est en fait un ratio de 2 nombres entiers. • Ex:3/2 ou 3:2 comme le cas précédent. “3 à 2 en faveur.” • La cote (odd) contreE est: 1/O(E).

  13. Exemple 1: Balles/Urne • Supposons une urne contenant 4 balles bleu et 5 balles rouge. • An exemple d’ expérience: Brasser l’urne, prendre une balle dans l’urne ….. sans regarder. • Une variable aléatoireV: Identifie la balle choisie. • L’espace d’échantillonnage S: L’ensemble des valeurs possibles de V: • Dans ce cas, S = {b1,…,b9} • Un événementE: “La balle choisie est bleu”: E = { ______________ } • Quelles sont les odds en faveur de E? • Quelle est la probabilité de E? (Utiliser la définition de Laplace) b1 b2 b9 b7 b5 b3 b8 b4 b6

  14. Exemple 2: 7 sur 2 Dés • Expérience: Lancer 2 dés de 6-côtés. • Décrivez un espace d’échantillonnage de cette expérimentation en regard de la définition de Laplace. • Avec cet espace d’échantillonnage, représentons un événement E correspondant à: “la somme des 2 dés est 7.” • Quelle est la probabilité de E?

  15. Probabilité de l’Union des Événements • Avec E1,E2 S • Nous avons alors: Théorême:Pr[E1 E2] = Pr[E1] + Pr[E2] − Pr[E1E2] • Par le principe d’inclusion-exclusion, avec la définition de la probabilité de Laplace.

  16. Exemple • Quelle est la probabilité qu’un entier positif sélectionné de façon aléatoire à partir d’un ensemble d’entiers positifs <= 100 soit divisible par 2 ou 5? Posons E1 l’événement qu’un entier + est divisible par 2. Posons E2 l’événement qu’un entier + est divisible par 5. Alors E1∪ E2 est l’événement un entier + est divisible par 2 ou 5 et E1∩ E2l’événement un entier + est divisible par 2 et 5 ou aussi par 10. p(E1∪ E2 ) = p(E1) + p(E2) – p(E1∩ E2) = 50/100 + 20/100 – 10/100 = 3/5

  17. Événements Mutuellement Exclusifs • 2 événements E1, E2 sont mutuellement exclusifs si il sont disjoints: E1E2 =  • Notez que des événements mutuellement exclusifs ne peuvent survenir simultanément pour une expérimentation donnée. • La probabilité d’événement mutuellement exclusif: Pr[E1  E2] = Pr[E1] + Pr[E2]. • Découle de la règle de la somme en combinatoire.

  18. Ensemble Exhaustif d’Événements • Un ensemble E = {E1, E2, …} d’événements dans l’espace d’échantillonnage S est exhaustif SSI • Un ensemble exhaustif E d’événements mutuellement exclusif possède la propriété:

  19. Événements Indépendants • 2 événements E,F sont indépendants si Pr[EF] = Pr[E]·Pr[F]. • Réfère à la règle du produit qui donne le nombre de façons de faire 2 tâches indépendantes. • Exemple: Lancer un dé et un 25 ¢. Pr[(H)  (dé à 1)] = Pr[H] × Pr[dé à 1] = ½×1/6 =1/12.

  20. Probabilté Conditionnelle • Posons E,F des événements avecPr[F]>0. • Alors, la probabilité conditionnelle de E étant donné F, Pr[E|F], est définie par: Pr[E|F] :≡ Pr[EF]/Pr[F]. • Nous donne la probabilité que l’événement E survienne, si nous savons que l’événement F est déjà survenu. • SI E et F sont indépendants alors Pr[E|F] = Pr[E].  Pr[E|F] = Pr[EF]/Pr[F] = Pr[E]×Pr[F]/Pr[F] = Pr[E]

  21. Probabilité Conditionnelle • Si nous avons 2 ours – 1 blanc et un brun. • Quelle est p(2 mâles) • S = (ff, mf, fm, mm), E = (mm), P(E) = ¼ • Quelle serait cette probabilité si nous savions à priori qu’au moins 1 des 2 ours est un mâle? • E = (mm), F : un de deux est un mâle = (mf, fm, mm) • P(F) = 3/4 • E∩F = (mm) • P(E∩F) = 1/4 • P(E | F) = P(E∩F) / P(F) = ¼ / ¾ = 1/3

  22. Expérience de Bernoulli • Uneexpérience de Bernoulli est une expérience, ex: lancer une pièce de monnaie, avec deux résultats possibles, mais avec des probabilitiés différentes. • Par exemple, les probabilités de gagner le gros lot à la 6/49 ou de ne pas le gagner sont: p (gagner) = 1 / C(49,6) =1 /13983816 = 0.000000071511238420… p (perdre) = 1 - p (gagner) = 0.9999999284887615798…

  23. Expérience de Bernoulli • Formule de Bernoulli: Considérons une répétition de n expériences de Bernoulli. Chaque expérience de Bernoulli à 2 résultats possibles A, B avec les probabilités respectives p et1-p. La probabilité que A survienne k fois sur n expériences est: p k· (1-p)n-k·C (n,k ) Ex: Supposons qu’une expérience de Bernoulli consiste au lancement d’une pièce de monnaie. Quelle sont les prob. A, B, p et 1-p.

  24. Expérience de Bernoulli • A = monnaie côté “heads” B =monnaie côté “tails” p = 1-p = ½ • Ex: Quelle est la probabilité d’avoir 10 H si vous effectuez 20 lancers? P (A survient k fois sur n) = p k· (1-p)n-k·C (n,k ) (avec k = 10 et n = 20) = (1/2)10· (1/2)10·C (20,10) = 184756 / 220=184756 / 1048576 = 0.1762…

  25. Variable aléatoire • Une variable aléatoire (VA) est une fonction qui projette les observations d’un espace d’échantillonnage associé à une expérimentation sur l’ensemble des nombres réels. • Une VA assigne un nombre réel à chacun des résultats possibles d’une expérimentation.

  26. Variable aléatoire • Une variable aléatoire peut correspondre à une valeur numérique découlant d’une expérimentation non-déterministe ou un mécanisme non-déterministe générant un résultat aléatoire. • Lancer un dé et enregistrer les résultats donnent une variable aléatoire X avec un domaine et une portée {1, 2, 3, 4, 5, 6} • X (1) = 1, X(2) =2, …., X(6)=6

  27. Exemple: Variable aléatoire • Si une pièce de monnaie est lancée 4 X, l’espace d’échantillonnage de cette expérimentation aléatoire donne: S = { HHHH, HHHT,HHTH,HTHH,THHH HHTT,HTHT,THHT,THTH,TTHH, HTTT,THTT,TTHT,TTTH, TTTT}. • Pour chacune des 16 chaînes de H’s et T’s dans S, nous définissons la variable aléatoire X avec X(x1x2x3x4) : qui comptele nombre de H’s dans les 4 composantes x1, x2, x3, x4

  28. Exemple: Variable aléatoire X (HHHH) = 4 X (HHHT) = X(HHTH) = X(HTHH) = X(THHH) = 3 X (HHTT) = (HTHT) = X(HTTH) = X(THHT) = X(THTH) = X(TTHH) = 2 X (HTTT) = X(THTT) = X(TTHT) = X(TTTH) = 1 X (TTTT) = 0 ∴ Xassocie chacune des 16 chaînes de H’s et T’s dansS avec une des entiers positifs dans {0, 1, 2, 3, 4}, i.e. X est une fonction avec un domaine deS et un codomaine de R (nombres réels).

  29. Exemple: Variable aléatoire • Nous pouvons utiliser la variable aléatoire X pour exprimer la probabilité de certains événements. Comme un événement A correspondant à 2 H’s et 2 T’s. La probabilité de A est la probabilité que X=2 P(A) = P(X = 2) = 6/16 • La distribution de probabilité de X x P(X = x) 0 1/16 1 4/16 = 1/4 2 6/16 = 3/8 P(X = x) = 0 pour x ≠ 0, 1, 2, 3, 4. 3 4/16 = 1/4 4 1/16

  30. Espérance • Sachant qu’une variable aléatoire peut être décrite par sa distribution de probabilité, elle peut être caractérisée par sa moyenne/espérance, qui est une mesure de tendance centrale, et sa variance, qui est une mesure de sa dispersion par rapport à la moyenne. • La complexité moyenne en temps d’un algorithme peut être estimée par: • Espérance

  31. Espérance • La moyenne ou espérance de X est définie par: ex: quand une pièce de monnaie est lancée 4 X = 0. 1/16 + 1. 4/16 + 2. 6/16 + 3. 4/16 + 4. 1/16 0+4+12+12+4 = 2 16 i.e. l’espérance E(X) correspond à X = 2 avec une probabilité de 3/8.

  32. Variance d’une variable aléatoire • Posons Xune variable aléatoire définie sur l’espace d’échantillonnage Sx={a, b, c},où X(a)= -1, X(b)= 0, X(c)= 1 et P(X=x) = 1/3, pour x= -1, 0, 1, alors E(X) = 0. Yest une variable aléatoire définie sur l’espace d’échantillonnage Sy = {r, s, t, u, v}, où Y(r) = -4, Y(s) = -2, Y(t) = 0, Y(u) = 2, Y(v) = 4, et P(Y = y) = 1/5, pour y= -4, -2, 0, 2, 4, E(Y) = 0. • Mais, les valeurs de Y sont plus dispersées par rapport à la moyenne 0 que les valeurs déterminées par X. • La dispersion est mesurée par la variance, dénotée par σ2x.

  33. Variance d’une variable aléatoire σ2x= Var(x) = E(X – E(X))2 =∑(x –E(X))2 .P(X = x) • Supposons que la distribution de probabilité de X est x P(X = x) 1 1/5 E(X) = 17/5 3 2/5 σ2x= 66/25 4 1/5 et l’écart-type de X 6 1/5. σx= 1.62

  34. Espérance et Variance • Lancer d’une pièce de monnaie 4 X x P(X = x) E(X) = 2 0 1/16 et 1 4/16 = 1/4 σx = 1 2 6/16 = 3/8 3 4/16 = 1/4 4 1/16

  35. Espérance VS complexité computationnelle moyenne • Le calcul de la complexité computationnelle d’un algorithme correspond au calcul de l’espérance d’une variable aléatoire. • Supposons l’ensemble fondamental d’une expérience est l’ensemble des entrées possibles aj pour j=1,2,3,….n. • Supposons que la variable aléatoire X associe aj aux nombres d’opérations utilisées par l’algorithme quand aj est l’entrée. • Avec aj connu, un probabilité p(aj) peut alors être attribuée à chaque valeur d’entrée aj.

  36. Espérance VS complexité computationnelle moyenne • La complexité moyenne de l’algorithme est: E(X) =  p(aj) X(aj) pour j = 1,2,3, …n • Cette expression correspond à l’expérance de X

  37. Complexité computationnelle moyenne: fouille linéaire • Soit un élément x et une liste de n nombres réels distincts. • Supposons que la probabiltié que x se trouve dans la liste est p. • Supposons que la probabilité que x soit dans une des n positions de la liste est 1/n. • Les nombres d’entrées différentes est n+1, n nombres dans la liste et un qui n’est pas dans la liste.

  38. Complexité computationnelle moyenne: fouille linéaire • 2i + 1 comparaisons sont utilisées pour localiser x à la position i (x correspond àai) • 2n + 2 comparaisons sont utilisées si x n’est pas dans la liste. • La probabilité que x=ai est p/n, la probabilité que x soit dans la liste ET (règle du produit) que x soit à la position i: p X 1/n. • La probabilité que x ne soit pas dans la liste est q = 1-p.

  39. Complexité computationnelle moyenne: fouille linéaire • La complexité moyenne de l’algo. de fouille linéaire est: E(X) =  p/n (2j+1) + q(2n+2) pour j = 1,2,3, …n E(X) = 3p/n + 5p/n + …+ (2n+1)p/n + (2n+2)q E(X) = p/n(3+5+7+….+(2n+1)) + q(2n+2) E(X) = p/n((n+1)2-1) + q(2n+2) E(X) = p(n+2) + q(2n+2)

  40. Complexité computationnelle moyenne: fouille linéaire • La complexité moyenne de l’algo. de fouille linéaire est: E(X) = p(n+2) + q(2n+2) • Par exemple, si x est assurément (p = 1 et q = 0) dans la liste nous aurons alors E(X) = (n+2) • Si p=q=1/2, E(X) = (n+2)/2 + (n+1) = (3n+4)/2 • Si p = ¾et q = 1/4, E(X) = 3(n+2)/4 + (n+1)2 = (5n+8)/4 • Si p = 0 et q = 1, E(X) = 2n+2

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